&b&1. 中国光凭自己做不了粉碎机，粉碎机必须是中美组合。&/b&&br&与其说中国是发达国家粉碎机，我觉得更确切的表达是：&b&中国和美国会合力粉碎其他所有国家&/b&。&br&&br&一个很好的类比就是手机市场。现在的手机市场就只有两种选择：5000 以上的 iPhone 和1000 - 2000 元的 Android 手机。iPhone收割了高端手机市场，再奢侈的手机也没人敢比苹果卖得还贵。千元安卓收割了几乎所有的功能机，所有人都愿多添一点钱买个高性价比的智能机。最后，iPhone和低端安卓还在争取联手做掉中端手机市场，三星的安卓再也不可能在3000元的位置轻松卖出一个爆款了。&br&&br&那个iPhone就是美国，那个千元安卓就是中国。&br&&br&巧合的是，iPhone来自于美国硅谷，低端安卓来自于以小米为首的中国厂商。被做掉的诺基亚来自于欧洲。&br&&br&或者，这也不是巧合。像手机这样，美国高端旗舰型+中国低利润高性价比的组合，很可能将在很多新型领域出现，比如电动汽车。&b&美国负责旗舰种的实体化产品化，中国快速跟进负责低成本普及化。&/b&&br&&br&&br&&b&2. 中国的优势&/b&&br&说起来可能有些反直觉，但中国最大的优势就是落后。&br&&ul&&li&落后于人，就意味着你见过先进的正确的东西是什么。无需探索，无需试错，把别人已经证明好使的东西拿过来就可以了。不需要创造“风口”，你只需要站在“风口”上。&br&&/li&&li&国民收入较低，致使用户对于收费极为敏感，大多数人都乐于使用免费和低价产品。这迫使中国的企业们需要学会在极低的利润率下生存，并因此淘汰了大量竞争力不够强的企业。&/li&&/ul&&br&这类中国企业的代表就是小米。小米不是苹果，它在软件方面不掌握编译器、开发平台、操作系统之类的底层技术，在硬件上也不掌握CPU设计能力。小米做不出iPhone。&br&&br&但问题是，小米也不需要做出iPhone。如果以iPhone做为100分标准，小米至少可以做到80分，但它的销售价格竟然跟其他40分产品差不多低。&br&&br&通过美国旗舰种来发现风口，提供一个价格更容易承受，质量远超过平均水平但并不追求业界第一的产品，把那些已经被别人证明是好东西的产品迅速普及规模化。这是小米的打法，也是几乎所有中国手机厂商的产品和定价策略。&b&这件事，比中国发达的国家做不到，因为高价的人力成本根本无法允许如此低的利润率。比中国落后的国家也做不到，他们根本没能力造出一个80分的产品。&/b&&br&&br&&br&&b&3. 中国 vs 美国&/b&&br&美国为什么能一直做出突破性创新，做出各种高端旗舰型产品？因为&b&在美国，一个初创公司如果想成功，除了专注创新，几乎没有别的途径。&/b&&br&&br&作为对比，我们可以先想想中国创业公司们的常见策略：&br&&ol&&li&价格战，做补贴&/li&&li&整合上下游，重推广和运营&/li&&/ol&&br&这两条策略在美国都不可行。贴钱吸引用户？美国人消费承受力高很多，对价格远没有中国人敏感，少个5美元，对用户的直接影响不大，对于创业公司的财务却是沉重的负担。整合上下游把业务做重？美国的人力成本那么高，维持一个重业务不是创业公司可以承受的。&br&&br&更重要的是，经过几十年上百年商业社会洗练下产生的传统行业巨头们，早有形成了严密且健壮的商业逻辑，使新入者根本无法挑战。比如说：&br&&ul&&li&在美国，可能很长一段时间内都无法看到是用手机扫码进行线下支付的场景。因为信用卡在美国的普及率实在太高了，以Paypal，Square为代表的第三方支付公司，由于相当一部分买家的资金来自于信用卡，不得不付给信用卡公司不菲的交易费用。Square经手一笔100美元的划款，要付给Visa和Mastercard等信用卡公司 1.82美元，自己只能留0.92美元。更别提和星巴克这类大商户的合作Square本身完全不挣钱。这意味着本想靠移动微支付来颠覆传统支付行业的Square，给传统行业上的贡还比自己挣的钱还多。&/li&&br&&li&在美国，做一般的电商很难活下来，因为有一个商业怪物叫Costco。Costco只卖4500个常见SKU，但能把平均毛利率控制在6.5%。这意味着如果你做一个电商只是卖爆款，很可能你卖的比Costco贵，东西还不如Costco的好。&/li&&/ul&&br&所以Square市值一路缩水，不得不转型新业务寻求突破。所以在美国只有一家叫Amazon的电商发展了起来，它不做一般的电商，它决定卖2亿个SKU同时通过技术手段控制毛利率。&br&&br&所以，初创公司只有突破性创新一条路。&br&&br&在华尔街日报列出的超过10亿美元估值的创业公司名单中，你会发现很多在中国完全不会存在的领域和形态：&br&&ul&&li&Palantir：200亿美元，数据和情报分析&/li&&li&SpaceX：120亿美元，航空航天&/li&&li&MagicLeap：45亿，虚拟现实&/li&&li&Cloudera：41亿，大数据解决方案&/li&&li&Github：20亿，代码版本管理，开源社区&/li&&/ul&&br&这里面，将会孕育出引领领域的新的旗舰种。&br&&br&而这是一路通过跟随美国路线发展起来的中国公司所做不到的事情。的确，小米不需要成为苹果，但中国要不要赶超美国？&br&&br&当然，中国的确有一定的科研能力，但也仅限于科研。从一项科研成果到最终的经济效益至少要经历两步：&b&工业化，商业化&/b&。这两步中国都欠缺，商业同科技割裂太远。&b&中国有一流的商业能力，二流的科研研发能力，三流的将科技通过商业化打包成产品的能力。&/b&&br&&br&&br&&b&4. 中国 vs 其他发达国家&/b&&br&在中国本土，中国公司依照自己特有的打法，配合美国已经成功反扑了其他发达国家。但中国公司能不能在世界范围内击败其他国家？&b&这本质上是国际化能力上的较量&/b&。而这是发达国家们长期以来的优势。随便两个例子：&br&&ul&&li&手游霸主Supercell，芬兰公司，2015年营业收入23.3亿美元，全球日活超过1亿。绝对意义上的国际化，号称只有图瓦卢人民没玩过他们的游戏。&/li&&li&音乐流媒体Spotify，瑞典公司，估值85亿，用户遍及欧美国家。&/li&&/ul&&br&欧洲发达国家的劣势是什么？是自身的市场太小。这个劣势倒逼他们想要壮大必须做好国际化。结果，&b&做得好的就拿下了美国市场，做得特别好的就拿下了全球市场&/b&。&br&&br&而中国离这样的故事还很远。&b&本土大市场所导致的本土化，先天性的同国际化做出了区隔&/b&。&br&&br&&br&&b&5. 结论&/b&&br&看到这里其实就比较明显了，一个经济体的优势和劣势是一体两面的：落后是劣势，但落后带来了低成本模仿，市场太小是劣势，但小市场带来了国际化。&br&&br&中国会不会是发达国家粉碎机，取决于相比发达国家，有多少劣势转化成了优势，又有多少优势退化成了劣势。
1. 中国光凭自己做不了粉碎机，粉碎机必须是中美组合。 与其说中国是发达国家粉碎机，我觉得更确切的表达是：中国和美国会合力粉碎其他所有国家。 一个很好的类比就是手机市场。现在的手机市场就只有两种选择：5000 以上的 iPhone 和1000 - 2000 元的 Andro…
谢 &a data-hash=&e37963dbb4dad2d20825fc4& href=&///people/e37963dbb4dad2d20825fc4& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@刘柯& data-hovercard=&p$b$e37963dbb4dad2d20825fc4&&@刘柯&/a& 邀。&br&赞同 &a data-hash=&c72aaf00c55c00fb3a2c6ae& href=&///people/c72aaf00c55c00fb3a2c6ae& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@Enya& data-hovercard=&p$b$c72aaf00c55c00fb3a2c6ae&&@Enya&/a& 的答案。&br&&br&下面是夹带私货的个人体验：&br&（有时真想回炉重造去学计算机啊，出来之后想读什么专业都行）&br&&br&首先，要知道使用编程是要干嘛。其实有些甚至不需要用到编程语言。&br&1. 分析数据&br&Excel：上手非常快，数据的简单处理（数据透视表是好物），画图表等等挺容易的，可以用作数据first look。函数、VBA那些就稍高级一些，我自己没用过，正式的数据分析就转用其他软件了。&br&&br&SPSS：大部分社科类和部分行为实验常用的分析数据，很多文章中报告出的统计结果都是用SPSS 得出的。分析包基本可以用于常用的比如描述统计t检验方差分析相关等等。SPSS也可以用它自带的syntax编写分析过程。&br&&br&JASP：这里郑重大力推荐这个软件！虽然是近几年新出的，还处于开发和完善过程中，但应付常规分析已经足够，上手易度堪比Excel数据透视表。JASP 与SPSS的核心很相似，但是前者更为简化了操作界面。想想看打开SPSS分析栏后那一长条的选项，而JASP只列了最为常用的几种，以及对应的bayesian方法，清晰明了：&br&&img src=&/8064d9cdfa2d35ab32ebf2d_b.png& data-rawwidth=&1186& data-rawheight=&175& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1186& data-original=&/8064d9cdfa2d35ab32ebf2d_r.png&&&br&关键是，它的结果界面不像SPSS一样是写出来就完了的！你可以即时更改参数，结果页面即时更新，再也不会出现往上翻好几页寻找到底哪次分析才是你需要的了！！也再也不会重看结果时想不起来到底怎么分析的了！！数据复杂一时难看懂？随时把各种变量拖进去画主效应画交互作用，各种随心改变全鼠标操作，出结果的速度就取决于你的手速！读入数据只需要.csv文件，之后数据和结果页面并排排列在同一个窗口，可以保存为同一个.jasp文件，再也不用.sav .spv .sps傻傻分不清楚！&br&正因为功能集中轻便，软件打开速度比SPSS快得多得多。最最关键的是！！它是免！！费！！的！！！！&br&官网：&a href=&///?target=https%3A//jasp-stats.org/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&JASP | A Fresh Way to Do Statistics&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&（目前发现唯一不方便的地方是JASP导入后不能再针对数据进行修改，比如添加个变量算个平均数什么的，目前只能重新导入新的csv. 开发组说预计五年内能把修改数据功能加上去=。=）&br&（话说问题是编程语言吧，安利得太开心好像有点跑题咳咳）&br&&br&R/R studio: 终于说到纯靠编程的软件了！免费，开放平台（意味着有很多前人写好的功能包），限制很少多难的分析只要你知道算法就能自定义出来，甚至可以外接其他语言的程序包（比如做贝叶斯分析和建模的程序包rstan就是外接到C++的stan）。就我所知很多建模的人用R来跑simulation。软件本身也是轻便型，平时可以用作强力计算器（咦&br&&br&Matlab: 作为数据分析软件来说，同样是纯编程，数学功能强大，有些开发的程序包可带GUI（比如SPM）。个人感觉编程的可读性比R舒服一些。不过同事说matlab的画图太丑了=_=||&br&说到SPM，正如其他答友所说，这个是脑神经研究的主要软件之一，基于Matlab。它虽然不是最用户友好的，不过听说一般新分析方法常常都会先用SPM开发，可见还是相当强大的，随后再迁移到其他脑成像分析软件中——BrainVoyager, GUI同时也有Matlab程序包，视觉化做得很好的一个软件；FSL，这个没了解过；AFNI，貌似是基于Linux?&br&&br&Python: 常常与Matlab拿来相比，一个相当大的优点是免费。之前因为有ipython notebook这种即时记录结果的功能，藐视了Matlab好一段时间。不过Matlab2016的新版本也加入了这个功能（估计真是被逼出来的）。&br&&br&SAS：这个估计不太常用？我也只在统计课上学过。（那一天终于回想起同时学SPSS，SAS和R的恐怖）&br&&br&2. 编写实验程序/刺激材料&br&E-prime: 主要是GUI，可以用VB编入一部分逻辑过程，不过并不十分灵活。&br&&br&Matlab (PsychToolBox): 刺激呈现软件最常用的软件，灵活强大，不多说了。&br&&br&Python: 不太了解有没有像上面PTB那样重点开发和使用的实验程序包，至少我上课的老师教的是他实验室自己编写的程序包。&br&&br&选择软件/编程语言学习，当然最重要的是根据用途，另外就是能弄到哪些（免费开放的啊要license的啊）。我自己的经验是，纯为了学习而学习编程是很难达到实际使用需要的水平的，所以最后都是要在实际使用中不断熟悉（所以如果确定以后研究中只会使用到问卷研究，费大力气折腾PTB就有些事倍功半了）。如果确实需要用到编程，我能想到的稍微省事一点的办法，就是找适用性强的一两种开始（比如Matlab或Python），等熟悉了之后迁移到其他语言和软件就会相对容易一些。&br&&br&顺说，目前我行为实验（视觉刺激材料）是用Matlab编实验程序，中途Excel看初步数据趋势，Excel整理原始数据CSV（被试数不多所以就复制粘贴10分钟），Matlab筛选和计算各个自变量条件下的因变量以及各种计算生成整理后的csv，导入JASP分析以及Excel作图。核磁共振用BrainVoyager + Matlab辅助。上统计和建模课用R。&br&&br&最后，JASP真是好物！安装之后我就没再用过SPSS。再次强推！
的答案。 下面是夹带私货的个人体验： （有时真想回炉重造去学计算机啊，出来之后想读什么专业都行） 首先，要知道使用编程是要干嘛。其实有些甚至不需要用到编程语言。 1. 分析数据 Excel：上手非常快，数据的简单处理（数据透视…
首先,如果某个命题有大数作为反例，那么应该叫做猜想而不是公式，数学上没有严格证明的东西都不能称为公式或者定理。&br&&br&如果来看某些直观上可行但是存在较大的反例的猜想，那么确实是有很多的，例子主要集中在数论方面。&br&&br&&br&例子一些来自这几年的日常收录,&br&一些来自网上收集的资料和一些论坛问答,&br&一些来源于wiki &a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/List_of_conjectures%23Disproved_.28no_longer_conjectures.29& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&List of conjectures&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&一些源于Matrix67的博客文章:&a href=&///?target=http%3A///blog/archives/4491& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&千万不要迷信规律：大反例合集&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&一些来源于这篇论文&br&&a href=&///?target=https%3A//www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Guy697-712.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://www.&/span&&span class=&visible&&maa.org/sites/default/f&/span&&span class=&invisible&&iles/pdf/upload_library/22/Ford/Guy697-712.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&另外有一些恶搞的大反例猜想,就不列出了…&br&如&b&抖机灵向&/b&&b&猜想&/b&：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cforall+n+%5Cin+%5Cmathbb+N%2Cn%3CBBD& alt=&\forall n \in \mathbb N,n&^{1000}}& eeimg=&1&&&br&&b&反例&/b&：&br&&img src=&///equation?tex=n%3DBBD%2B1& alt=&n=^{1000}}+1& eeimg=&1&&&br&&br&&br&&br&对资料做了整合修改，补充了一些数学上的注记与证明&br&(手打Latex公式和自己写很多证明和补充真心超级累……)&br&&br&&br&几个其他的反例虽然也有整理，比如某些非常接近整数的数&br&&img src=&/3bda4d05c3aead022b8cd_b.png& data-rawwidth=&148& data-rawheight=&28& class=&content_image& width=&148&&&img src=&/08a61c2eeedca0_b.png& data-rawwidth=&224& data-rawheight=&37& class=&content_image& width=&224&&&img src=&/aa6d717f02e22d04f6bf04fe07f41f5f_b.png& data-rawwidth=&283& data-rawheight=&25& class=&content_image& width=&283&&还有非常接近整数的拉马努金常数&br&&img src=&/c9cb055f08a50b9e88a0254ddadb449f_b.png& data-rawwidth=&637& data-rawheight=&36& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&637& data-original=&/c9cb055f08a50b9e88a0254ddadb449f_r.png&&（来自wiki）&br&但是考虑到题目要求还是不列出了。&br&(猜想需谨慎，证明有风险)&br&&br&——————分割线————————————————————————&br&&br&&b&1.某中国大学生发现的反例&/b&&br&&br&&br&用f(n)表示可以用&b&1和任意多个加号和乘号括号&/b&表示出n所用1的最小的个数&br&如&br&&img src=&///equation?tex=4%3D%281%2B1%29%5Ctimes+%281%2B1%29& alt=&4=(1+1)\times (1+1)& eeimg=&1&&,所以&img src=&///equation?tex=f%284%29%5Cleq+4& alt=&f(4)\leq 4& eeimg=&1&&,进一步可以知道&img src=&///equation?tex=f%284%29%3D4& alt=&f(4)=4& eeimg=&1&&&br&进一步再来求出:&br&&img src=&///equation?tex=%5C%5Cf%281%29%3D1+%5Cquad1%3D1%0A%5C%5Cf%282%29%3D2+%5Cquad2%3D1%2B1%0A%5C%5Cf%283%29%3D3+%5Cquad3%3D1%2B1%2B1%0A%5C%5Cf%284%29%3D4+%5Cquad4%3D1%2B1%2B1%2B1%0A%5C%5Cf%285%29%3D5+%5Cquad5%3D1%2B1%2B1%2B1%2B1%0A%5C%5Cf%286%29%3D5+%5Cquad6%3D%281%2B1%29%5Ctimes+%281%2B1%2B1%29%0A%5C%5Cf%287%29%3D6+%5Cquad7%3D%281%2B1%29%5Ctimes+%281%2B1%2B1%29%2B1%0A%5C%5Cf%D7+%5Cquad10%3D%281%2B1%29%5Ctimes+%281%2B1%2B1%2B1%2B1%29%0A%5C%5Cf%D8+%5Cquad11%3D%281%2B1%2B1%29%5Ctimes%281%2B1%2B1%29%2B1& alt=&\\f(1)=1 \quad1=1
\\f(2)=2 \quad2=1+1
\\f(3)=3 \quad3=1+1+1
\\f(4)=4 \quad4=1+1+1+1
\\f(5)=5 \quad5=1+1+1+1+1
\\f(6)=5 \quad6=(1+1)\times (1+1+1)
\\f(7)=6 \quad7=(1+1)\times (1+1+1)+1
\\f(10)=7 \quad10=(1+1)\times (1+1+1+1+1)
\\f(11)=8 \quad11=(1+1+1)\times(1+1+1)+1& eeimg=&1&&&br&可见f(n)的增长很慢……&br&&br&&br&是否有:&br&&img src=&///equation?tex=f%28p%29%3Df%28p-1%29%2B1& alt=&f(p)=f(p-1)+1& eeimg=&1&&,对p为某些数,如素数？&br&不难验证对p=2,3,5,7,11均成立,事实上,对于10万以内的素数其均成立&br&&br&&b&猜想&/b&：对p为素数,&img src=&///equation?tex=f%28p%29%3Df%28p-1%29%2B1& alt=&f(p)=f(p-1)+1& eeimg=&1&&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&b&反例：&/b&p = ，f(p) = 1 + f(p-1) 不成立&br&&br&注：&br&当年据说是由广东韶关学院大四学生王骁威发现的&br&一篇报道：&a href=&///?target=http%3A////c_.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&“90”后男孩破解60年未解的世界数学难题&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&一篇新闻评论：&a href=&///?target=http%3A///note//& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&猜想，反例及随感&i class=&icon-external&&&/i&&/a&(值得一读)&br&&br&&br&&br&&b&2.素数生成公式(某常见编程题)&/b&&br&&br&1772 年，Euler 曾经发现，当 n 是正整数时，&img src=&///equation?tex=+n%5E2+%2B+n+%2B+41& alt=& n^2 + n + 41& eeimg=&1&& 似乎总是素数。事实上，n 从 1 一直取到 39，算出来的结果分别是：&br&&blockquote&43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281,&br&313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853,&br&911, 971, , , , , 1601&/blockquote&&br&&p&&b&猜想&/b&： n 是正整数时,&img src=&///equation?tex=+n%5E2+%2B+n+%2B+41& alt=& n^2 + n + 41& eeimg=&1&&均是素数&/p&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&p&&b&反例&/b&&b&：&/b&n = 40 时,&img src=&///equation?tex=+n%5E2+%2B+n+%2B+41%3D41%5E2& alt=& n^2 + n + 41=41^2& eeimg=&1&&为合数&/p&&br&&p&注：有没有可能有一个整系数多项式&img src=&///equation?tex=P%28n%29& alt=&P(n)& eeimg=&1&&,使得n为正整数时,&img src=&///equation?tex=P%28n%29& alt=&P(n)& eeimg=&1&&均为素数呢？&/p&&p&先思考一下……&/p&&p&&b&例子&/b&:如果&img src=&///equation?tex=P%28n%29& alt=&P(n)& eeimg=&1&&为常值多项式，那么P就有可能满足要求,如&img src=&///equation?tex=P%28n%29%5Cequiv+3& alt=&P(n)\equiv 3& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&那么有没有非平凡的例子呢,答案是没有,素数的分布结构哪有那么简单。&/p&&p&证：&/p&&p&假设这样的一个多项式&img src=&///equation?tex=P%28n%29& alt=&P(n)& eeimg=&1&&存在。那么&img src=&///equation?tex=P%281%29& alt=&P(1)& eeimg=&1&&将是一个素数&i&p&/i&&/p&&p&由于P整系数,故&img src=&///equation?tex=P%281%2Bkp%29%5Cequiv+P%281%29+%28mod+p%29& alt=&P(1+kp)\equiv P(1) (mod p)& eeimg=&1&&,对k为正整数&/p&&p&所以&/p&&p&&img src=&///equation?tex=P%281%2Bkp%29& alt=&P(1+kp)& eeimg=&1&&是p的倍数，又是素数,只能是p,所以&img src=&///equation?tex=P%28x%29%3Dp& alt=&P(x)=p& eeimg=&1&&有无穷多个根，与&b&代数基本定理&/b&矛盾！&br&&/p&&br&&p&对于Euler所见的那种多项式也是很稀有的,事实上&/p&&p&若整系数多项式&img src=&///equation?tex=n%5E2%2Bn%2Bk& alt=&n^2+n+k& eeimg=&1&&对n=0,1,……,k-2均为素数,其中k不小于2&br&&/p&&p&（取n=0,可以知道k必须是素数）&/p&&p&其成立等价于这个二次函数的判别式的绝对值&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5CDelta+%3D%7C1-4k%7C%3D4k-1& alt=&\Delta =|1-4k|=4k-1& eeimg=&1&&为&a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Heegner_number%23Almost_integers_and_Ramanujan.27s_constant& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Heegner number&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&但是&a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Heegner_number%23Almost_integers_and_Ramanujan.27s_constant& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Heegner number&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 由&a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Stark%25E2%Heegner_theorem& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Stark–Heegner theorem&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 有且仅有9个:&/p&&img src=&///equation?tex=1%2C+2%2C+3%2C+7%2C+11%2C+19%2C+43%2C+67%2C+163& alt=&1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163& eeimg=&1&&&br&&p&所以k只能取&img src=&///equation?tex=2%2C3%2C5%2C11%2C17%2C41& alt=&2,3,5,11,17,41& eeimg=&1&&&br&也就是说只有&img src=&///equation?tex=n%5E2%2Bn%2Bk%2Ck%3D2%2C3%2C5%2C11%2C17%2C41& alt=&n^2+n+k,k=2,3,5,11,17,41& eeimg=&1&&&/p&&p&才能对n=0,1,……,k-2均取值为素数&/p&&br&&p&一些讨论见stackexchange:&a href=&///?target=http%3A///questions/289338/is-the-notorious-n2-n-41-prime-generator-the-last-of-its-type& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&number theory&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&/p&&br&&br&&br&&b&3.&/b&&img src=&///equation?tex=x%5En-1& alt=&x^n-1& eeimg=&1&&&strong&在&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb+Z& alt=&\mathbb Z& eeimg=&1&&上的因式分解&/strong&&br&&br&注意到&br&&img src=&///equation?tex=x%5E2-1%3D%5Cleft%28x-1%5Cright%29%5C%2C%5Cleft%28x%2B1%5Cright%29& alt=&x^2-1=\left(x-1\right)\,\left(x+1\right)& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=x%5E3-1%3D%5Cleft%28x-1%5Cright%29%5C%2C%5Cleft%28x%5E2%2Bx%2B1%5Cright%29& alt=&x^3-1=\left(x-1\right)\,\left(x^2+x+1\right)& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=x%5E4-1%3D%5Cleft%28x-1%5Cright%29%5C%2C%5Cleft%28x%2B1%5Cright%29%5C%2C%5Cleft%28x%5E2%2B1%5Cright%29& alt=&x^4-1=\left(x-1\right)\,\left(x+1\right)\,\left(x^2+1\right)& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=x%5E5-1%3D%5Cleft%28x-1%5Cright%29%5C%2C%5Cleft%28x%5E4%2Bx%5E3%2Bx%5E2%2Bx%2B1%5Cright%29& alt=&x^5-1=\left(x-1\right)\,\left(x^4+x^3+x^2+x+1\right)& eeimg=&1&&&br&&p&…&/p&&img src=&///equation?tex=x%5E%7B12%7D-1%3D%5Cleft%28x-1%5Cright%29%5C%2C%5Cleft%28x%2B1%5Cright%29%5C%2C%5Cleft%28x%5E2%2B1%5Cright%29%5C%2C%5Cleft%28x%5E2-x+%2B1%5Cright%29%5C%2C%5Cleft%28x%5E2%2Bx%2B1%5Cright%29%5C%2C%5Cleft%28x%5E4-x%5E2%2B1%5Cright%29& alt=&x^{12}-1=\left(x-1\right)\,\left(x+1\right)\,\left(x^2+1\right)\,\left(x^2-x +1\right)\,\left(x^2+x+1\right)\,\left(x^4-x^2+1\right)& eeimg=&1&&&br&&p&…&/p&&img src=&///equation?tex=x%5E%7B36%7D-1%3D%5Cleft%28x-1%5Cright%29%5C%2C%5Cleft%28x%2B1%5Cright%29%5C%2C%5Cleft%28x%5E2%2B1%5Cright%29%5C%2C%5Cleft%28x%5E2-x+%2B1%5Cright%29%5C%2C%5Cleft%28x%5E2%2Bx%2B1%5Cright%29%5C%2C%5Cleft%28x%5E4-x%5E2%2B1%5Cright%29%5C%2C%5Cleft%28x%5E6-x+%5E3%2B1%5Cright%29%5C%2C%5Cleft%28x%5E6%2Bx%5E3%2B1%5Cright%29%5C%2C%5Cleft%28x%5E%7B12%7D-x%5E6%2B1%5Cright%29& alt=&x^{36}-1=\left(x-1\right)\,\left(x+1\right)\,\left(x^2+1\right)\,\left(x^2-x +1\right)\,\left(x^2+x+1\right)\,\left(x^4-x^2+1\right)\,\left(x^6-x ^3+1\right)\,\left(x^6+x^3+1\right)\,\left(x^{12}-x^6+1\right)& eeimg=&1&&&br&&p&…&/p&&p&似乎有这种可能,对于所有的正整数 n ， &img src=&///equation?tex=x%5En-1& alt=&x^n-1& eeimg=&1&&在&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb+Z& alt=&\mathbb Z& eeimg=&1&&上的因式分解成不可约多项式的乘积后各项系数都为1或者-1,不难验证对n在1-20之间都是正确的。&/p&&br&&p&据说有人曾经算到了&img src=&///equation?tex=+x%5E%7B100%7D+-+1+& alt=& x^{100} - 1 & eeimg=&1&&，均没有发现反例，终于放心大胆地&/p&&p&&b&猜想：&/b&对于所有的正整数 n ，&img src=&///equation?tex=x%5En-1& alt=&x^n-1& eeimg=&1&&在&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb+Z& alt=&\mathbb Z& eeimg=&1&&上因式分解后各项系数都为1或者-1&/p&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&p&&b&反例:&/b&&/p&&p&在 n = 105 时:&img src=&///equation?tex=x%5E%7B105%7D-1& alt=&x^{105}-1& eeimg=&1&&的分解式为&br&&/p&&p&&img src=&/0d92caad_b.png& data-rawwidth=&642& data-rawheight=&180& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&642& data-original=&/0d92caad_r.png&&出现了两个&b&-2&/b&&/p&&br&&br&&br&注:&br&在数学中,n次分圆多项式是&br&指唯一的n次整系数&b&不可约&/b&多项式&img src=&///equation?tex=%5CPhi_n%28x%29& alt=&\Phi_n(x)& eeimg=&1&&,&br&使得其为&img src=&///equation?tex=x%5En-1& alt=&x^n-1& eeimg=&1&&的因子,不为&img src=&///equation?tex=x%5Ek-1& alt=&x^k-1& eeimg=&1&&的因子,k为任意比n小的正整数&br&可以证明&br&&img src=&/faaefc117f034f179d05f65860c47cab_b.png& data-rawwidth=&264& data-rawheight=&71& class=&content_image& width=&264&&&br&然后对&img src=&///equation?tex=x%5En-1& alt=&x^n-1& eeimg=&1&&有因式分解：&br&&img src=&/d71a8fd4faefc03fb46ac711fa7167aa_b.png& data-rawwidth=&781& data-rawheight=&61& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&781& data-original=&/d71a8fd4faefc03fb46ac711fa7167aa_r.png&&也就是最后因式分解得到的因子均为分圆多项式&br&&br&为什么会出现n=105的反例呢？&br&来看一些分圆多项式&br&&img src=&/ed7fc82328f0_b.png& data-rawwidth=&801& data-rawheight=&526& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&801& data-original=&/ed7fc82328f0_r.png&&他们的系数都是-1,1,这种情况一直持续到n=104.&br&而n=105时,&img src=&/b2e430c44ce_b.png& data-rawwidth=&683& data-rawheight=&85& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&683& data-original=&/b2e430c44ce_r.png&&&br&所以我们分解&img src=&///equation?tex=x%5E%7B105%7D-1& alt=&x^{105}-1& eeimg=&1&&时,因子中的&img src=&///equation?tex=%5CPhi_%7B105%7D%28x%29& alt=&\Phi_{105}(x)& eeimg=&1&&导致了反例。&br&关于怎么计算n次分圆多项式的中&img src=&///equation?tex=x%5Ek& alt=&x^k& eeimg=&1&&系数,目前还没有一目了然的公式，&br&但是有定理：&br&&b&若n的质因数分解中奇素数个数不超过2,那么&/b&&br&&b&&img src=&///equation?tex=%5CPhi_n%28x%29& alt=&\Phi_n(x)& eeimg=&1&&的系数只能为1或-1(或0),从而&/b&&br&&b&&img src=&///equation?tex=x%5En-1& alt=&x^n-1& eeimg=&1&& 在&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb+Z& alt=&\mathbb Z& eeimg=&1&&上因式分解后各项系数都为1或者-1(或0),猜想成立&/b&&br&&br&举个例子,由于2016只有素因子2,3,7&img src=&///equation?tex=x%5E%7B& alt=&x^{2016}-1& eeimg=&1&&在&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb+Z& alt=&\mathbb Z& eeimg=&1&&上因式分解后各项系数都为1或者-1&br&&br&可以验证小于105的所有数定理条件均满足&br&但是&img src=&///equation?tex=105%3D3%5Ctimes+5%5Ctimes7& alt=&105=3\times 5\times7& eeimg=&1&&&br&不好意思,定理条件失效了，105有三个奇素数因子&br&我们在n=105有了反例……&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&b&4.伪素数(经典例子)&/b&&br&&br&群论中的Lagrange定理确保了Fermat小定理：&br&&b&对a为正整数,p为素数有&img src=&///equation?tex=a%5Ep%5Cequiv+a++%28mod+%5Cquad+p%29& alt=&a^p\equiv a
(mod \quad p)& eeimg=&1&&&/b&&br&&br&但是其逆是否成立,我们来看a=2时,下方有一组值：&br&&img src=&/b6ebaf9664aa6dffd33cf8_b.png& data-rawwidth=&132& data-rawheight=&242& class=&content_image& width=&132&&&br&&b&猜想：&/b&&br&&img src=&///equation?tex=n+& alt=&n & eeimg=&1&&能整除&img src=&///equation?tex=+2%5E%7Bn%7D-+2& alt=& 2^{n}- 2& eeimg=&1&& ，当且仅当 n 是一个素数&br&这个猜想对n在1-200内均是没有问题的&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&b&反例：&/b&&br&取n=341 ，&img src=&///equation?tex=341& alt=&341& eeimg=&1&& 能够整除 &img src=&///equation?tex=2%5E%7B341%7D+-+2& alt=&2^{341} - 2& eeimg=&1&&，但n为合数,&img src=&///equation?tex=341%3D11+%5Ctimes31& alt=&341=11 \times31& eeimg=&1&& ！&br&&br&&br&&br&注:&br&根据 Fermat 小定理，如果 p 是素数，那么 p 一定能整除 2^n – 2。&br&不过，它的逆定理却是不成立的，上面提到的 341 便是一例。我们把这种数叫做以 2 为底的伪素数。&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&b&5.&/b&&b&Pólya conjecture&/b&&br&这是一个常用的经典超大数产生的反例&br&考虑对自然数列的质因数分解&br&2 = 2&br&3 = 3&br&4 = 2 × 2&br&5 = 5&br&6 = 2 × 3&br&7 = 7&br&8 = 2 × 2 × 2&br&9 = 3 × 3&br&10 = 2 × 5&br&11=11&br&12=2 x 2 x 3&br&13=13&br&14=2x7&br&15=3x5&br&16=2x2x2x2&br&17=17&br&……&br&&br&在写出的数种可以看到，&br&4，6，9，10，14，16 这6个数包含偶数个质因子，其余11个数都含奇数个质因子&br&(不区分相同的质因子)&br&可以感觉到包含&b&偶数个质因子&/b&的数要明显小一些&br&&br&&br&也就是对每一个给定不小于2的正整数n,&br&2,3,……,n这n个数中含偶数个质因数的数的个数小于一半&br&严格来说,&br&n有质因数分解&img src=&///equation?tex=n%3Dp_1%5E%7B%5Calpha_1%7D+%5Chdots+p_k%5E%7B%5Calpha_k%7D+& alt=&n=p_1^{\alpha_1} \hdots p_k^{\alpha_k} & eeimg=&1&&&br&令&img src=&///equation?tex=f%28n%29%5Cequiv+%5Calpha_1%2B+%5Chdots+%2B%5Calpha_k+%28mod+%5Cquad+2%29& alt=&f(n)\equiv \alpha_1+ \hdots +\alpha_k (mod \quad 2)& eeimg=&1&&,f(n)取&b&0或1&/b&&br&&br&&br&&b&Pólya&/b&&b&猜想&/b&:&br&对每一个给定不小于2的正整数n,&br&2,3,……,n这n个数中含偶数个质因数的数的个数小于一半&br&即&br&&img src=&///equation?tex=%5Csum_%7B2%7D%5E%7Bn%7Df%28x%29%5Cleq+%5Cfrac%7Bn-1%7D%7B2%7D+& alt=&\sum_{2}^{n}f(x)\leq \frac{n-1}{2} & eeimg=&1&&&br&&br&&b&这个猜想对1亿之内的数都成立！&/b&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&b&反例：&/b&&br&&br&不幸的是……&br&&br&&br&来自Matrix67博客的一段话（加了补充）：&br&&blockquote&&p&
Pólya 猜想看上去非常合理——每个有偶数个质因子的数，必然都已经提前经历过了“有奇数个质因子”这一步。不过，这个猜想却一直未能得到一个严格的数学证明。&/p&&p&
到了 1958 年，英国数学家 C. B. Haselgrove 发现， Pólya 猜想竟然是错误的。他证明了 Pólya 猜想存在反例，从而推翻了这个猜想。&/p&&p&
不过，Haselgrove 仅仅是证明了反例的存在性，并没有算出这个反例的具体值。Haselgrove 估计，这个反例至少也是一个 361 位数（&img src=&///equation?tex=1.845+%5Ctimes+10%5E%7B361%7D& alt=&1.845 \times 10^{361}& eeimg=&1&&）。&/p&&p&
1960 年，R. Sherman Lehman 给出了一个确凿的反例：n = 906 180 359。而 Pólya 猜想的最小反例则是到了 1980 年才发现的：n = 906 150 257。&/p&&/blockquote&&br&注：&br&这个反例充分说明，不能随便假定某个猜想是正确的，哪怕它对于&b&很小的数&/b&再怎么正确。&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&b&6.Perrin素数&/b&&br&&br&尝试寻找到一个简单而高效的素数生成公式一直是人们的理想之一,而素数之类的公式如果要能用简单的数列定义该多好啊。&br&&br&来看Perrin发现的一个数列,见&a href=&///?target=https%3A//oeis.org/A001608& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&A001608 - OEIS&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&&br&&img src=&///equation?tex=a_n+%3D+a_%7Bn+-+2%7D+%2B+a_%7Bn+-+3%7D%2Cn%3E2+%5C%5C%0Aa_0+%3D+3%2C+a_1+%3D+0%2C+a_2+%3D+2%0A& alt=&a_n = a_{n - 2} + a_{n - 3},n&2 \\
a_0 = 3, a_1 = 0, a_2 = 2
& eeimg=&1&&&br&&br&&br&我们来借助OEIS看一下它的值&br&&img src=&/997b7c11add95f4ff017_b.png& data-rawwidth=&130& data-rawheight=&605& class=&content_image& width=&130&&&br&&br&好像对于素数p,均有&b&a(p)是p的倍数&/b&,这件事已经被成功证明了。&br&&br&反过来,是否有&br&n 能整除 Perrin 数列的第 n 项 a(n) ，必须 n 是一个素数。&br&由上图知道对于不超过30的n其都是成立的&br&&br&&br&&b&猜想：&/b&&br&a(n) 是n的倍数，当且仅当 n 是一个素数。&br&事实上，对于n&100000,猜想均成立&br&1899 年 Perrin 本人曾经做过试验，随后 Malo 在 1900 年， Escot 在 1901 年，以及 Jarden 在 1966 年都做过搜索，均未发现任何反例。&br&（我觉得大多是因为计算机技术当时不发达…）&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&b&反例：&/b&&br&直到 1982 年， Adams 和 Shanks 才发现第一个反例 n = 271 441 ，它等于 521 × 521 ，却也能整除 f(271 441) 。&br&&br&事实上，我们有一堆不是素数的n使得a(n) 是n的倍数，如&br&&img src=&/36d13ddde3407f6fdb654f686dc32f2c_b.png& data-rawwidth=&95& data-rawheight=&331& class=&content_image& width=&95&&见&br&&a href=&///?target=https%3A//oeis.org/A013998& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&A013998 - OEIS&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&&br&&br&注:&br&Perrin数列有没有一般的公式呢?&br&事实上由于&img src=&///equation?tex=a_n+%3D+a_%7Bn+-+2%7D+%2B+a_%7Bn+-+3%7D& alt=&a_n = a_{n - 2} + a_{n - 3}& eeimg=&1&&&br&其特征方程为&img src=&///equation?tex=x%5E3-x-1%3D0& alt=&x^3-x-1=0& eeimg=&1&&&br&求导不难知其有一个实根&i&ρ&/i&,两个共轭复根&img src=&///equation?tex=%5Calpha+%2C%5Cbeta+& alt=&\alpha ,\beta & eeimg=&1&&&br&可以用二分法来查找零点,估计出&img src=&///equation?tex=1%3C%5Crho+%3C2& alt=&1&\rho &2& eeimg=&1&&&br&韦达定理给出&br&&img src=&///equation?tex=%5Calpha+%2B%5Cbeta%2B+%5Crho%3D1%5C%5C%0A%5Calpha+%5Cbeta%2B+%5Calpha+%5Crho+%2B%5Cbeta+%5Crho%3D0%5C%5C%0A%5Calpha+%5Cbeta+%5Crho+%3D1++& alt=&\alpha +\beta+ \rho=1\\
\alpha \beta+ \alpha \rho +\beta \rho=0\\
\alpha \beta \rho =1
& eeimg=&1&&&br&结合关于&img src=&///equation?tex=%5Crho& alt=&\rho& eeimg=&1&&的估计我们知道共轭复根&img src=&///equation?tex=%5Calpha+%2C%5Cbeta+& alt=&\alpha ,\beta & eeimg=&1&&模均小于1&br&&br&设&br&&img src=&///equation?tex=a_n%3DA%5Crho%5En%2BB%5Calpha+%5En%2BC%5Cbeta+%5En& alt=&a_n=A\rho^n+B\alpha ^n+C\beta ^n& eeimg=&1&&&br&A,B,C待定&br&代入n=0,1,2,结合韦达定理有&br&&img src=&///equation?tex=+A%3DB%3DC%3D1%5C%5C%0Aa_n%3D%5Crho%5En%2B%5Calpha+%5En%2B%5Cbeta+%5En& alt=& A=B=C=1\\
a_n=\rho^n+\alpha ^n+\beta ^n& eeimg=&1&&&br&&br&当n充分大时,由于&img src=&///equation?tex=%5Calpha+%2C%5Cbeta+& alt=&\alpha ,\beta & eeimg=&1&&模均小于1&br&&img src=&///equation?tex=a_n%5Capprox+%5Crho+%5En& alt=&a_n\approx \rho ^n& eeimg=&1&&&br&这个公式可以让我们估算大的&img src=&///equation?tex=a_n& alt=&a_n& eeimg=&1&&&br&事实上,由三次方程求根公式有&br&&img src=&/da985fbaef8f93fb50cf22_b.png& data-rawwidth=&355& data-rawheight=&64& class=&content_image& width=&355&&&img src=&///equation?tex=%5Crho+%5Capprox+1.324718& alt=&\rho \approx 1.324718& eeimg=&1&&&br&这是一个著名的常数，称为&a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Plastic_number& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Plastic number&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&于是&img src=&///equation?tex=a_%7B2015%7D& alt=&a_{2015}& eeimg=&1&&大概为&br&&img src=&/a7efbbdb7a5b44e4fcf33afefa9bb9cd_b.png& data-rawwidth=&541& data-rawheight=&34& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&541& data-original=&/a7efbbdb7a5b44e4fcf33afefa9bb9cd_r.png&&&br&&br&&br&再注：难道我们就没有数列能生成素数么？&br&不不不，考虑&br&&img src=&/8271ebcf399e6ab415ef248_b.png& data-rawwidth=&303& data-rawheight=&32& class=&content_image& width=&303&&gcd表示最大公约数&br&定义&br&&img src=&///equation?tex=d_n%3Da_%7Bn%2B1%7D-a_n& alt=&d_n=a_{n+1}-a_n& eeimg=&1&&&br&&img src=&/8dfb67cb8894abd07680da_b.png& data-rawwidth=&97& data-rawheight=&594& class=&content_image& width=&97&&那么&img src=&///equation?tex=d_n& alt=&d_n& eeimg=&1&&每一项均为素数，见&a href=&///?target=https%3A//oeis.org/A132199& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&A132199 - OEIS&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&b&7.数列递推公式&/b&&br&&br&数列 a(1) = 8，a(2) = 55，并且&br& a(n) 定义为最小的使得&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Ba%28n%29%7D%7Ba%28n-1%29%7D+%3E+%5Cfrac%7Ba%28n-1%29%7D%7Ba%28n-2%29%7D& alt=&\frac{a(n)}{a(n-1)} & \frac{a(n-1)}{a(n-2)}& eeimg=&1&&的正整数&br&&br&来求一求a(n)&br&&b&8, 55, 379, , 1, , , , 5, 41, 015, ,……&/b&&br&&br&定义数列&br&&img src=&///equation?tex=b_%7Bn%7D%3D+6b_%7Bn-1%7D+%2B+7%C2%B7b_%7Bn-2%7D+-+5%C2%B7b_%7Bn-3%7D+-+6%C2%B7b_%7Bn-4%7D& alt=&b_{n}= 6b_{n-1} + 7·b_{n-2} - 5·b_{n-3} - 6·b_{n-4}& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=b_1%3D8%2Cb_2%3D55%2Cb_3%3D379%2Cb_4%3D2612& alt=&b_1=8,b_2=55,b_3=379,b_4=2612& eeimg=&1&&&br&&br&来求一求b(n)&br&&br&&b&8, 55, 379, , 1, , , , 5, 41, 015, ,……&/b&&br&&br&&b&猜想：&/b&&br&&b&对n为正整数，a(n)=b(n)&/b&&br&这个对n&1000可以验证均成立&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&b&反例&/b&：&br&当你在OEIS上搜索&b&8, 55, 379, , 1, 时，&/b&&br&&b&会蹦出两个结果：&/b&&br&&img src=&/705fda565dbcdec9be80e88c206af9f9_b.png& data-rawwidth=&925& data-rawheight=&561& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&925& data-original=&/705fda565dbcdec9be80e88c206af9f9_r.png&&&br&在n不超过11056时，a(n)=b(n)&br&但n=11057时,a(n)!=b(n)&br&&br&注：&br&本来想给出两个数列的值,但是发现太大了…&br&不过可以证明&br&&img src=&///equation?tex=%5Cforall+n+%5Cin+%5Cmathbb+N%2Ca%28n%29%5Cleq+b%28n%29& alt=&\forall n \in \mathbb N,a(n)\leq b(n)& eeimg=&1&&&br&只要注意到a(n)定义中的最小性即可，另外b(n)的递推公式可由特征方程给出&br&&br&之所以会出现不等是因为k太大时，a(k)太大，造成了&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Ba%28n%29%7D%7Ba%28n-1%29%7D+%3E+%5Cfrac%7Ba%28n-1%29%7D%7Ba%28n-2%29%7D& alt=&\frac{a(n)}{a(n-1)} & \frac{a(n-1)}{a(n-2)}& eeimg=&1&&中分母过大。&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&8.&strong&Fermat 大定理的推广&/strong&&br&&br&&br&&strong&Fermat 大定理:&/strong&&br&&br&当整数n &2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。&br&&br&1995年已被怀尔斯证明成立，在这之前有无数关于费马大定理的推广猜想：&br&如Euler 曾经&br&&b&猜想:&/b&&br&对于k为不小于2的正整数，&br&当 n & k 时，方程&br&&img src=&///equation?tex=+x_1%5En+%2B+x_2%5En+%2B+%5Chdots+%2B+x_k%5En+%3D+y%5En& alt=& x_1^n + x_2^n + \hdots + x_k^n = y^n& eeimg=&1&& 都没有正整数解。&br&k=2，即为费马大定理，命题成立&br&对k=3，也搜索过没有某个&img src=&///equation?tex=x_i%3C10000& alt=&x_i&10000& eeimg=&1&&的正整数解&br&&br&看起来命题可能成立，好像我们只需要找到更有力的数学工具像费马大定理一样去证明它就可以了。&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&b&反例&/b&&b&:&/b&&br&1.当k=3时，就有反例，如n=4&3时&br&&b&方程&img src=&///equation?tex=+x%5E4+%2B+y%5E4%2B+z%5E4+%3D+w%5E4& alt=& x^4 + y^4+ z^4 = w^4& eeimg=&1&& 就有一个正整数解。&/b&&br&如&img src=&///equation?tex=2+682+440%5E4+%2B+15+365+639%5E4+%2B+18+796+760%5E4+%3D+20+615+673%5E4+& alt=&2 682 440^4 + 15 365 639^4 + 18 796 760^4 = 20 615 673^4 & eeimg=&1&&&br& 1986 年由Noam Elkies 给出。&br&（并且他非常厉害的给出了构造无限个这个方程的正整数解的方法）&br&&br&2.另外最早的且最易接受的反例来自&br&k=4，n=5时&br&&b&方程&img src=&///equation?tex=+x%5E5+%2B+y%5E5%2B+z%5E5%2Bt%5E5+%3D+w%5E5& alt=& x^5 + y^5+ z^5+t^5 = w^5& eeimg=&1&& 就有一个正整数解。&/b&&br&如&img src=&///equation?tex=27%5E5+%2B+84%5E5+%2B+110%5E5+%2B+133%5E5+%3D+144%5E5+& alt=&27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5 & eeimg=&1&&&br&1966年由Lander 与 Parkin通过计算机(型号为CDC 6600，如下图)给出：&br&&img src=&/f39f0a972d5d_b.png& data-rawwidth=&604& data-rawheight=&419& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&604& data-original=&/f39f0a972d5d_r.png&&（不得不说他们运气也很不错，能够发现一组较小的反例解，如果反例太大当时的计算机肯定无法完成循环搜索）&br&&br&&br&注：&br&这些反例难道是别人随意就想出来的麽？&br&数学上，寻找反例并不是仅仅的碰运气，很多时候需要结合很多技巧,考虑如果反例出现，研究其需要满足的必要条件，再去寻找到反例。&br&&br&对于这个问题，擅长计算的Euler本身自己也做了研究&br&他发现了恒等式&br&&img src=&///equation?tex=59%5E4%2B158%5E4%3D133%5E4%2B134%5E4& alt=&59^4+158^4=133^4+134^4& eeimg=&1&&，但是这个不符合方程结构，给不出反例&br&他也发现了&br&&img src=&///equation?tex=3%5E3%2B4%5E3%2B5%5E3%3D6%5E3& alt=&3^3+4^3+5^3=6^3& eeimg=&1&&,可惜这个是n=3，k=3的情况&br&&br&我们始终明白这么一个事实，人的计算能力是有限的，所以Euler虽然能够心算到千位数加减乘除，但是这个反例还是太大了，超过了手工计算的极限。&br&举个例子,关于方程&img src=&///equation?tex=+x%5E4+%2B+y%5E4%2B+z%5E4+%3D+w%5E4& alt=& x^4 + y^4+ z^4 = w^4& eeimg=&1&&&br&如果一个个尝试x,y,z,w，就算每一组数据平均只需要的10秒计算，&br&要测试x,y,z,w上界到达100万的情况，就至少需要10亿亿秒,也就是&img src=&///equation?tex=3%5Ctimes10%5E%7B11%7D& alt=&3\times10^{11}& eeimg=&1&&年!&br&&br&&br&如果1986年的计算机想要跑数据，也并不能够做这么大的四次循环。&br&那么Noam Elkies 是怎么给出构造无穷多个反例的方法呢？&br&参见这篇论文&br&&a href=&///?target=http%3A//www.ams.org/journals/mcom//S88-/S88-.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&ams.org/journals/mcom/1&/span&&span class=&invisible&&988-51-184/S88-/S88-.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&用到了代数曲线上的有理点，模函数等知识，做了一些分类讨论，化归成了简单一些的情况&br&&br&&b&所以这个反例说明了即使寻找反例也要借助较好的数学知识来分析,而不是瞎猜一通。&/b&&br&&br&再注：&br&还有一些类似的美妙的恒等式可以用来给出某些类似的方程的解（来自wiki）：&br&&br&&img src=&///equation?tex=30%5E4+%2B+120%5E4+%2B+272%5E4+%2B+315%5E4+%3D+353%5E4+%28R.+Norrie%2C+1911%29& alt=&30^4 + 120^4 + 272^4 + 315^4 = 353^4 (R. Norrie, 1911)& eeimg=&1&&&br&&br&&img src=&///equation?tex=127%5E7+%2B+258%5E7+%2B+266%5E7+%2B+413%5E7+%2B+430%5E7+%2B+439%5E7+%2B+525%5E7+%3D+568%5E7+%28M.+Dodrill%2C+1999%29& alt=&127^7 + 258^7 + 266^7 + 413^7 + 430^7 + 439^7 + 525^7 = 568^7 (M. Dodrill, 1999)& eeimg=&1&&&br&&br&&img src=&///equation?tex=90%5E8+%2B+223%5E8+%2B+478%5E8+%2B+524%5E8+%2B+748%5E8+%2B++%2B++%2B++%3D++%28S.+Chase%2C+2000%29& alt=&90^8 + 223^8 + 478^8 + 524^8 + 748^8 + 1088^8 + 1190^8 + 1324^8 = 1409^8 (S. Chase, 2000)& eeimg=&1&&&br&&br&&img src=&///equation?tex=19%5E5+%2B+43%5E5+%2B+46%5E5+%2B+47%5E5+%2B+67%5E5+%3D+72%5E5+%28Lander%2C+Parkin%2C+Selfridge%2C1967%29& alt=&19^5 + 43^5 + 46^5 + 47^5 + 67^5 = 72^5 (Lander, Parkin, Selfridge,1967)& eeimg=&1&&&br&&br&&br&&br&&br&&b&9.The Strong Law of Small Numbers 论文中提到的一些例子节选&/b&&br&&br&&br&论文其实就是要表明一个观点：&br&&b&You cannot tell by looking.&/b&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&b&A.费马数：&/b&&br&&br&若&img src=&///equation?tex=2%5En%2B1& alt=&2^n+1& eeimg=&1&&为素数，其必要条件是&b&&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&为2的幂&/b&&br&证：&br&假设&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&有某个奇数因子&img src=&///equation?tex=2k%2B1& alt=&2k+1& eeimg=&1&&，设&img src=&///equation?tex=n%3D%282k%2B1%29m& alt=&n=(2k+1)m& eeimg=&1&&,k为正整数&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac+%7B2%5En%2B1%7D%7B2%5Em%2B1%7D%3D%5Cfrac+%7B%282%5Em%29%5E%7B2k%2B1%7D%2B1%7D%7B2%5Em%2B1%7D%3D1-2%5Em%2B2%5E%7B2m%7D-%5Chdots%2B2%5E%7B2mk%7D& alt=&\frac {2^n+1}{2^m+1}=\frac {(2^m)^{2k+1}+1}{2^m+1}=1-2^m+2^{2m}-\hdots+2^{2mk}& eeimg=&1&&为不为1的正整数&br&所以&img src=&///equation?tex=2%5En%2B1& alt=&2^n+1& eeimg=&1&&含因子&img src=&///equation?tex=2%5Em%2B1& alt=&2^m+1& eeimg=&1&&,为合数,矛盾！&br&&br&&br&那么反过来是不是每一个2的幂对应一个素数呢，著名民间科学家费马发现&br&&img src=&///equation?tex=%5C%5CF%280%29%3D2%5E%7B2%5E0%7D%2B1%3D3%0A%5C%5CF%281%29%3D2%5E%7B2%5E1%7D%2B1%3D5+%0A%5C%5CF%282%29%3D2%5E%7B2%5E2%7D%2B1%3D17+%0A%5C%5CF%283%29%3D2%5E%7B2%5E3%7D%2B1%3D257+%0A%5C%5CF%284%29%3D2%5E%7B2%5E4%7D%2B1%3DC%5CF%285%29%3D2%5E%7B2%5E5%7D%2B1%3D%3F%0A& alt=&\\F(0)=2^{2^0}+1=3
\\F(1)=2^{2^1}+1=5
\\F(2)=2^{2^2}+1=17
\\F(3)=2^{2^3}+1=257
\\F(4)=2^{2^4}+1=65537
\\F(5)=2^{2^5}+1=?
& eeimg=&1&&&br&(求教Latex怎么左对齐……)&br&&br&前5个是质数,&br&&b&因为第6个数实在太大了,费马认为是质数.&/b&&br&&img src=&/77b0e6c922fe8ad3cfdd11_b.png& data-rawwidth=&77& data-rawheight=&75& class=&content_image& width=&77&&&br&&br&1640年费马&b&猜想：&/b&&br&&img src=&///equation?tex=F%28n%29%3D2%5E%7B2%5En%7D%2B1& alt=&F(n)=2^{2^n}+1& eeimg=&1&& 的数都是质数&br&(费马没给出证明……)&br&&br&&br&&br&&b&反例：&/b&&br&&b&1732年擅长计算的Euler给出&/b&&br&&img src=&///equation?tex=F%285%29%3D641%5Ctimes6700417& alt=&F(5)=641\times6700417& eeimg=&1&&&br&&br&注：&br&之后人们利用计算机一口气算到了n=46以后，发现n大于4小于47时,Fn都是合数&br&目前只知道n=0,1,2,3,4时,F(n)是素数&br&甚至有人猜想,&b&n&4时，F(n)均是合数…（还没有反例）&/b&&br&&br&费马如果能看到,他的表情一定是:&br&&img src=&/77b0e6c922fe8ad3cfdd11_b.png& data-rawwidth=&77& data-rawheight=&75& class=&content_image& width=&77&&&br&&br&&b&B.梅森素数&/b&&br&&img src=&/3cc7a01d01f5f1b6eaee3c2_b.png& data-rawwidth=&668& data-rawheight=&373& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&668& data-original=&/3cc7a01d01f5f1b6eaee3c2_r.png&&&br&如果&img src=&///equation?tex=2%5En-1& alt=&2^n-1& eeimg=&1&&是素数，那么一个必要条件是n是素数，证明和A相似，这里略去&br&但是若n是素数，&img src=&///equation?tex=2%5En-1& alt=&2^n-1& eeimg=&1&&一定是素数么？&br&计算一下,当n=2,3,5,7时是对的&br&&br&&b&反例&/b&：&br&&img src=&///equation?tex=n%3D11%2C2%5E%7B11%7D-1%3D%5Ctimes89& alt=&n=11,2^{11}-1=2047=23\times89& eeimg=&1&&&br&&br&注：本来并不想写出这个梅森素数，因为这个反例并不巨大，但是其很著名，同时也反映了一些问题。&br&寻找梅森素数一直是一个有趣的课题，是否存在无穷多个梅森素数仍然是数论中未解决的著名难题之一。&br&更多信息见&a href=&///?target=http%3A///subview/.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&梅森素数_百度百科&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&&b&C.&/b&&br&&img src=&///equation?tex=31%2C331%2C331%2CCC& alt=&31,331,,1& eeimg=&1&&均是素数&br&但是&br&&img src=&///equation?tex=D17%5Ctimes& alt=&\times& eeimg=&1&&不是素数&br&&br&&b&D.&/b&&br&考虑数列&br&&img src=&///equation?tex=x_0%3D1%2Cx_n%3D%5Cfrac%7B1%2Bx%5E2_0%2B%5Chdots%2Bx%5E2_%7Bn-1%7D%7D%7Bn%7D& alt=&x_0=1,x_n=\frac{1+x^2_0+\hdots+x^2_{n-1}}{n}& eeimg=&1&&&br&&br&可以求出&br&&b&&img src=&/dfb61faee_b.png& data-rawwidth=&513& data-rawheight=&50& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&513& data-original=&/dfb61faee_r.png&&猜想：&/b&&br&&img src=&///equation?tex=x_n& alt=&x_n& eeimg=&1&&总是一个整数&br&事实上，这对n&30均成立&br&&b&反例：&/b&&br&&b&&img src=&///equation?tex=x_%7B43%7D& alt=&x_{43}& eeimg=&1&&不是整数。&/b&&br&&br&证明如下:&br&得到递推式后，两边同时模43,如果&img src=&///equation?tex=x_%7B43%7D& alt=&x_{43}& eeimg=&1&&是整数，那么两边会不同余&br&&img src=&/11d4fae8c585a86c4b2ea3_b.png& data-rawwidth=&513& data-rawheight=&191& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&513& data-original=&/11d4fae8c585a86c4b2ea3_r.png&&&br&&br&对于更多数列和素数上的巧合那就数不胜数了，可参见论文中更多例子&br&&br&可见猜想虽然很多时候从直觉出发，但是因为从有限枚举的情况不能推出无穷种情况都成立，然而人类处理的数字公式和数列越来越多的时候，那么就会自然而然出现巧合了，&br&因为&b&只有1个1,1个2,1个3,1个4,1个5,1个6,1个7,&/b&……却有无穷个数列和无穷多个数学问题，所以各种巧合很有可能发生，但是由于&b&计算能力有限&/b&我们往往枚举过程中探知不到矛盾。&br&&br&E.&br&&img src=&///equation?tex=n%5E%7B17%7D%2B9%2C+%28n%2B1%29%5E%7B17%7D%2B9& alt=&n^{17}+9, (n+1)^{17}+9& eeimg=&1&&对n为正整数总是互素么？&br&如果用计算机去从1开始一个个验证，那么计算机是无法发现反例的&br&(很有可能运行超时)&br&&b&其实对于1亿亿内的n都可以成立这个命题&/b&&br&&br&但是这真的对所有n成立麽？&br&&br&&br&&br&&b&反例：&/b&&br&第一个出现在&br&&img src=&///equation?tex=n%3D2433& alt=&n=2433& eeimg=&1&&时&br&&br&&br&&br&如何发现反例的和相关原因可以参考这个问题：&a href=&///?target=http%3A//mathoverflow.net/questions/130783/reasons-to-prefer-one-large-prime-over-another-to-approximate-characteristic-zer& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&computer algebra&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&&br&&br&&br&&b&10.佩尔方程&/b&&br&&br&很多时候知道一些数学知识后，才能轻易地解决一些看似很复杂的东西。&br&&br&假定你不知道佩尔方程的理论，那么关于方程&br&&img src=&///equation?tex=x%5E2-109y%5E2%3D1& alt=&x^2-109y^2=1& eeimg=&1&&的正整数解的存在性,&br&&br&你可能会先试探下一些某些较小的数字，如&img src=&///equation?tex=%28x%2Cy%29%3D%%29%2C%%29& alt=&(x,y)=(11,1),(21,2)& eeimg=&1&&等等&br&来试图得到一些解，可是无功而返。&br&&br&由于&img src=&///equation?tex=x%5E2%3E109y%5E2& alt=&x^2&109y^2& eeimg=&1&&,也许x会比较大吧,我们可以通过程序来跑一跑&br&x,y在1~10000之间时是否能够得到解&br&（省略程序）&br&然而还是无功而返。&br&&br&如果我告诉你，在x或y小于&b&一万亿&/b&的范围内方程还是没有正整数解!&br&而&img src=&///equation?tex=x%5E2-110y%5E2%3D1& alt=&x^2-110y^2=1& eeimg=&1&&有一组正整数解（21,2）&br& 而&img src=&///equation?tex=x%5E2-108y%5E2%3D1& alt=&x^2-108y^2=1& eeimg=&1&&有一组正整数解（）&br&你是否会&br&&b&猜想&/b&：&br&方程&img src=&///equation?tex=x%5E2-109y%5E2%3D1& alt=&x^2-109y^2=1& eeimg=&1&&没有正整数解&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&b&反例：&/b&&br&&img src=&///equation?tex=%28x%2Cy%29%3D%%29& alt=&(x,y)=(249,00)& eeimg=&1&&时&br&&img src=&///equation?tex=x%5E2-109y%5E2%3D1& alt=&x^2-109y^2=1& eeimg=&1&&&br&且这是方程最小正整数解&br&&br&&br&&br&&b&注：&/b&&br&&br&好了……这个正整数解肯定不是靠遍历跑出来的，计算机也吃不消&br&其实只要计算&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B109%7D+& alt=&\sqrt{109} & eeimg=&1&&的渐进连分数&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bh_0%7D%7Bk_0%7D%2C%5Cfrac%7Bh_0%7D%7Bk_0%7D%2C%5Chdots%2C%5Cfrac%7Bh_%7Bl-1%7D%7D%7Bk_%7Bl-1%7D%7D& alt=&\frac{h_0}{k_0},\frac{h_0}{k_0},\hdots,\frac{h_{l-1}}{k_{l-1}}& eeimg=&1&&(这个有简单递推公式)&br&&img src=&///equation?tex=l& alt=&l& eeimg=&1&&是连分数序列的最小正周期，&br&若&img src=&///equation?tex=l& alt=&l& eeimg=&1&&是偶数，则&img src=&///equation?tex=%28h_%7Bl-1%7D%2Ck_%7Bl-1%7D%29& alt=&(h_{l-1},k_{l-1})& eeimg=&1&&就是方程的一组特解，&br&否则&img src=&///equation?tex=%28h_%7B2l-1%7D%2Ck_%7B2l-1%7D%29& alt=&(h_{2l-1},k_{2l-1})& eeimg=&1&&是方程的一组特解。&br&&br&证明参考任何一本讲述了Pell方程的初等数论书籍或者wiki&br&&br&Pell方程即形如&br&&img src=&///equation?tex=x%5E2-Dy%5E2%3D1& alt=&x^2-Dy^2=1& eeimg=&1&&&br&的方程，D是正整数但不是完全平方数&br&&br&&br&事实上我们可以证明，Pell方程一定有无穷多组正整数解，这是初等数论一个经典结果。&br&&img src=&/57ffb628b5ead78e1484c_b.png& data-rawwidth=&821& data-rawheight=&327& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&821& data-original=&/57ffb628b5ead78e1484c_r.png&&&br&&br&可见：&br&&b&很多时候一些对小数验证的猜想不一定对大数成立。&/b&&br&这就是为什么很多关于否定方程的正整数解的命题（如费马大定理）不能通过验证较小的整数达到证明目的（如1万亿以内），比如这个Pell方程，其在x,y小于一万亿的范围内也是没有解的，但是它有解而且有无穷多正整数解。&br&这&b&恰好说明了发展数学理论的重要性&/b&，比如Pell方程其理论与连分数算法都是经过研究得到的(Lagrange有重要贡献)，而不是单纯的枚举法。&br&更多可参见&a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Pell%2527s_equation%23Fundamental_solution_via_continued_fractions& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Pell's equation&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&再注：&br&&b&阿基米德群牛问题&/b&&br&见百科&a href=&///?target=http%3A///view/54461.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&阿基米德群牛问题&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&img src=&/9c9b75d53ddcb_b.png& data-rawwidth=&796& data-rawheight=&94& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&796& data-original=&/9c9b75d53ddcb_r.png&&论阿基米德为什么要带那么多牛来到西西里岛……&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&b&11.不知道具体数字的反例&/b&&br&&br&数论中一个非常漂亮的结果就是素数定理:&br&即对正实数&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&，定义&img src=&///equation?tex=%5Cpi%28x%29& alt=&\pi(x)& eeimg=&1&&为不大于&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&的素数个数，我们可以用一些初等函数来估计π(x),从而较对素数分布得到一些较精确的结果&br&&b&素数定理&/b&是说：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cpi%28x%29+%5Csim+%5Cfrac+%7Bx%7D%7Bln+x%7D%2Cx%5Crightarrow%5Cinfty+& alt=&\pi(x) \sim \frac {x}{ln x},x\rightarrow\infty & eeimg=&1&&&br&&b&一个直观的理解就是当N充分大时，在1到N之间任取一个数，其是素数的概率大概为&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7BlnN%7D& alt=&\frac{1}{lnN}& eeimg=&1&&&br&&/b&&br&&br&&br&这个结果等价于&img src=&///equation?tex=x+%5Crightarrow+%5Cinfty& alt=&x \rightarrow \infty& eeimg=&1&&时&br&&img src=&///equation?tex=%5Cpi%28x%29+%5Csim+%5Cfrac+%7Bx%7D%7Bln+x%7D+%5Csim+li%28x%29%2Cx%5Crightarrow%5Cinfty+& alt=&\pi(x) \sim \frac {x}{ln x} \sim li(x),x\rightarrow\infty & eeimg=&1&&&br&其中&img src=&///equation?tex=li%28x%29%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bx%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Blnt%7Ddt+& alt=&li(x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{lnt}dt & eeimg=&1&&(不难证明积分存在且有限)&br&&br&第二个等价成立的原因可以用洛必达法则证明&br&&img src=&///equation?tex=+%5Clim_%7Bx+%5Crightarrow+%5Cinfty+%7D%7B+%5Cfrac%7B%5Cfrac+%7Bx%7D%7Bln+x%7D%7D+%7B+li%28x%29%7D%7D%3D+%5Clim_%7Bx+%5Crightarrow+%5Cinfty+%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Blnx%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%28lnx%29%5E2%7D%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Blnx%7D%7D%7D%3D1& alt=& \lim_{x \rightarrow \infty }{ \frac{\frac {x}{ln x}} { li(x)}}= \lim_{x \rightarrow \infty }{\frac{\frac{1}{lnx}-\frac{1}{(lnx)^2}}{\frac{1}{lnx}}}=1& eeimg=&1&&&br&&br&问题来了：&br&&br&既然&img src=&///equation?tex=%5Cpi%28x%29+%5Csim+li%28x%29%2Cx%5Crightarrow%5Cinfty+& alt=&\pi(x) \sim li(x),x\rightarrow\infty & eeimg=&1&&&br&那么&img src=&///equation?tex=%5Cpi%28x%29+%2C+li%28x%29+& alt=&\pi(x) , li(x) & eeimg=&1&&究竟有多接近呢？&br&下面有一组数据&br&第一列为n的值，第二列为&img src=&///equation?tex=%5Cpi%28n%29+& alt=&\pi(n) & eeimg=&1&&的值，第三列为&img src=&///equation?tex=li%28x%29+& alt=&li(x) & eeimg=&1&&的值(取6位有效数字)&br&&img src=&/2e8ae312ab_b.png& data-rawwidth=&240& data-rawheight=&281& class=&content_image& width=&240&&似乎总有第二列对应值＜第三列对应值&br&&br&&b&猜想：&/b&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cforall+n+%5Cin+%5Cmathbb+N%2C%5Cpi%28n%29+%3C+li%28n%29+& alt=&\forall n \in \mathbb N,\pi(n) & li(n) & eeimg=&1&&&br&&br&这个猜想确实是Reasonable的,上面写的那些等价无穷大的结论都是对的。&br&&br&并且我们有了很多类似的结果如&br&&img src=&/0b280eb5ee8c40ff39c9b9_b.png& data-rawwidth=&257& data-rawheight=&55& class=&content_image& width=&257&&(当x大于55)&br&&img src=&/250eb16af5d28d2b55e6_b.png& data-rawwidth=&490& data-rawheight=&60& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&490& data-original=&/250eb16af5d28d2b55e6_r.png&&(当x大于355991)&br&&br&哪怕我们能找到一个确定的N，使n&N时有&br&&img src=&///equation?tex=%5Cpi%28n%29+%3C+li%28n%29+& alt=&\pi(n) & li(n) & eeimg=&1&&&br&我们就可以对n在1-N之间有限的情况验证即可&br&&br&（这种技巧在数论证明中真是屡见不鲜，有限情况都靠计算机即可）&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&反例：&br&&br&&br&&br&John Edensor Littlewood 1914年证明了这样的n一定存在&br&使得&img src=&///equation?tex=%5Cpi%28n%29+%3E++li%28n%29+& alt=&\pi(n) &
li(n) & eeimg=&1&&&br&&blockquote&All numerical evidence then available seemed to suggest that π(&i&x&/i&) was always less than li(&i&x&/i&). Littlewood's proof did not, however, exhibit a concrete such number &i&x&/i&&/blockquote&他还进一步证明了&img src=&///equation?tex=%5Cpi%28x%29+-+li%28x%29+& alt=&\pi(x) - li(x) & eeimg=&1&&在&img src=&///equation?tex=%280%2C%2B%5Cinfty+%29& alt=&(0,+\infty )& eeimg=&1&&会无穷多次变号&br&&br&&br&&br&&b&注：&/b&&br&接下来该我们的Stanley Skewes 出场了&br&Stanley Skewes 何许人也？&br&南非数学家，Littlewood 的学生之一，Littlewood是他的研究生导师，肯定当时给了他这个题目让他做……&br&&br&Stanley Skewes于1933年证明了存在一个自然数n，n小于&img src=&/12ae3ab4ed741ec8551771e_b.png& data-rawwidth=&145& data-rawheight=&44& class=&content_image& width=&145&&使得&img src=&///equation?tex=%5Cpi%28n%29+%3E++li%28n%29+& alt=&\pi(n) &
li(n) & eeimg=&1&&&br&不过他用到了黎曼猜想是正确的这个假设&br&当年他34岁……&br&&br&Stanley Skewes于1955年证明了存在一个自然数n，n小于&img src=&/f053a8ac642cc_b.png& data-rawwidth=&161& data-rawheight=&39& class=&content_image& width=&161&&使得&img src=&///equation?tex=%5Cpi%28n%29+%3E++li%28n%29+& alt=&\pi(n) &
li(n) & eeimg=&1&&&br&不过这次他摆脱了黎曼猜想是正确的这个假设，可谓真正的证明了上界的存在性。&br&当年他56岁…&br&&br&现在,我们用Skewes' number表示最小的自然数n使得&img src=&///equation?tex=%5Cpi%28n%29+%3E++li%28n%29+& alt=&\pi(n) &
li(n) & eeimg=&1&&&br&现在有更好的估计 Skewes' number比&img src=&/a88e46a10dc016c4b251_b.png& data-rawwidth=&71& data-rawheight=&33& class=&content_image& width=&71&&小&br&&br&但是可见它还是很大，所以计算机不能很好地计算出它（计算能力还是不够……）&br&&br&但是它还是很小的，如果和&b&葛立恒数&/b&相比，它远远小于葛立恒数&br&&img src=&/41e1a89bd8663ccb4bad1d93a2b33f13_b.png& data-rawwidth=&142& data-rawheight=&154& class=&content_image& width=&142&&&br&&br&&br&&b&12.Mertens conjecture&br&&/b&&br&定义域为自然数的莫比乌斯函数μ定义为&br&&ul&&li&μ(1) = 1&br&&/li&&/ul&&li&μ(n) = 1 if n 不含平方因子且含偶数个素数因子&/li&&li&μ(n) = -1 if n 不含平方因子且含奇数个素数因子&/li&&li&μ(n) = 0 if n 含质因子的次数超过2次,即含平方因子(如2^2,3^4,5^2等)&/li&举个例子,其部分取值如下:&br&&img src=&/3f71bba8a160c70f3aace0c21b41afc1_b.png& data-rawwidth=&370& data-rawheight=&201& class=&content_image& width=&370&&&br&μ为什么要这么定义的原因是为了让函数1有一个&b&卷积逆&/b&，这里的卷积定义与积分定义的卷积不同&br&，由此可导出莫比乌斯反演定理(如果有机会以后再在别的答案说明……)&br&&br&定义&img src=&/d21bb601b54112ceee7374_b.png& data-rawwidth=&165& data-rawheight=&49& class=&content_image& width=&165&&称为 Mertens函数&br&&br&&b&1897年Mertens猜想&/b&：&br&对所有＞1的自然数n有&br&&img src=&/7b06ffb0da7a9ba0c883_b.png& data-rawwidth=&106& data-rawheight=&41& class=&content_image& width=&106&&&br&如果令&br&&img src=&/eebbee9bd861fd7e92492_b.png& data-rawwidth=&149& data-rawheight=&33& class=&content_image& width=&149&&那么猜想就是说m(n)的绝对值不超过1&br&&br&这个猜想不难验证在n&100时成立，事实上&br&&b&在n小于10亿内的范围，这个猜想还是成立的！&/b&&br&&br&于是大家对这个猜想还是抱有很大信心的……&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&b&反例：&/b&&br&&br&&br&1985年 Andrew Odlyzko 与 Herman te Riele共同推翻了这个猜想 &br&&br&事实上他们证明了&br&&img src=&/bf77e4e056dcfc253fff59f_b.png& data-rawwidth=&176& data-rawheight=&24& class=&content_image& width=&176&&&img src=&/6bbf7185b5efd9e9fcfd4be6ecb3d8f0_b.png& data-rawwidth=&164& data-rawheight=&25& class=&content_image& width=&164&&&br&1987年Pintz证明了&br&第一个反例对应的n出现在&img src=&///equation?tex=e%5E%7B3.21%5Ctimes10%5E%7B64%7D%7D& alt=&e^{3.21\times10^{64}}& eeimg=&1&&之前&br&(Kotnik和Te Riele在2006年把上界降到了&img src=&///equation?tex=e%5E%7B1.59%5Ctimes10%5E%7B40%7D%7D& alt=&e^{1.59\times10^{40}}& eeimg=&1&&)&br&&br&2004年 Kotnik和Van de Lune 证明了&br&第一个反例对应的n出现在&img src=&///equation?tex=10%5E%7B14%7D& alt=&10^{14}& eeimg=&1&&之后&br&&br&&br&不过目前具体的能给出最大的m(n)为n=时，&br&此时&br&
M() = 50286&br&&img src=&/350c66e6a2a3bcf9b3c04_b.png& data-rawwidth=&138& data-rawheight=&26& class=&content_image& width=&138&&&br&&br&&br&&b&注：&/b&&br&可能有人会有疑问，你给不出具体的反例算什么,哪里推翻了猜想啊……&br&&img src=&/eb805b2d92f07a87f0a7c8_b.png& data-rawwidth=&69& data-rawheight=&90& class=&content_image& width=&69&&有些时候，我们做估计往往是对于整体做的估计，比如证明著名的Bertrand假设:&br&&br&（见数学天书中的证明,Page 7）&br&&img src=&/a706cb22a0b_b.png& data-rawwidth=&396& data-rawheight=&76& class=&content_image& width=&396&&&br&一个关键的估计不等式在于:&br&&img src=&/283cbb78ee689df37c390ed_b.png& data-rawwidth=&427& data-rawheight=&75& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&427& data-original=&/283cbb78ee689df37c390ed_r.png&&反证这样的素数不存在,会吃掉最后一个乘积，而第一，二个乘积可以有很好的上界:&br&&img src=&/0cbec950c5fffe7d3888c5b_b.png& data-rawwidth=&440& data-rawheight=&73& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&440& data-original=&/0cbec950c5fffe7d3888c5b_r.png&&那么&br&&img src=&/be9cdb333c3e141c6bcba2d_b.png& data-rawwidth=&508& data-rawheight=&239& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&508& data-original=&/be9cdb333c3e141c6bcba2d_r.png&&&br&&img src=&/852a2e69beaeed_b.png& data-rawwidth=&184& data-rawheight=&51& class=&content_image& width=&184&&&br&而这个不等式对于较大的n是不成立的，于是&b&导出了矛盾！&/b&&br&(如n&4000,再对n&4000直接验证定理即可)&br&&br&&br&证明需要依赖一些整体性的计数类的结果，或者利用筛法估计&br&也就是&b&我们在证明过程中可能利用整体的信息而丢掉了个体的信息，所以我们无法从正确的证明中获得反例，但这绝对不意味着没有反例或者证明错误。&/b&&br&&br&再举一个例子，就是Lebesgue和Riemman积分,都忽略了被积函数在单点的信息，而提取出整体的信息&br&比如&img src=&///equation?tex=%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D+f+d%5Cmu+%3C1& alt=&\int_{0}^{1} f d\mu &1& eeimg=&1&&，那么我一定可以知道有一点x在[0,1]之间使得&img src=&///equation?tex=f%28x%29%3C1& alt=&f(x)&1& eeimg=&1&&，&br&但你要问我是哪个点，我可以说无可奉告&br&&br&&br&&br&&b&13.Prime race(素数竞赛)&/b&&br&&br&&br&如果取出不大于n的所有不等于3的素数,按照它们除以3的余数来分成两组，&br&一组叫做Team 1，1组的素数除以3的余数是1，如7,13&br&一组叫做Team 2，2组的素数除以3的余数是2，如2,5,11&br&&br&如下图：&br&&img src=&/45f751bbea7e9_b.png& data-rawwidth=&473& data-rawheight=&55& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&473& data-original=&/45f751bbea7e9_r.png&&&br&&br&我们可以感觉到当n固定时，&br&似乎1组的素数总比2组少&br&如n=3时,只有2组有一个成员 2&br&如n=8时，2组成员有两个，比1组多&br&如n=60时&br&&img src=&///equation?tex=Team%5Cquad1+%3A7%2C13%2C31%2C37%2C43& alt=&Team\quad1 :7,13,31,37,43& eeimg=&1&&,只有5个成员&br&&img src=&///equation?tex=Team%5Cquad2%3A%7B2%2C5%2C11%2C17%2C23%2C29%2C41%2C47%2C53%2C59%7D%0A& alt=&Team\quad2:{2,5,11,17,23,29,41,47,53,59}
& eeimg=&1&&，有10个成员&br&&br&&br&当n不断增加的时候，两组分别的素数个数的增长就和跑步比赛一样，不断增加，不过似乎总有&br&1组的素数比2组的素数少，就好比1总是落在2后面一样。&br&&br&&b&猜想：&br&&/b&&br&&b&对n为正整数,1组的素数总比2组少&/b&&br&下面有一张表,表明这个猜想对于较小的数字的正确性&br&&img src=&/d37c88ef9f7bd1e70ef3a_b.png& data-rawwidth=&493& data-rawheight=&318& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&493& data-original=&/d37c88ef9f7bd1e70ef3a_r.png&&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&b&最小的一个反例：&/b&&br&&img src=&///equation?tex=n+%3D+608%2C981%2C813%2C029& alt=&n = 608,981,813,029& eeimg=&1&&时，&br&1组成员比2组成员多，1组超过了2组&br&&br&由1976年由Bays 与 Hudson发现。&br&&br&(真乃：功夫不负有心人……)&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&注：&br&&br&这方面的理论基础源于John Edensor Littlewood (没错，又是他)&br&John Edensor Littlewood 1914发表一个对这方面问题的很好的估计的paper&br&&br&最后有一个非常好的讨论和研究见&br&&b&&a href=&///?target=http%3A//www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/granville1.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&maa.org/sites/default/f&/span&&span class=&invisible&&iles/pdf/upload_library/22/Ford/granville1.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&/b&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&b&14.组合几何中的反例&/b&&br&&br&&br&&b&Borsuk's
conjecture&br&&/b&&br&&img src=&/e28a759cc545dab07c36bb994727aea8_b.png& data-rawwidth=&178& data-rawheight=&155& class=&content_image& width=&178&&&br&&br&一直讨论数论问题会让人有些疲惫。来看这么一个组合几何问题:&br&&br&Karol Borsuk(就是那个证明了博苏克-乌拉姆定理的数学家)在1932年证明了：&br&&br&任何一个二维欧氏空间中的球体(二维球即圆盘)可以被剖分成3部分,每一部分的直径&b&严格&/b&小于球的直径&br&一般地，d维欧氏空间中的球体可以被剖分成d+1个部分,每一部分的直径&b&严格&/b&小于球的直径，对d为正整数&br&&br&于是他&b&猜想&/b&：&br&对n为正整数，&br&n维欧氏空间中的每一个有界集合E,是否均可以划分成n+1个子集，每一个子集的直径均&b&严格&/b&小于E的直径？&br&&br&&br&&br&&br&已经可以证明&br&n=2,3时是成立的&br&对所有的n,E为光滑凸集时，定理均成立(利用博苏克-乌拉姆定理)&br&&br&而对于高维情形，似乎无从下手。&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&b&反例：&/b&&br&&br&&br&1993 年Gil Kalai 和 Jeff Kahn找到n= 1325时，命题不成立，对n＞2014命题也不成立&br&&br&&img src=&/5a1aa1a35d569d_b.png& data-rawwidth=&1049& data-rawheight=&184& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1049& data-original=&/5a1aa1a35d569d_r.png&&&br&&br&注：&br&博苏克-乌拉姆定理：&br&&img src=&/f3dbc86b4e6f0cd36182_b.png& data-rawwidth=&478& data-rawheight=&51& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&478& data-original=&/f3dbc86b4e6f0cd36182_r.png&&&br&&br&&br&&br&&b&15.分析学上的反例&/b&&br&&br&&br&定义&br&&img src=&///equation?tex=sinc%28x%29%3D%5Cfrac+%7Bsin%28x%29%7D%7Bx%7D%2Cx%5Cne+0%0A& alt=&sinc(x)=\frac {sin(x)}{x},x\ne 0
& eeimg=&1&&,x=0时取值为1&br&不难验证sinc(x)在R上无穷次可导，图像如下方红线：&br&&img src=&/e308248eadff846aaedd3cc5f470117c_b.png& data-rawwidth=&616& data-rawheight=&416& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&616& data-original=&/e308248eadff846aaedd3cc5f470117c_r.png&&&br&&br&有公式：&br&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac+12+%2B+%5Csum_%7Bm%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Cprod_%7Bk%3D0%7D%5EN+%5Cmathrm%7Bsinc%7D%5Cleft%28%5Cfrac+m%7B2k%2B1%7D%5Cright%29%3D%5Cint_0%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Cprod_%7Bk%3D0%7D%5E%7BN%7D+%5Cmathrm%7Bsinc%7D%5Cleft%28%5Cfrac+x%7B2k%2B1%7D%5Cright%29%5C+dx.& alt=&\frac 12 + \sum_{m=1}^{\infty} \prod_{k=0}^N \mathrm{sinc}\left(\frac m{2k+1}\right)=\int_0^{\infty} \prod_{k=0}^{N} \mathrm{sinc}\left(\frac x{2k+1}\right)\ dx.& eeimg=&1&&&br&&br&对于&img src=&///equation?tex=N%3D0%2C1%2C2%2C3%5Ccdots+7& alt=&N=0,1,2,3\cdots 7& eeimg=&1&&均成立&br&事实上对于&img src=&///equation?tex=N+%5Cleq+40248& alt=&N \leq 40248& eeimg=&1&&公式均成立&br&&br&但&img src=&///equation?tex=N%3E+40248& alt=&N& 40248& eeimg=&1&&左边严格大于右边,结论不成立&br&&br&&br&注：&br&至于为什么，请见&b&&a href=&///?target=http%3A//arxiv.org/pdf/.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&arxiv.org/pdf/&/span&&span class=&invisible&&v2.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/b&&br&其讲述了如何运用这类方法构造恒等式对n=1,……N成立，但对n&N时不成立。&br&&br&&br&&b&16.分析学上的反例&/b&&br&&br&&br&来自《Inside Interesting Integrals》 by Paul J. Nahin.&br&利用简单的Fourier变换或者熟知的&img src=&///equation?tex=%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Cfrac+%7Bsin%28x%29%7D%7Bx%7D+dx%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D& alt=&\int_{0}^{\infty} \frac {sin(x)}{x} dx=\frac{\pi}{2}& eeimg=&1&&&br&容易证明下面公式的第一个(第2,3个事实上也是对的)：&br&&img src=&/333528bddf09cbfb2de4cc_b.png& data-rawwidth=&507& data-rawheight=&141& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&507& data-original=&/333528bddf09cbfb2de4cc_r.png&&可能会有&br&&b&猜想：&/b&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cint_0%5E%5Cinfty%5Cprod_%7Bk%3D1%7D%5En%5Ccos%5Cleft%28%5Cfrac%7Bx%7D%7Bk%7D%5Cright%29%5Cfrac%7B%5Csin%284x%29%7D%7Bx%7D%5C%2Cdx%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5Cqquad& alt=&\int_0^\infty\prod_{k=1}^n\cos\left(\frac{x}{k}\right)\frac{\sin(4x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}\qquad& eeimg=&1&&,对n为自然数。&br&&br&&br&继续，对n=1,2,3,4,…,10检验都成立，甚至n=30也是对的：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cint_0%5E%5Cinfty%5Ccos%28x%29%5Ccos%5Cleft%28%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%5Cright%29%5Ccos%5Cleft%28%5Cfrac%7Bx%7D%7B3%7D%5Cright%29%5Ccdots%5Ccos%5Cleft%28%5Cfrac%7Bx%7D%7B30%7D%5Cright%29%5Cfrac%7B%5Csin%284x%29%7D%7Bx%7D%5C%2Cdx%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5Capprox1.%5Cldots& alt=&\int_0^\infty\cos(x)\cos\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{3}\right)\cdots\cos\left(\frac{x}{30}\right)\frac{\sin(4x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}\approx1.\ldots& eeimg=&1&&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&b&反例：&/b&&br&n=31时不成立&br&数值分析给出:&br&&img src=&///equation?tex=%5Cint_0%5E%5Cinfty%5Ccos%28x%29%5Ccos%5Cleft%28%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%5Cright%29%5Ccos%5Cleft%28%5Cfrac%7Bx%7D%7B3%7D%5Cright%29%5Ccdots%5Ccos%5Cleft%28%5Cfrac%7Bx%7D%7B30%7D%5Cright%29%5Ccos%5Cleft%28%5Cfrac%7Bx%7D%7B31%7D%5Cright%29%5Cfrac%7B%5Csin%284x%29%7D%7Bx%7D%5C%2Cdx%5Capprox1.B533%5Cldots%7D& alt=&\int_0^\infty\cos(x)\cos\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{3}\right)\cdots\cos\left(\frac{x}{30}\right)\cos\left(\frac{x}{31}\right)\frac{\sin(4x)}{x}\,dx\approx1.\ldots}& eeimg=&1&&&br&&br&而&br&&img src=&///equation?tex=1.%5Chdots%5Cne+1.%5Chdots%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D& alt=&1.\hdots\ne 1.\hdots=\frac{\pi}{2}& eeimg=&1&&&br&&br&&br&注：&br&以前在学习积分学时，就可以注意到&img src=&///equation?tex=sin%28x%29%2Ccos%28x%29%2C%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D& alt=&sin(x),cos(x),\frac{1}{x}& eeimg=&1&&的组合在0到无穷的积分会导致各种奇怪的现象…&br&如可以作为微积分习题的两题：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bsin%28%5Calpha+x%29%7D%7Bx%7D+dx%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D+%2C%5Cquad%5Calpha++%3E0%5C%5C+-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%2C+%5Cquad%5Calpha++%3C0& alt=&\int_{0}^{\infty}\frac{sin(\alpha x)}{x} dx=\frac{\pi}{2} ,\quad\alpha
&0\\ -\frac{\pi}{2}, \quad\alpha
&0& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bsin%28%5Calpha+x%29sin%28%5Cbeta+x%29%7D%7Bx%5E2%7D+dx%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7Dmin%7B%28%5Calpha+%2C%5Cbeta%29+%7D%2Cif+%5Cquad%5Calpha+%2C%5Cbeta+%3E0& alt=&\int_{0}^{\infty}\frac{sin(\alpha x)sin(\beta x)}{x^2} dx=\frac{\pi}{2}min{(\alpha ,\beta) },if \quad\alpha ,\beta &0& eeimg=&1&&&br&就是说某些参数的局部改变不会改变积分值，但是某些参数值附近稍微的改变会导致积分值突变&br&&br&这里有一篇关于这类积分导致某些奇异的现象的研究，是2014年的文章：&br&&a href=&///?target=http%3A//schmid-werren.ch/hanspeter/publications/2014elemath.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&schmid-werren.ch/hanspe&/span&&span class=&invisible&&ter/publications/2014elemath.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&——————————————分割线————————————————————&br&&br&&br&&br&&br&能够了解到的较大反例也就这么多了，欢迎补充或指出错误。&br&（码了一天真是累……）&br&&br&&br&观这么多猜想和反例，可见&br&&ul&&li&&b&依赖直观的推导并不能代替数学证明&br&&/b&&/li&&l}