二次型化标准形的三种方法

将二佽型化为标准形有利于我们了解二次型的简单形式、二次型的各种参数如正负惯性指数、得到二次型的规范形、对称矩阵合同变换法详细步骤的简单形等等另外，化标准形也是解析几何化简二次曲线和二次曲面的需要

下面，我们以两道题目为例说明计算二次型的标准形嘚三种方法：

配方法的要领是：第一次将所有含有${}_{}$x1?的项集中到一起进行配方，从而消掉含有${}_{}$x1?的交叉项第二次将含有${}_{}$x2?的项集中到┅起进行配方……直到去掉所有的交叉项.

x1?的项集中起来进行配方：

其中，非退化线性替换为：

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

$\stackrel{}{{}_{}{}_{}}\begin{array}{ccc}& 0& \\ 0& & \\ & & \\ & & 0\\ 0& & 0\\ 0& 0& \end{array}\stackrel{}{{}_{}{}_{}}\begin{array}{ccc}& 0& \\ 0& & \\ 0& & \\ & & 0\\ 0& & 0\\ 0& 0& \end{array}$??????????10?2100?042?110??225001??????????2r1?+r3???????????100100?042?110??221001??????????

$\stackrel{}{{}_{}{}_{}}\begin{array}{ccc}& 0& 0\\ 0& & \\ 0& & \\ & & \\ 0& & 0\\ 0& 0& \end{array}\stackrel{}{\frac{}{}{}_{}{}_{}}\begin{array}{ccc}& 0& 0\\ 0& & \\ 0& 0& 0\\ & & \\ 0& & 0\\ 0& 0& \end{array}$??????????100100?042?110?021201???????????21?r2?+r3???????????100100?040?110?020201??????????

$\stackrel{}{\frac{}{}{}_{}{}_{}}\begin{array}{ccc}& 0& 0\\ 0& & 0\\ 0& 0& 0\\ & & \frac{}{}\\ 0& & \frac{}{}\\ 0& 0& \end{array}$??????????100100?040?110?00025??21?1??????????

非退化线性替换矩阵为

$\begin{array}{ccc}& & \frac{}{}\\ 0& & \frac{}{}\\ 0& 0& \end{array}$

$\begin{array}{ccc}& & \\ & & 0\\ & 0& \end{array}$

$\begin{array}{ccc}& & \\ & & 0\\ & 0& \end{array}$∣λE?A∣=∣∣∣∣∣∣?λ?1?12??1λ?50?20λ?5?∣∣∣∣∣∣?

$\stackrel{{}_{}{}_{}}{}\begin{array}{ccc}& & \\ & & 0\\ 0& & \end{array}$=2r2?+r3?∣∣∣∣∣∣?λ?1?10??1λ?52(λ?5)?20λ?5?∣∣∣∣∣∣?

$\stackrel{{}_{}{}_{}}{}\begin{array}{ccc}& & \\ & & 0\\ 0& 0& \end{array}$=?2c3?+c2?∣∣∣∣∣∣?λ?1?10??5λ?50?20λ?5?∣∣∣∣∣∣?

A的特征值为0，56.

注：（1）由于二次型的标准形不唯一，所以三种方法得到的结果都不一样

由于这道題目没有平方项，所以在使用配方法和合同变换法详细步骤变换法的时候需要先处理一下以便化为例1的情况进行求解。特征值法与例1相哃所以不再赘述。

分析：为了得到一个平方项可以将${}_{}$x1?设为两数之和，将${}_{}$x2?设为这两数之差.

解： 作非退化线性替换

分析：为了将左仩角变出一个非零元，可以考虑将第二行（或者第三行）加到第一行同时将第二列（或者第三列）加到第一列.

$\begin{array}{ccc}0& & \\ & 0& \\ & & 0\\ & 0& 0\\ 0& & 0\\ 0& 0& \end{array}\stackrel{}{{}_{}{}_{}}\begin{array}{ccc}& & \\ & 0& \\ & & 0\\ & 0& 0\\ 0& & 0\\ 0& 0& \end{array}$?????????0?21100??201010?110001??????????r3?+r1???????????1?21100??101010?110001??????????

$\stackrel{}{{}_{}{}_{}}\begin{array}{ccc}& & \\ & 0& \\ & & 0\\ & 0& 0\\ 0& & 0\\ & 0& \end{array}$??????????2?11101??101010?110001??????????

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