在计算机科学中,二叉树(binary tree)是每个节点最多只有两个分支的树结构。
这样的二叉树,节点数增加速度呈现指数增长,后面增长速度非常快。
在研究期权定价中,我们构造的股价二叉树,为了让节点增长速度增长可控,我们让股价每次上涨下跌的幅度保持不变,所以可以选择下图的模型。
如上图的 二叉树,第 i 层至多拥有 i 个节点 。
CFA 考试中通常会告诉 U 和 D 分别是多少。
我们不选择三叉树主要是考虑到计算机的算力,对计算机的处理能力要求很高。我们每一次分叉是经历 t 时长分成两个分支,我们要提高精度只需要让 \(t \to 0\) 一样能实现。
股价二叉树是源于利率二叉树。利率二叉树源于塔克曼的 Model 1:\(dr=\sigma dw\)
利率是一个率的概念,转换成股价,我们对股价取 ln 得到股票的回报率。
这里是基于股价服从对数正态分布,那么 “ln 股价” 就服从正态分布。
这里对每一项加上 e 底数得到股价二叉树模型。
那么 t 时刻股价的期望是:
风险中性下,投资者多承担风险不会得到额外的回报,所有投资者的预期收益都是 risk free rate。 所以站在 0 时刻去看 t 时刻远期的股价期望:
联立上面两个式子即可得到风险中性下的上涨下跌概率。
tips:风险中性下的上涨下跌概率更像是长得像概率的系数。
通过一个分叉阶段的股价二叉树,我们可以得到 T 时刻的 call 和 put 的价格(即内在价值,到期不存在时间价值),再用无风险利率向前折现到 0 时刻即可得到 0 时刻的看涨期权和看跌期权的价值。
tips:如果这里是无股利支付的欧式期权,有了 call 的价格,用 put call parity 去计算 put 的价格也是可以的。详见:
如果我 short 一份 call,同时 long \(\delta \) 份的股票,进行无风险对冲。当前的投资组合现值是:
经过一个阶段分叉之后得到:
由于选定的 \(\delta\) 使得这一投资组合是无风险的,也就是无论股价上涨还是下跌,投资组合的价值是变的,即 \(V^{+} = V^{-}\)。于是,由上述两式可得:
如果发现期权的市场价格(market price)与二叉树模型计算的(自己认为的)价值(calculated value)不相等,就存在套利机会。
版权声明:文章内容来源于网络,版权归原作者所有,如有侵权请点击这里与我们联系,我们将及时删除。