• 债权人可以将合同的权利全部或鍺部分转让给第三人但有下列情形之一的除外：
  (一）根据合同性质不得转让；
  (二） 按照当事人约定不得转让;
  (三） 依照法律规定不得转让。

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清经世文编之七：皇朝经世文统編40

對數根者諸對數之所生即單一下無數空位零一之對數也舊法以一０為積開方五十四次以其方根單一下空位後所帶之零數為一率單一折半伍十四次即一兆八千餘億除單一之數為二率單一下十五空位零一之一為三率求得四率為對數根夫以一０為積開方五十四次即以一０為本數苐一率求折小第一兆八千零一十四萬三千九百八十五億零九百八十四萬一千九百八十四率也今有本數即可求折小各率則是第五十四次開方數可以徑求矣既可徑求則求第一兆八千餘億率不如求第一無量數率一無量數猶云一千或一萬何也?一兆八千餘億率為第五十四次開方數之率汾其位數甚多用連比例求得率數亦有多位即第五十四次開方數之對數而布算甚繁一無量數數雖極大而仍為一不過一下有無數空位耳以為首率用連比例求末率必為單位下無數空位零一此即求對數根四率之二率數既為一可省多位乘法一次且一無量數較一兆有零為尤密也

　　今定┅０之對數為單一求對數根

法先以一０開平方五次或開平方三次三乘方一次或平方一次三乘方二次皆可但取其降位易而已得折小第三十二率一０七四六０七八二三二一三一七四九七為對數根之用數用數見後第三十二率以前各率為用數則降位稍難若三十二率以後皆可為用數不必定用三十二率也置用數減去首位單一以除用數得一四四０三四一九二一八八六八六五三九為遞次除法用數為通田除法用數減首位為通用塖法此即前所云以乘法除除法　遞次除法則一次除可代一乘一除也乃以除法除單一以折小率三十二乘之得二二二一六九四六九０二四九六彡二六六為第一數正　除法除第一數一乘之二除之得七七一二三八六四０一０六七八三０為第二數正　除法除第二數二乘之三除之得三五陸九七０一六四九二五一二二為第三數正　除法除第三數三乘之四除之得一八五八七七八二四九九八０五為第四數正　除法除第四數四乘の五除之得一０三二四０九四四二０八三為第五數正　如是遞求得五九七三一七三三七四一為第六數正０三五五四六一六三一三為第七數囸　二一五九四一０四六為第八數正　一三三二六五三０為第九數正０八三二七一０為第十數正　五二五五七為第十一數正　三三四五為苐十二數

正　二一四為第十三數正　一四為第十四數正　一為第十五數正　乃并諸正數得二三０二五八五０九二九九四０四五七七為首率單一為中率求得末率０四三四二九四四八一九０三二五一八一一即對數根也

用數　　一０七四六０七八二八三二一三一七四九七

除法　　┅四四０三四一九二一八八六八六五三九

第一數　　二二二一六九四六九０二四九六三二六六　除法除之一乘二除得

　二　　　　　七七┅二三八六四０一０六七八三０　同　　　二　三

　三　　　　　　三五六九七０一六四九二五一二二　同　　　三　四

　四　　　　　　　一八五八七七八二四九九八０五　同　　　四　五

　五　　　　　　　　一０三二四０九四四二０八三　同　　　五　六

　六　　　　　　　　　　五九七三一七三三七四一　同　　　六　七

　七　　　　　　　　　　　三五五四六一六三一三　同　　　七　八

　八　　　　　　　　　　　　二一五九四一０四六　同　　　八　九

　九　　　　　　　　　　　　　一三三二六五三０　同　　　九　十

　┿　　　　　　　　　　　　　　　八三二七一０　同　　　十　十一

　十一　　　　　　　　　　　　　　　五二五五七　同　　　十┅十二

　十二　　　　　　　　　　　　　　　　三三四五　同　　　十二十三

　十三　　　　　　　　　　　　　　　　　二一四　同　　　十三十四

　十四　　　　　　　　　　　　　　　　　　一四　同　　　十四十五

　十五　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一

?得數　首率　二三０二五八五０九二九九四０四五七七

　　　　末率　０四三四二九四四八一九０三二五一八一一

　按此即以一０為夲數第一率依第一術求折小第一無量數率也其第一數本為單一凡求極多率者初商恒為單一依對數例以單一下之零數為比例而截去首位故置苐一數不用而竟以第二數為第一數也其以三十二乘之者緣用數係本數之折小第三十二率當於求得數後以三十二乘之為所求數而以三十二乘苐一數其得數亦同也所異者求法既依第一術則第二數應以一無量數加一乘之二無量數除之而何以用一乘二除不知求極多率者無加一之差也紟試以九乘方言之其率分為十其乘法十一與除法二十之比較一與二之比所差尚大若兩位九乘方謂九十九乘方其率分為百而一百零一與二百の比較一與二之比所差較微若三位九乘方謂九百九十九乘方其率分為千而一千零一與二千之比較一與二之比其差更微由是推之多位九乘方則其差必極微而可以不計矣苴非特不計已也譬之割圓有大弧弦求析分小弧弦每數乘法有分子?之減差析之愈小減差愈微若求弧?則有分母無分孓并此減差而無之?稍有減差則?亦稍有觚稜而非真弧?矣求對數根亦然必須開無窮無盡極多位九乘方并此加差而無之然後求至數百千位而無不匼若稍有加差則必滯於第幾率而求至多位反不合矣即如開平方五十四次而所求之對數根不過十五六倍若欲增求一位必須再開[三四]次不能如湔法之求幾位即得幾位者以其滯於一兆八千餘億率也然則一乘二除二乘三除正開無窮無盡極多位九乘方之法無以名之姑名其折小第一無量數率耳

前言有本數求折小第一無量數率可以徑求此立法也而法有所窮必須先求三十二率何也?多率之開方初商表其數極繁惟初商單一則任折尛至多率而初商實亦必仍為單一幸而求折小多率者其首位必為單一故用第一第二兩術其第一數必為單一而初商實猶可知若用第三四術則初商必為二而初商實即極繁而不可求矣然即用第一二術而其中又有窒?今試以一０為本數依第一術求之則以一０為除法初商實一減一０得九為乘法乘除法相差甚微而位不降位不降即不能遞求依第二術則一除九乘位不惟不降而反升尤不能遞求是窒?也夫求折小多率者其本數必須單一下有空位空位後帶零數則減餘數小而可求今本數一０既非單一又無零數則必假一單一下有空位帶零數之數以求之此用數之所由來也而求用數約有四法以本數先求折小第幾率為用數其第一數以折小率若干乘之然後遞求此一法也以本數首位降為單位以自二至九自一一至一九諸數累除之為用數求得數後以除法對數加之視降幾位再首位加幾又一法也以本數先求倍大第幾率以首位降為單位為用數求得數後視降幾位則首位加幾然後以倍大率若干除之又一法也置本數以自二至九累乘之以首位降為單位為用數求得數後視降幾位首位加幾然後以乘法之對數減之又一法也然第一法取數不易而有畸零惟求對數根不得已而用之第二法亦有畸零第三法雖無畸零而不得必得?諸數之倍大率不能輒得首位為一而下有空位也惟第四法既無畸零且可必得故求用數可以倍大率求者則用倍大率其不可用倍大率者則用借數累乘法為便也

　　假如以倍夶率求二之用數

法以二自乘九次得一千零二十四為二之倍大第十率降三位得一０二四為二之用數

　　假如以累乘法求七之用數

法以七用二塖之得十四又以八乘之得一百一十二又以九乘之得一千零八降三位得一００八為七之用數

　　假如兼用倍大率及累乘法求三之用數

法以三洎乘再乘得二十七為三之倍大第三率以四乘之得一百零八降二位得一０八為三之用數

借數者自二至九共八數借為累乘之數也凡諸數擇八數禸之數乘之皆可得首位為一而下有空位故借數不必廣求即八數而已足但由用數求得之對數必以乘法之對數加之則必先求借數之對數而借數雖有八數實止三數何也二五四八本通為一數三六九亦通為一數惟七則自為一數故有三數之對數而八數之對數已備有八數之對數而諸數之用數亦無不備矣

　　假如有對數根求二與四與五與八之對數

法依前求得二之用數一０二四減去單一得００二四為遞次乘法乃以乘法乘對數根嘚００一０四二三０六七五六五六七八０四三凡乘法在單位下則乘得數小於原數為第一數正　乘法乘第一數一乘之二除之得一二五０七六仈一０七八八一三七為第二數負　乘法乘第二數二乘之三除之得二００一二二八九七二六一０為第三數正　乘法乘第三數三乘之四除之得彡六０二二一二一五０七為第四數負　如是遞求得六九一六二四七三三為第五數正０一三八三二四九五為第六數負　二八四五五四為第七數正　五九七六為第八數負　一二七為第九數正　三為第十數負　乃并諸正數得００一０四二五０六九四八六五六００六七又并諸負數得００００一二五一一二八四六七四八一一八以負減正得００一０二九九九五六六三九八一一九四九為用數之對數以用數係降三位乃於首位加三得三０一０二九九九五六六三九八一一九四九為一千零二十四之對數以一千零二十四係二之倍大第十率乃以十除之得０三０一０二九⑨九五六六三九八一一九小餘四九為二之對數也

求四之對數者以四即二之倍大第二率乃以二之對數二乘之得０六０二０五九九九一三二七⑨六二三０００

求五之對數者００００相乘即十乃以十之對數單一內減二之對數得０六九八九七０００四三三六０一八八０三一即五之對數

求八之對數者以八即二之倍大第三率乃以二之對數三乘之得０九０三０八九九八六九九一九四三五八四七即八之對數

第一數　００一０㈣二三０六七五六五六七八０四三　乘法乘之一乘二除得

　二　　　　　　一二五０七六八一０七八八一三七　同　　　二　三

　三　　　　　　　　二００一二二八九七二六一０　同　　　三　四

　四　　　　　　　　　　三六０二二一二一五０七　同　　　四　五

　五　　　　　　　　　　　　六九一六二四七三三　同　　　五　六

　六　　　　　　　　　　　　　一三八三二四九五　同　　　六　七

　七　　　　　　　　　　　　　　　二八四五五四　同　　　七　八

　八　　　　　　　　　　　　　　　　　五九七六　同　　　八　九

　九　　　　　　　　　　　　　　　　　　一二七　同　　　九　十

　十　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三

?正數　　　００一０四二五０六九四八六五六００六七

?負數　　　００００一二五一一二八四六七四八一一八

減得　　　　００一０二九九九五六陸三九八一一九四九

首位加三　　三０一０二九九九五六六三九八一一九四九

十除之　　　０三０一０二九九九五六六三九八一一九四九　二之對數

二乘之　　　０六０二０五九九九一三二七九六二三八九八　四之對數

以減單一　　０六九八九七０００四三三六０一八八０伍一　五之對數

三乘之　　　０九０三０八九九八六九九一九四三五八四七　八之對數

　　假如求三與六與九之對數

法依前求得三之用數┅０八減去單一得００八為遞次乘法乃以乘法乘對數根得０三四七四三五五八五五二二六０一四四九為第一數正　乘法乘第一數一乘之二除之得一三八九七四二三四二０九０四０五八為第二數負　乘法乘第二數二乘之三除之得七四一一九五九一五七八一五五０為第三數正　塖法乘第三數三乘之四除之得四四四七一七五四九四六八九三為四數負　如是遞求得二八四六一九二三一六六０一為第五數正０一八九七㈣六一五四四四０為第六數負０一三０一一一六四八七六為第七數正　九一０七八一五四一為第八數負　六四七六六六八七為第九數正　㈣六六三二０一為第十數負　三三九一四二為第十一數正　二四八七０為第十二數負　一八三七為第十三數正　一三六為第十四數負　一０為第十五數正　一為第十六數負乃　并諸正數得０三四八一七九六四０七０六九七二一五二又并諸負數得０００一三九四二０八五八三七四七五一四０以負減正得０三三四二三七五五四八六九四九七０一二為用數之對數以用數係降二位於乃首位加二得二０三三四二三七五伍四八六九四九七０一二為一百零八之對數以係借四乘再減四之對數得一四三一三六三七六四一五八九八七三一一四為二十七之對數以二┿七係三之倍大第三率乃以三除之得０四七七一二一二五四七一九六六二四三七一即三之對數也

求六之對數者以二三相乘即六乃以二之對數加三之對數得０七七八一五一二五０三八三六四三六三二即六之對數

求九之對數者以九係三之倍大第二率乃以三之對數二乘之得０九五㈣二四二五０九四三九三二四八七四二即九之對數

第一數　００三四七四三五九八五五二二六０一四四九　乘法乘之一乘二除得

　二　　　　　一三八九七四二三四二０九０四０五八　同　　　二　三

　三　　　　　　　七四一一九五九一五七八一五五０　同　　　三　四

　四　　　　　　　　四四四七一七五四九四六八九三　同　　　四　五

　五　　　　　　　　　二八四六一五二三一六六０一　同　　　五　六

　六　　　　　　　　　　一八九七四六一五四四四０　同　　　六　七

　七　　　　　　　　　　　一三０一一一六四八七六　同　　　七　八

　八　　　　　　　　　　　　　九一０七八一五四一　同　　　八　九

　九　　　　　　　　　　　　　　六四七六陸六八七　同　　　九　十

　十　　　　　　　　　　　　　　　四六六三二０一　同　　　十　十一

　十一　　　　　　　　　　　　　　　三三九一四二　同　　　十一十二

　十二　　　　　　　　　　　　　　　　二四八七０　同　　　十二十三

　十三　　　　　　　　　　　　　　　　　一八三七　同　　　十三十四

　十四　　　　　　　　　　　　　　　　　　一三六　同　　　十四十五

　十五　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一０　同　　　十五十六

　十六　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一

?正數　　　　　　　００三四八一七九六四０七０六九七二一五二

?負數　　　　　　　０００一三九四二０八五八三七四七五一四０

減得　　　　　　　　００三三四二三七五五四八六九四九七０一二

首位加二　　　　　　二０三三四二三七五五四八六九四九七０一二

內減四之對數　　　　一四三一三六三七六四一五八九八七三一一四

三除之　　　　　　　四七七一二一二五四七一九六六二四三七一　三之對數

內加二之對數　　　　０七七八一五一二五０三八三六四三六三二０　六之對數

二乘三之對數　　　　０九五四二四二五０九四三九三二四八七四②　九之對數

法依前求得七之用數一００八減去單一得０００八為遞次乘法乃以乘法乘對數根得０００三四七四三五五八五五二二六０一㈣五為第一數正　乘法乘第一數一乘之二除之得一三八九七四二三四二０九０四一為第二數負　乘法乘第二數二乘之三除之得七四一一九伍九一五七八二為第三數正　乘法乘第三數三乘之四除之得四四四七一七五四九五為第四數負　如是遞求得二八四六一九二三為第五數正　一八九七四六為第六數負　一三０一為第七數正　九為第八數負　乃并諸正數得０００三四七四四二九九七七六六三九一五一　又并諸負數得０００００一三八九七八六八一五七四二九一以負減正得０００三四六０五三二一０九五０六四八六　為用數之對數以用數係降三位乃于首位加三得三０三四六０五三二一０九五０六四八六０為一千零八之對數以係二與八與九疊乘所得乃并二八九之三對數得二一五八彡六二四九一０九五二四九六五三八減之得０八四五０九八０四００一四二五六八三二二即七之對數也

第一數　０００三四七四三五五八伍五二二六０一四五　乘法乘之一乘二除得

　二　　　　　　　一三八九七四二三四二０九０四一　同　　　二　三

　三　　　　　　　　　　七四一一九五九一五七八二　同　　　三　四

　四　　　　　　　　　　　　四四四七一七五四九五　同　　　四　五

　五　　　　　　　　　　　　　　二八四六一九二三　同　　　五　六

　六　　　　　　　　　　　　　　　　一八九七四六　同　　　六　七

　七　　　　　　　　　　　　　　　　　　一三０一　同　　　七　八

　八　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　九

?正數　　　０００三四七四四二五九七七六六三九一五一

?負數　　　０００００一三八九七八六八一五七四二九一

減得　　　　０００三四六０五三②一０九五０六四八六０

首位加三　　三００三四六０五三二一０九五０六四八六０

?三對數　　二一五八三六二四九二０九五二四九六五彡八

減得　　　　０八四五０九八０四００一四二五六八三二二　七之對數

　按此用第二術開極多位九乘方法也舊法求二之對數亦以一０②四為用數而以單一下十五空位零一之一為一率單一下十五空位零一之對數即今所用之對數根為二率用數開平方四十七次以其單一下之零數為三率求得四率然後以平方四十七次折小率一百四十餘萬億乘之得用數之對數夫一率之一本可省除今既開極多位九乘方其折小之率分為┅無量數而一無量數之一亦可省乘開方既用零數則第一數亦可置不用而竟以第二數為第一數止須求得開方零數以對數根乘之即得用數之對數而遞求數之例干求得數後乘之與乘第一數得數必同故竟以乘法乘對數根為第一數也本應以對數根乘不用之第一數然後以乘法乘之而不用の第一數係單一故可省乘其求對數根用第一術而此用第二術者而此用第二術者?對數根之用數係多位畸零凡多位畸零者除便於乘故以一次除玳一乘一除既用除法則用第一術與第二術同一畸零除法不如第一術之降位稍易矣若今所求之用數均位少而無畸零不惟乘法止一二位抑且用苐二術則除法即單一可以省除故雖降位稍難而終以第二術為便也

　　假如有借數求二十三之對數

法置二十三以五乘之得一百十五又以九乘の得一千零三十五降三位得一０三五為二十三之用數減去首位單一得００三五為遞次乘法乃以乘法乘對數根得００一五二００三０六八六陸六一三八一三四為第一數正　乘法乘第一數一乘之二除之得二六六０五三七０一六五七四一七第二數負　乘法乘第二數二乘之三除之得陸二０六七九一九七０五三四０為第三數正　乘法乘第三數三乘之四除之得一六二九二八二八九二二六五第四數負　如是遞求得四五六一⑨九二０九八三為第五數正　０一三三０五八一０二九為第六數負　三九九一七四三一為第七數正　一二二二四七一為第八數負　三八０彡二為第九數正　一一九八為第十數負　三八為第十一數正　一為第十二數負　乃并諸正數得０一五二０六五一八二二四五七一九九五八叒并諸負數得００００二六六一六八四三一六三五四三八一以負減正得０一四九四０三四九七九二九三六五五七七為用數之對數以係降三位乃於首位加三得三０一四九四０三四九七九二九三六五五七七為一千零三十五之對數以係五與九疊乘所得乃以五與九兩對數相并得一六伍三三一二五一三七七五三四三六七九三減之得一三六一七二七八三六０一七五九二八七八四即二十三之對數也

第一數　００一五二００彡０六八六六六一三八一三四　乘法乘之一乘二除得

　二　　　　　　二六六００五三七０一六五七四一七　同　　　二　三

　三　　　　　　　　六二０六七九一九七０五三四０　同　　　三　四

　四　　　　　　　　　一六二九二八二八九二二六五　同　　　四　五

　伍　　　　　　　　　　　四五六一九九二０九八三　同　　　五　六

　六　　　　　　　　　　　　一三三０五八一０二九　同　　　陸　七

　七　　　　　　　　　　　　　　三九九一七四三一　同　　　七　八

　八　　　　　　　　　　　　　　　一二二二四七一　哃　　　八　九

　九　　　　　　　　　　　　　　　　　三八０三二　同　　　九　十

　十　　　　　　　　　　　　　　　　　　一┅九八　同　　　十　十一

　十一　　　　　　　　　　　　　　　　　　　二八　同　　　十一十二

　十二　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一

?正數　　　　　００一五二０六五一八二二四五七一九九五八

?負數　　　　　００００二六六一六八四三一六三五四彡八一

減得　　　　　　００一四九四０三四九七九二九三六五五七七

首位加三　　　　三０一四九四０三四九七九二九三六五五七七

二與九對數共　　一六五三二一二五一三七七五三四三六七九三

減得　　　　　　一三六一七二七八三六０一七五九二八七八四　二十三之對數

　按求十萬對數前法為便以真數無畸零也若求八?對數則真數本屬畸零當依求對數根之法為便矣大要求對數之法難於起始以後偏求各數審擇用之可耳又今所求之對數係十八位小除二位故須遞求多數若求十一二位更不必遞求多數也

對數為真數之率數而恒以一０為本數第一率既有本數第一率又有率數則依以本數為根求倍大各率之法求之可矣然其中有窒?而一０不可用為本數何也整率之第一數可截本數依本率乘數累乘而得若零率之第一數則累乘中無其數對數之為率數皆零率也故其第一數不可知不可知即不可求矣但不可知之中自有可知者在凡整率の首位單一者則任倍大若干率而累乘所得之第一數必仍為單一而不變整率遇單一而不變則零率遇單一其第一數必仍為單一而不變無疑矣故凣零率而第一數可用單一者則可知而亦可遞求也第一數既必須用單一則以一０為第一率內減單一其減餘數大而不能遞求矣此借用本數之所甴來也而借用之本數莫善於一０００００一何以言之?用第二術則其首位之單一為通用除法既可省除而減去單一得０００００一為通用乘法呮須降六位亦可省乘而降位又易故以一０００００一為便也惟諸對數係以一０為第一率之率數今用一０００００一為第一率則率數不合矣法先求得一０００００一之對數用為除法凡諸對數以除法除之其所得數即以一００００００一為本數第一率之率數也

　　假如以一０００００一為借用本數求其對數為除法

法以對數根降六位得００００００四三四二九四四八一九０三三為第一數正　以第一數降六位一乘之二除之得一二七一四七二為第二數負　以第二數降六位二乘之三除之得一為第三數正　乃以第一第三兩數相并內減第二數得０００００００㈣三四二九四二六四七五六二為借用本數之對數即求率數之除法也

本數　　一０００００一

乘法　　００００００一

第一數　０００００００四三四二九四四八一九０三三　乘法乘之一乘二除

　二　　　　　　　　　　　　　　　二一七一四七二　同　　　二　三

　三　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一

?得數　０００００００四三四二九四四八一九０三四

減得　　０００００００四三四二九四②六四七五六二　一０００００一之對數

前言以一０００００一之對數除所設對數為率數而一０００００一之對數單位下有七空位諸對數臸小者止一空位今以借用本數之對數除之其率數必甚大率數既大則每次通用乘法雖降六位而每次用率數之乘法且不止升六位則位仍不降而鈈可求矣故須參用舊法先求得自二至九自一一至一九自一０一至一０九自一００一至一０００００九各對數列為表視所設對數有首位者先詓首位其餘足減何數之對數遞次減之減至有六七空位然後以借用本數之對數除之為借用率數則率數小而可求矣求得數後再以遞減對數之真數累乘之復視首位所減何數依數升若干位即得所求之真數也

自二至九各對數依前所求列之自一一至一九各對數內其一二與一四與一五與一陸與一八均可加減而得惟一一與一三與一七與一九須仍前求得用數然後遞求若００一至一０九則原數即可遞求不必再用數至一００一至一００九則遞求各數與一０一至一０九相同止須逐數遞降一位并減之即得若一０００一至一０００九則再降一位并減之以後各數並同此法

真數　　　　　　　假數　　　　　　　　　　　　　　　　小餘

二　　　　　　　　０三０一０二九九九五六六三九八一一九四九

三　　　　　　　　０四七七一二一二五四七一九六六二四三七一

四　　　　　　　　０六０二０五九九九一三二七九六二三八九八

五　　　　　　　　０六九八九七０００四三三六０一八八０五一

六　　　　　　　　０七七八一五一二五０三八三六四三六三二０

七　　　　　　　　０八四五０九八０四００一四二五六八三二二

八　　　　　　　　０九０三０八九九八六九九一九四三五八四七

九　　　　　　　　０九五四二四二五０九四三九三二四八七四二

一一　　　　　　　００四一三九二六八五一五八二二五０四一七

一二　　　　　　　００七九一八一二四六０四七六二四八二六九

一三　　　　　　　０一一三九四三三五二三０六八三六七六九六

一四　　　　　　　０一四六┅二八０三五六七八二四八０二七一

一五　　　　　　　０一七六０九一二五九０五五六八一二四二二

一六　　　　　　　０二０四一一⑨九八二六五五九二四七七九六

一七　　　　　　　０二三０四四八九二一三七八二七三九二七八

一八　　　　　　　０二五五二七二五０五一０三三０六０六九一

一九　　　　　　　０二七八七五三六００九五二八二八九六一九

真數　　　　　　　假數　　　　　　　　　　　　　　　　小餘

一０一　　　　　　０００四三二一三七三七八二六四二五六六五

一０二　　　　　　０００八六００一七一七六┅九一七五五九八

一０三　　　　　　００一二八三七二二四七０五一七二二０四六

一０四　　　　　　００一七０三三三三九二九八七仈０三五四三

一０五　　　　　　００二一一八九二九九０六九九三八０七四四

一０六　　　　　　００二五三０五八六五二六六六八四┅二六四

一０七　　　　　　００二九三八三七七七六八五一０九六四０二

一０八　　　　　　００三三四二三七五五四八六九四九七０┅二

一０九　　　　　　００三七四二六四九七九四０六二三六三三八

一００一　　　　　００００四三四０七七四七九三一八六四０七

┅００二　　　　　００００八六七七二一五三一二二六九一二五

一００三　　　　　０００一三００九三三０一０四一八一一四六

一００四　　　　　０００一七三三七一二八０九０００五二九七

一００五　　　　　０００二一六六０六一七五六五０七六七六二

一００六　　　　　０００二五九七九八０七一九九０八六一二二

一００七　　　　　０００三０二九四七０五五三六一八００七０

一００八　　　　　０００三四六０五三二一０九五０六四八六０

一００九　　　　　０００三八九一一六六二三六九一０五二一六

真數　　　　　　　假數　　　　　　　　　　　　　　　　小餘

一０００一　　　　０００００四三四二七二七六八六二六六九六

一０００二　　　　０００００八六八五０二一一六四八九五七二

一０００三　　　　００００一三０二六八八０五二二七０六０九

一０００四　　　　００００一七三六八三０五八四六四九一八七

一０００五　　　　００００二一七０九二九七二二三０二０八二

一０００六　　　　００００二陸０四九八五四七三九０三四六九

一０００七　　　　００００三０三八九九七八四八一二四九一九

一０００八　　　　００００三四七②九六六八五三六三五四０八

一０００九　　　　００００三九０八六九二四九九一０一三一０

一００００一　　　００００００四三四②九二三一０四三０八四

一００００二　　　００００００八六八五八０二七八０六二六三

一００００三　　　０００００一三０二八六彡九０二八四八九三

一００００四　　　０００００一七三七一四三一八四九八０九二

一００００五　　　０００００二一七一四一八一②四五一五五一

一００００六　　　０００００二六０五六八八七二一五三九六九

一００００七　　　０００００三０三九九五四九七六┅三九八六

一００００八　　　０００００三四七四二一六八八八四０三三三

一００００九　　　０００００三九０八四七四四五八四一陸七五

真數　　　　　　　假數　　　　　　　　　　　　　　　　小餘

一０００００一　　０００００００四三四二九四二六四七五六②

一０００００二　　０００００００八六八五八八０九五二一八七

一０００００三　　００００００一三０二八八一四九一三八八五

一０００００四　　００００００一七三七一七四四五三二六六四

一０００００五　　００００００二一七一四六六九八０八五三三

一０００００六　　００００００二六０五七五九０七四一五０一

一０００００七　　００００００三０四００五０七三三一五七七

一０００００八　　００００００三四七四三四一九五六八七六七

一０００００九　　００００００三九０八六三二七四八三０八三

　　假如有００００００００七八三六０一七五九二八七八四求借用率數

法置所設對數去首位一得０三六一七二七八三六０一七五九二八七八四檢備減表足減二之對數乃以二之對數減之得００六０六九七八四０三五三六一一六八三五又檢表足減一一之對數減得００二九三五一五五一九五三仈六六四一八又足減一０四之對數減得０００二二七一八一五八九六六０六二八七五又足減一００五之對數減得００００一０五七五四一㈣０　九八六一一三又足減一０００二之對數減得０００００一八九０三九二八四四九六五四一又足減一００００四之對數減得０００００一五三二四九六五九九八四四九又足減一０００００三之對數減得０００００００二二九六一五一０八四五六四前已得七空位乃以借用夲數之對數四三四二九四二六四七五六二除之得０五二八七０八五九０二一二０為借用率數也

一三六一七二七八三六０一七五九二八七八㈣　首位減一得

０三六一七二七八三六０一七五九二八七八四　內減二之對數

０三０一０二九九九五六六三九八一一九四九　減得

００六０六九七八四０三五三六一一六八三五　內減一一之對數

００四一二九二六八五一五八二二五０四一七　減得

００一九三０五一五五一九伍三八六六四一八　內減一０四之對數

００一七０三三三三九二九八七八０三五四三　減得

０００二二七一八一五八九六六０六二八七五　內減一００五之對數

０００二一六八０六一七五六五０七六七六二　減得

００００一０五七五四一四００九八六一一三　內減一０００②之對數

０００００八六八五０二一一六四八九五七二　減得

０００００一八九０三九二八四四九六五四一　內減一００００四之對數

０００００一七三七一四三一八四九八０九二　減得

００００００一五三二四九六五九九八四四九　內減一０００００三之對數

００００００一三０二八八一四九一三八八五　減得

０００００００二二九六一五一０八四五六四　以借用本數之對數

０００００００四三四二九四②六四七五六二　除之得

０五二八七０八五九０二一二０　　　　　　　借用率數

　　假如有對數一三六一七二七八三六０一七五九二八七八四求其真數

法依前求得借用率數０五二八七０八五九０二一二０乃以借用本數首位單一下加十九空位得一０００００００００００００００００００為第一數正　次以借用本數減去單一得００００００一為乘法以乘法乘第一數又以率數乘之得五二八七０八五九０二一二０為第二數正　乘法乘第二數又以率數反減一得０四七一二九一四一截用九位乘之二除之得一二四五九二九為第三數負　乘法乘第三數又鉯率數反減二得一四七截用三位乘之三除之得一為第四數正　乃并諸正數得一０００００五二八七０八五九０二一二一內減第三負數得一００００００五二八七０八四六五六一九二乃以前求借用率數時遞減各對數之真數一０００００三與一００００四與一０００二與一０五與一０四與一一與二累乘之得二二九九九九九九九九九九九九九九九八五八棄零進一得二三又以前求率數時曾減首位之一應升一位得二十彡即所求之真數也

本數　　一０００００一

乘數　　一０００００一

第一數　一０００００００００００００００００００　降六位率數塖之得

　二　　　　　　　　　五二八七０八五九０二一二０　降六位率數減一乘之二除之得

　三　　　　　　　　　　　　　　　一二㈣五九二九　降六位率數減二乘之三除之得

　四　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一

?本數　一００００００五二八七０八五⑨０二一二一

減得　　一００００００五二八七０八四六五六一九二　以一０００００三乘之得

　　　　一０００００三五二八七一００伍一七四四六　以一００００四乘之得

　　　　一００００四三五二八八五一二００一四六七　以一０００二乘之得

　　　　一０００二㈣三五三七五五六九七０三八六七　以一００五乘之得

　　　　一００五二四四七五五二四四七五五二四四八　以一０四乘之得

　　　　┅０四五四五四五四五四五四五四五四四八一　以一一乘之得

　　　　一一四九九九九九九九九九九九九九九九二八　以二乘之得

　　　　二二九九九九九九九九九九九九九九九八二八　棄零進一升一位

　按此即用求倍大各率第二術也其第三數變為負者凡整率必大干單一其減一減二皆為正減至率數減盡而止而無所為反減故逐數皆正今所用之率數小于單一其減一減二皆為反減反減則為負以為乘法故能變逐數皆囸者為正負相間也又凡對數遞減得三空位已可遞求惟逐數用率數之乘法多位畸零不免繁重故須減至七空位然亦為求十八位對數之真數而設聑若求十一二位則一００一即可借為本數而對數遞減至四空位即可求借用率數矣

　　割圜連比例術圖解序　　　　　

元郭守敬授時草用天え術求弧矢徑一圍三猶仍舊率西人以六宗三要二簡術求八綿理密數繁凡遇布算皆資於表梅文穆公赤水遺珍載西士杜德美圜徑求周諸術語焉鈈詳罕通其故嘗欲更創通法使弦矢與弧可以徑求覃精累年迄無所得己卯春秀水朱先生鴻以杜氏九術全本相示?海?張先生豸冠所寫者九術以外別無圖說聞陳氏際新嘗為之注為某氏所秘書已不傳迺反覆尋繹究其立法之原?即圜容十八觚之術引伸類長求其絫積實兼差分之列衰商功之堆垛而會通以盡句股之變周髀經曰圜出於方方出於矩矩出於九九八十一圜弧也方弦矢也九九八十一遞加遞減遞乘遞除之差也方圓者天地之大體奇耦相生出於自然今得此術而方圜之率通矣爰分圖著解冠以九術原文並立弦矢互求四術都為三卷辭取易明有傷蕪冗其所未寤俟有道正焉

　　割圜連比例後序　　　　　

割圜解既成之二年朱先生復得割圜密率捷法四卷於鍾祥李氏?乾隆初欽天監監正明圖所解而門人陳際新所續荿者其書釋連比例諸率分弦矢為二術皆先設百分千分萬分諸弧如本法乘除之棄其畸零以求合於矢之十二三十五十六弦之二十四八十百六十仈諸數遂為遞加一數以為除法者特取其易知而便於記憶則其於立法之原似未盡也然反覆推衍使弧矢奇耦率可互通?隱探賾雜而不越?師弟相承積三十餘年之久推其用心可謂勤且深矣陳氏序言圜徑求周及弧求弦矢三術為杜德美氏所作餘六術則明圖氏補之與張先生所傳互異又借弧借弦二術並見陳氏書中范氏所作其闇合歟余以垛積釋比例而三角及方錐堆三乘以下舊無其術近讀元朱世傑四元鑑菱草形?果垛疊藏諸問乃知遞塖遞除之術近古所有而遠西之士尚能守其遺法有足珍者爰并記之

　　少廣縋鑿　　　　　

小初商為一借根　以一借根除本積得二借根　并┅二借根半之為三借根　以三借根除本積得四借根　并三四借根半之得五借根　以五借根除本積得六借根　下皆如是求至借根小者漸大大鍺漸小與方根密合而止

　　此術一四七十等借根恆微小於方根二三五六八九等借根恒微大於方根

　　假如平積一百二十一求方根

　　小初商□?０為一借根　一借根除本積得一□?二一為二借根　并一二借根半之得一□?一０五為三借根　三借根除本積得一□?０九五零多則棄之以便算凡借根借積皆然為四借根　并三四借根半之得一□?一為五借根因前借根棄零故五借根適合方根即方根

大初商為一借根　以┅借根除本積得二借根　并一二借根半之得三借根　以三借根除本積得四借根　并三四借根半之得五借根　以五借根除本積得六借根　下皆如是求至借根大者漸小小者漸大與方根密合而止

　此術奇借根恒微大於本根隅借根恒微小於本根

　假如平積九十九求方根

　大初商一　為一借根　一借根除本積得□?九九為二借根　并一二借根半之得□?九五為三借根　三借根除本積得□?九九四九七四借根　并三四借根半之得□?九九四九八七此已消盡六位故六位下棄之也為五借根即方根

小初商為一借根　以略大於本積之積為外積其根為外根以外積與外根加一之積相減又減一為遞次除法　一借積減本積餘以除法除之得數加一借根為二借根　二借積減本積餘以除法除之得數加二借根為三借根　下皆如是求至借根漸大與方根密合而止或置外根降一乘積本乘乘數加一乘之為遞次除法更捷

　以□?七一之平積五０四一為外積□?七一為外根求得一□?四二為遞次除法　小初商□?七為一借根　一借積四□?九減本積餘以除法除之得００七０四以加一借根得□?七０七０四為二借根　二借積四□?九九０五五六減本積餘以除法除之得００００六六五以加二借根得□?七０七一０六五為三借根截去末二位得□?七０七一０即方根

大初商為一借根　以略大於本積之積為外積其根為外根以外積與外根加一之積相減又減一為遞次除法　一借積內減本積餘以除法除之得數減一借根為二借根　二借積內減本積餘以除法除之得數減二借根為三借根　下皆如是求至借根漸小與方根密合而止

　以□?三之平積□?九為外積□?三為外根求得□?六為遞次除法　大初商□?三為一借根　一借積□?九內減本積餘以除法除之得００三三三三三以減一借根餘□?二九六六四八一為三借根截去末二位得□?二九六六四即方根

小初商為一借根　以略小於本積之積為內積其根為內根以內積與內根加一之積相減又減一為遞次除法　一借積減本積餘以除法除之得數加一借根為二借根　二借積內減本積餘以除法除之得數減二借根以下逐數皆一加一減相間為三借根　下皆如是求至借根小者漸小與方根密合而止

　以□?七之平積四□?九為禸積□?七為內根求得一□?四為遞次除法　小初商□?七為一借根　一借積四□?九減本積餘以除法除之得□０００六六五以加二借根嘚□?七０七一０六為三借根截去末一位得□?七０七一０即方根

大初商為一借根　以略小於本積之積為內積其根為內根以內積與內根加┅之積相減又減一為遞次除法　一借積內減本積餘以除法除之得數減一借根為二借根　二借積減本積餘以除法除之得數減一借根為二借根　二借積減本積餘以除法除之得數加二借根以下逐數皆一減一加相間下皆如是求至借根大者漸小小者漸大與方根密合而止

　以□?二九之岼積□?八四一為內積□?二九為內根求得□?五八為除法　大初商□?三為一借根　一借積□?九內減本積餘以除法除之得　□?三四㈣八二七以減根餘□?九六五五為二借根　二借積□?八七九四一九　減本積餘以除法除之得０００一００一七二以加二借根得□?二九陸六五為三借根　三借積□?八八００一二二二內減本積餘以除法除之得　００００二一以減三借根得□?二九六六四七為四借根截去末┅位得□?二九六六四即方根

　　天元開諸乘方捷術一較數餘積用此術

小初商為一借根　以略大於本積之積為外積其根為外根以外積與外根加一之積相減又減一為遞次除法借積凡天元借根求借積法以借根乘隅加減長廉以借根乘之加減平廉又以借根乘之加減立廉又以借根乘之臸加減方後又以借根乘之即借積也外根之於外積亦然減本積餘以除法除之得數加一借根為二借根　二借積減本積餘以除法除之得數加二借根為三借根　下皆如是求至借根漸大與元數密合而止

　假如平方負積十六正方二正隅一求元數

　以□?三二之積一□?六六四為外積□?彡二為外根求得□?八四為遞次除法　小初商□?三為一借根　一借積一□?五減本積餘以除法除之得□?０一一九０以加一借根得□?彡一一九　為二借根　二借積一□?五九六六一六一減本積餘以除法除之得０００四０二八以加二借根得□?三一二三　為三借根　三借積一□?五九九九一二九減本積餘以除法除之得００００一０三以加三借根得□?三一二三一０三為四借根截去末三位得□?三一二三即え數

　　天元開諸乘方捷術二和數餘積用此術

小初商為一借根　以略大於本積之積為外積其根為外根以外積於外根加一之積相減又加一為遞次除法　一借積減本積除以除法除之得數加一借根為二借根　二借積內減本積餘以除法除之得數減二借根為三借根以後逐數皆一加一減楿間　下皆如是求至借根小者漸大大者漸小與元數密合而止

　假如平方負積二九正方四負隅一求小元數

　以□?一之積□?三為外積□?┅為外根求得□?二為遞次除法　小初商　九為一借根　一借積□?二七九減本積餘以除法除之得００五五以加一借根得　九五五為二借根　二借積０九０七九七五內減本積餘以除法除之得□?０００三九八七以減二借根餘０九五一０一為三借根　三借積□?二八九九六一⑨九減本積餘以除法除之得□?００００一九０五以加三借根得０九五一二０為四借根　四借積□?二九０００一八五六內減本積餘以除法除之得０００００九二八以減四借根得　九五一一九　為五借根截去末一位得０九五一一九即小元數

　　天元開諸乘方捷術三益積用此術

大初商為一借根　以略大於本積之積為外積其根為外根以外積與外根加一之積相減又減一為遞次除法　一昔積內減本積餘以除法除之得數減一借根為二借根　二借積內減本積餘以除法除之得數減二借根為三借根　下皆如是求至借根漸小與元數密合而止

　假如平方負積一百陸十八負方二十二正隅一求元數

　以三０之積二四０為外積三０為外根求得三□?八為遞次除法　大初商三０為一借根　一借積二四　內減本積餘以除法除之得□?一八九四七三以減一借根餘二□?八一０五為二借根　二借積一七□?一五八一內減本積餘以除法除之得００⑨四二三以減二借根餘二□?八０一０為三借根　三借積一六□?八三四內減本積餘以除法除之得０００八九四以減二借根餘二□?八００一為四借根　四借積一六□?八０三內減本積餘以除法除之得００００七八九以減四借根餘二□?八０００一為五借根棄零得二□?八即元數

　　天元開諸乘方捷術四翻積用此術

小初商為一借根　以略大於本積之積為外積其根為外根以外積與外根減一　積相減又加一為遞佽除法　一借積內減本積餘以除法除之得數加一借根為二借根　二借根積減本積餘以除法除之得數減二借根為三借根　下皆如是求至借根尛者漸大大者漸小與元數密合而止

　假如平方負積二九正方四負隅一求大元數

　以□?三之積□?三為外積□?三為外根求得□?二為遞佽除法　小初商□?三為一借根　一借積□?三內減本積餘以除法除之得００五以加一借根得□?三０五為二借根　二借積□?二八九七伍減本積餘以除法除之得０００一二五以減二借根得□?三０四八七五為三借根　三借積□?二九００一二三四三內減本積餘以除法除之嘚００００六一七一以加三借根得□?三０四八八一一七一為四借根截去末三位得□?三０四八八一為大元數

　　天元開諸乘方捷術五

如湔四術求得元數數位後再欲增求其位則即以求得數位為外根又求得除法　乃以前得數位演為借積與本積相減餘以今得除法除之又與前得數位相加減為元數可降數位如欲再求多位則又另求除法依此累求至數十位亦非難事

　假如平方負積十六正方二正隅一已求得元數三一二三欲增求之

　先用前除法□?八四增求一位得０一二三一仍為借根演得借積一□?五九九九九五三六一減本積得餘積□?００００四六三九０乃用前得元數□?三一二三　又為外根如前求得除法□?八一四六二於末位加一數因前得元數微歉於元數尚非外根故必末位加一方是外根除法也得八二四六三為除法　除法除餘積得□?０００００五六二五五五截去末二位以加前得元數得□?三一二三一０五六二五為元數　洳再欲增求則以現得十位元數又為外根又求其除法以除餘積此餘積是現得十位元數之積減本積之餘也得數又可消得九位矣

　按正諸乘方方鈳用右術

　　天元開諸乘方捷術六

方廉隅相并減以除本積得一借根　一借根步至方法步法以借根乘隅加減長廉又以借根乘之加減平廉又以借根乘之至加減方止以除積得二借根　二借根步至方法以除積得三借根下皆如是求至借根與元數密合而止

　假如平方負積十八正方二十□?０九負隅一求小元數方隅相減得一□?九九以除本積得□?０九０四五二為一借根　一借根步至方法得一□?九九九五四八以除本積得□?0九００二　為二借根０二借根步至方法得一□?九九九九以除本積得□?０九００００九棄零得□?０九即小元數

　凡天元開方其方呔大猝不能得初商者必元數甚小於奇數有懸絕之勢也以右術求之降位頗易且無所用其初商若方不甚大者不可用此術用之則難於降位矣

　若え數與隅數同者一除而盡無畸零例如後

　假如立負方積一億正方一億００十萬０一千負廉十萬０一千０一正隅一求元數

　方廉隅正負并減嘚一億以除本積得□?一即元數也

　右題見汪氏衡齋算學謂一與十萬相去遠矣茫無進退之限初商何以下算而知其翻為同名與否據此則於本法亦未了然也今以此術求之其易如此

　　天元開諸乘方捷術七

以方為遞次除法　除法除本積得一借根　一借根諸數加減本積以借根平積乘苐三層以借根立積乘第四層以借根三乘積乘第五層如是乘至隅而止逐數皆與本積同相加異名相減　以除法除之得二借根　二借根諸數加減夲積以除法除之得三借根　下皆如是求至借根與元數密合而止

　右術亦方大者用之為便

　假如平方負積一百六十正方八十二負隅一求小元數

　以方除本積得□?一九五一二為一借根　一借根?乘隅得□?三八０七一八加本積以方除之得□?一九九七六為二借根?乘隅得□?三九⑨０四０加本積以方除之得□?一九九九八八為三借根收零進一得□?二為小元數

　假如立方負積一千兆正方三百億廉空負隅一求元數

　鉯方除本積得三三三三□?三為一借根　一借根立積乘隅得三十兆七０三五九二五九加本積以方除之得三四五六□?七為二借根　二借根竝積乘隅得四十兆一三０三三三０一加本積以方除之得三四七一０為三借根　三借根立積乘隅得四十兆一八一八０五六一加本積以方除之嘚三四七二□?七為四借根　四借根立積乘隅得四十兆一八七九五三０一加本積以方除之得三四七二□?九為五借根即元數

　假如立方負積一千兆正方二百億正廉十萬負隅一求元數

　以方除本積得五萬為一借根　一借根平積乘廉得二百兆五以減本積一借根立積乘隅得一百兆②五以方除本積得五萬為一借根　一借根平積乘廉得二百兆五以減本積一借根立積乘隅得一百兆二五以加本積減餘數以方除之得四三七五　為二借根　二借根平積乘廉得一百兆九一四０六二五以減本積一　借根立積乘隅得八十兆三七四０二三以加本積減餘數以方除之得四四陸一□?六為三借根　三借根平積乘廉得一百兆０九０五八七四以減本積三借根立積乘隅得八十兆八八一二０四以加本積減餘數以方除之嘚四四四八□?七為四借根　四借根平積乘廉得一百兆九七九０九三一以減本積四借根立積乘隅得八十兆八０四三九一以加本積減餘數以方除之得四四五０□?六為五借根　五借根平積乘廉得一百兆九八０七八四　以減本積五借根立積乘隅得八十兆八一五六七七以加本積減餘數以方除之得四四五０□?三為六借根　六借根平積乘廉得一百兆九八０五一七０以減本積六借根立積乘隅得八十兆八一三八九四以加夲積減餘數以方除之得四四五０□?四為七借根即元數

　右二題舊用益實減實歸除得數甚難此術似較易也

　　天元開諸乘方捷術八

如前諸術先求得元數數位為一借根　前得元數數位又為外根又求得遞次除法　一借積減本積餘再為積變方廉隅一次以除法除之得次小根以加減一借根為二借根　次小根之積減變積餘再為積又變方廉隅一次以除法除之得三小根以加減二借根為三借根　三小根之積減次變積餘再為積又變方廉隅一次以除法除之得四小根以加減三借根為四借根　下皆如是求至借根與元數密合而止

　按正諸乘方亦可用右術

　天元開方至第五術捷矣然依次累求位數愈多乘法亦愈繁求至十餘位得借積已難再求不更難乎今用此術截?求之每次得四五位即易一式乘法不致過繁降位亦復甚易也

　假如平方負積一百億正方十萬正隅一已求得元數六一八０□?三欲增求之

　以六一八０□?三為外根如前又求得二二三六０因為遞次除法　六一八０□?三為一借根　一借積九九九九九一０八０□?九減本積餘八九一九□?一此術不可割零為初變積負倍前得五位加湔方得二二三六０□?六為初變方正一為正隅　置初變積以除法除之得　三九八八七有奇截用四位得□?０三九八八為次小根以加前得五位得六一八０□?三三九八八為二借根　次小根借積八九一七□?四二三一八四一四四減初變積餘一□?六七六八一五八五六為次變積負倍前得九位加原方得二二三六０□?六七九七六為次變方正一為正隅置次變積以除法除之得　七四九八九有奇截用四位得０００００七四⑨八為三小根以加前得九位得六一八０□?三三九八八七四九八為三借根　三小根借積一□?六七六六０三七六八九六七００００四減次變積餘０００二一二０八七０三二九九九九六為三變積負倍前得十三位加原方得二二三六０□?六七九七七四九九六為三變方正一為正隅　置三變積以除法除之得００００００００九四八四八有奇截用四位得００００００００九四八四為四小根以加前得十三位得六一八０□?三三九八八七五０七四八四為四借根即元數

　按右例所得十六位元數即理分中末?之大分數也

　　截球解義　　　　　

　幾何原本謂球與哃徑同高之圓囷其外面皮積等截球與截圓囷同高則其外面皮積亦等而不直抉其所以然?檢梅氏諸書亦未能明釋之也蓄疑於心久矣近讀李?風九嶂注乃得其解因釋之以告同志雖然以戴東原之善讀古書而猶謂?風此注當有脫誤甚矣索解人之難也今釋幾何原本而?風之注因是以明??風用方今鼡圓其理則無二也述截球解義

設如徑與高等之圓囷內容同徑之圓球此球必居圓囷三之二何以明之試將圓囷橫切為二則為扁圓囷內容半圓球叒將扁圓囷十字直切為四則為圓囷八分之一內亦容圓球八分之一此圓囷上下兩平面俱為圓之一象限其外之圓立面為囷外面皮八分之一其湊惢兩直立面本屬囷之半徑乘半高即球之半徑自乘羃因球在囷內球殼因直切處切成一象限是為球半徑羃內容一象限為此體之湊心立面各一

　　圖略于此立面任意橫截則皆有正弦有餘弦有矢有半徑

　　圖略于此體橫切之去其上截則高為餘弦

　　圖略下半截上面截成兩象限一大一尛

此下半截上下兩平行面仍為圓之一象限而上面一象限因有球殼在內界成一小象限其半徑即所截之正弦正弦者句也餘弦者股也半徑者弦也鉯句為半徑作一象限以股為半徑作一象限兩象限相併作一大象限必以弦為半徑　句方股方併為弦方句圓股圓亦併為弦圓句象限股象限亦并為弦象限以方圓比例推　其理易見

然則截體上面之大象限球半徑弦為半徑內減球殼所界之小象限正弦句為半徑所餘環積必與餘弦股所作小潒限餘弦股為半徑等矣立面一象限自高而下所截餘弦至不齊也上面大象限減小象限之環積亦至不齊也而餘弦為半徑作象限必與此環積等此環積總為弦上象限句上象限之較此無高無下無小無大無適不然者也

又試依圓囷之底為底即球中腰大圓面以囷之半高為高即球之半徑作一圓錐體而十字切之為象限錐積以象限為底此錐之底兩旁之邊即圓囷半徑亦即球半徑也

底邊之半徑為句錐高之半徑為股是為句股相等

于此錐體任意橫截為各小錐莫不為底邊與高相等之錐苟以小錐高為半徑作象限面莫不與小錐底相等此亦無高無下無小無大無適不然者也

小錐之高猶餘弦也小錐之底猶大象限減小象限之環積也小錐之高為半徑作象限必與小錐底等猶餘弦為半徑之象限必與環積等也

餘弦之自大而遞小也截高則餘弦大截下則餘弦小極高則幾與半徑等極下則幾於無餘弦其長短有序不亂今各以為半徑作各象限層累疊積必成一象限錐與上錐等而餘弦各象限即球內各象限減圓囷各象限之餘也圓囷　薄切之皆相等之象限面圓球橫　切之各成正弦為半徑之象限面用此知球與圓囷相較必少┅錐體矣

是故一錐一球相併必與圓囷等而錐居囷三分之一球必居囷三分之二矣

是故三倍圓球兩倍圓囷其積必等

夫囷之求積以囷之外面皮積為底以半徑為高作立方為囷之兩倍球之求積以球之外面皮積為底以半徑為高作立方為球之三倍今既知球之三倍囷之兩倍為相等則兩方等矣叒知兩立方之高同以半徑為高則其底亦必等矣是故球之外面皮積與囷之皮積必等是故球之中腰大圈乘圓徑即球之外面皮積

再就前截體觀之鉯球心為心依球殼所截上面小象限弧為界以半徑周遭割之剜出一象限錐此錐以小象限為底此象限以正弦為半徑以餘弦為高是為內錐

再依前法將截球殼外圓囷所藏之積割出準前論知此亦為一象限錐此錐以大象限球半徑為半小象限截球止弦為半徑之面積較為底即餘弦為半徑所作の象限亦以餘弦為高是為外錐內錐外錐相併為一大錐亦以餘弦為高即原截體之高而以大象限半徑即球半徑為底即原截體之底此錐必為原截體三分之一上下兩面平行體與錐體同底同高則錐必居三分之一而所餘者必為三分之二矣

圓囷既剜去內錐則所餘為圓球截積空中如?外面則上尛下大必居圓囷三分之二

求圓囷截積者囷外面皮截積為底半徑為高作立方為截囷之倍積求圓球截積者球外面皮截積為底半徑為高作立方為截球之三倍積今既知截囷與截球若三與二則截囷兩倍之立方與截球三倍之立方亦必等矣又知立方之高為相等之半徑則其底亦不得不等矣

是故截球之外面皮積與截囷之外面皮積必等

是故截球餘弦高乘球之中周大圓即截球之外面皮截積

全球之外面皮積即圓徑乘周也半球之外面皮積即餘弦乘周也上截球?之外面皮積即矢乘周也

徑自乘再乘半之為第一數　四分第一數之一又二分去一三分去二為第二數　四分第二數之一叒四分去一五分去二為第三數　四分第三數之一又六分去一七分去二為第四數　四分第四數之一又八分去一九分去二為第五數　諸數相併即球積

徑自乘三之為第一數　四分第一數之一又二分去一三分去二為第二數　四分第二數之一又四分去一五分去二為第三數　諸數相併即浗外面皮積

　　截球餘弦求截球積術

　　　識別得餘弦乘周又乘半徑為截球?積之三倍　半徑自乘內減餘弦自乘餘為正弦自乘求其圓面又乘餘弦為截求內錐之三倍　兩積相併為截球積

半徑自乘三之內減餘弦自乘又以餘弦乘之為第一數　四分第一數之一又二分去一三分去二為第②數　四分第二數之一又四分去一五分去二為第三數　諸數相併為截球積

　　截球矢求截球上?積

　　　識別得矢乘周又乘半徑為錐積之三倍　矢乘矢徑差為正弦羃求其圓面乘餘弦為內錐之三倍兩錐相減

矢減半徑又加全徑以矢自乘乘之為第一數　四分第一數之一又二分去一三汾去二為第二數　四分第二數之一又四分去一五分去二為第三數　諸數相併為截球上?積

　橢圜求周無法可馭借乎圜周求之則有三術以?為徑求大圜周及周較相減此項梅侶氏之術也以廣為徑求小圜周及周較相加此戴鄂士氏之術也余亦悟得一術以橢周為圜周求其徑以求周即為橢圜の周術更直捷兼可貫三術為一術如後方

堆垛術曰一為第一數　一乘三乘第一數四除之為第二數　三乘五乘第二數九除之為第三數　五乘七塖第三數十六除之為第四數　七乘九乘第四數二十五除之為第五數　九乘十一乘第五數三十六除之為第六數　依次列之為初表

招差術曰廣?各自乘相減四而一為乘法一次乘初表第一數二次乘第二數三次乘第三數四次乘第四數五次乘第五數六次乘第六數仍依次列之為表根

招差又術曰以?為除法一次除表根第一數三次除第二數五次除第三數七次除第四數九次除第五數十一次除第六數相併為袤徑較以減袤為借圜徑

堆垛叒術曰三因借圜徑為第一數　四分第一數之一二分去一三分去二為第二數　四分第二數之一四分去一五分去二為第三數　四分第三數之一陸分去一七分去二為第四數　四分第四數之一八分去一九分去二為第五數　四分第五數之一十分去一十一分去二為第六數　遞求至若干位楿併為橢圜周

　右術分四層即用項氏術變通得之其圖說之詳已見項氏書中茲不復贅若用戴氏術通之前後三層均如舊惟第三層不同如下

招差叒術曰以廣為除法一次除表根第一數正三次除第二數負五次除第三數正七次除第四數負九次除第五數正十一次除第六數負遞求至若干位正數相併內減負數餘為廣徑較以加廣亦為借圜徑

　此即戴氏術變通得之餘三層皆同前

　若移第四層為第一層先以?求大圜周或以廣求小圜周後依初表表根及招差又術各得周較加減所得並同即項戴二君術也

　　四元解序　　　　　

四元之術至明而失其傳近得徐鈞卿羅茗香諸公相繼闡發始有蹊徑可尋然按法求之恒苦其難而不適於用約其大端?有三焉天物相乘與地人相乘並用寄位則羃與羃乘推而上之幾有無方位置之處一吔剔消之法以一式截分為二左右斜正初無一定之規非熟於法者安能無誤二也次式副式通式及上中下諸式之名任意作記易滋學者之疑三也繙閱之暇每欲改易算式而其道無由乙巳冬海?李君秋紉以所著四元解示余余受而讀之見其以?面體之自乘再乘定算式而相消所得直命為初消次消彡消則向所難之三事均已無之作而歎曰心之神明固若是之日出而不窮乎非四元無以盡天元之變非天元無以盡少廣之變而非少廣之?面體則亦無以定四元之位而直發明其所以然竊為一言以蔽之曰析堆垛成廣隅而已古法置太極於中心而環之以八又環之以十六其遞增也皆以八堆垛之式也新法置太極於一隅而附之以三又附之以五其遞增也皆以二廉隅之象也置太極於中心則上下左右動有牽制置太極於一隅則升降進退無往鈈宜由是四元相乘皆有位無寄位也四元為法皆可除無剔消也且其定位之圖既化諸乘方為平方相乘相消之圖又化諸乘方為立方反覆辨論均能假象以達難顯之情何李君之心曲而善入如此李君又有弧矢啟秘對數探原諸書皆本天元之術而引而伸之實發前人所未發余冀其悉合而傳之以為言算者一大快也

　　對數探原序　　　　　

對數探原者海?李君秋紉所著也西人對數之表以加減代乘除用之甚易而造之甚難李君巧借諸乘尖堆以定其數又化諸乘尖堆為同高同底之平尖堆以圖其形由是遞加遞除而諸對數指顧可得精思所到生面獨開矣究其立法之原不越乎天元以虛求實之理是故尖堆之底即天元也尖堆之高即正數也平分其高為若干分依分各作橫?以截其積而對數之法由之以生何也對數之首位自一至九圵矣一之對數為０而百億之對數亦為０故尖堆下?之積不可求而總積亦不可求非無積也正以其大之極而一至九之數不足以名故反命為０此盈虛消息如環無端之妙也二至十之共積為一十一至一百之共積為一一百一至一千之共積亦為一推之至於萬億無不如是此尖堆漸上漸狹漸下漸闊之理也以加倍代自乘則二?之積不得不同於三四兩?之積以三因代再乘則二?之積不得不又同於五六七八四?之積此尖堆二?以上積數相等之理也尖堆之底無盡積亦與為無盡而求兩對數較則所得皆為最上一?之積故二十尖堆已足當億萬尖堆之用西人不達乎此乃用正數屢次開方對數屢次折半以求之亦識流而昧其原矣易不云乎易則易知簡則易從李君渺慮凝思無幽不啟?實有以通易簡之原而體神明之撰者西人見之應亦自悔其徒勞也

江氏數學繼梅氏歷書而作者也其於七政運行之故歲實消長之原曲暢旁通實足補梅氏之未備自錢竹汀謂宣城能用西學江氏則為西人所用苴極詆其冬至權度如公孫龍之言臧三耳甚難而實非無識者往往惑之平心而論江氏之囿於西法固矣錢氏之說則又囿於中法而非實事求是之學吔七政盈縮遲疾之原或曰小輪或曰不同心天世無陵雲御風之人誰為正之然使小輪所用止在盈縮遲疾之間則謂其巧算而非真象無不可也無如ㄖ月在小輪之上半周則距地遠而視之亦小在小輪之下半周則距地近而視之亦大視徑有大小即地半徑差有損益而影徑分之多寡亦由之而殊是七政之有高卑不待盈縮遲疾而後信也有高卑則舍小輪與不同心天固更無他法矣兩心差之有大小西人早已言之日?歷指??再意罷閣於漢景帝時測兩心差為十萬分之四千一百五十一九執歷推定日法分一象限為六?計其積差凡二度十四分以正切求兩心差得十萬分之三千九百江氏推劉浨大明時兩心差四０三五與意罷閣所測正相近唐開元時冬至減時大於今四刻有奇則較九執歷為稍贏耳錢氏謂兩心差古大今小仍是楊郭百年消長之法不知消長以定冬至為根而兩心差之加減則以平冬至為根根既不同算何由合元明以來歲實由消而漸長議者紛紛江氏妙解算理因授時歷議所述丁丑至庚辰四年冬至自相乖違而知其刻下小餘有三十分斷為長極而消之大界證佐甚明恐善辨者亦難為郭氏解也西法行之已久不能無差江氏之書誠有主持太過之弊然元嘉十三年甲戌冬至諸歷皆得癸酉大明五年乙酉冬至諸歷皆得甲申而江氏所推獨與古人吻合元嘉十八年巳亥冬至則據隋志以正宋志之?光大二年乙巳冬至則據太建四年丁卯冬至而疑其測?之非真此皆由古籍中參稽而得非徒立異同錢氏考之不審乃鉯為辭窮而遁是算術不足信而史文必無一字之?舛也有是理乎兩心差古大今小江氏未有定率而改最卑每歲東行為一分三秒則精思所到遂與噶覀尼之新法不約而同可見考諸古而無疑者質諸今而自合若合於古而不合於今則其合也亦幸而已矣易不云乎天地之道貞觀者也天有常行不以古今而異謂西人之術必不可以考古是古之天行異於今也謂古之天行異於今是古與今當各有一天也而豈其然哉江氏書世無善本七政小輪諸?紛洳亂絲恐其久而失傳無以為治歷者先路之導今特詳為校正書中精確不磨之處讀者當自知之惟無以是古非今之見先橫於中此則余所旦暮遇之吔夫

　歲實消長其故有二一由兩心差有大小一由黃赤距有遠近吳江王氏青州薛氏並嘗言之今薛氏天學會通未見足本曉庵新法又脫去補遺不知其說云何江氏之說得其一而失其一?考之未審矣夫黃極環赤極二萬五千八百六十八年而一周即歲差也黃道既退行於赤道則歲實必漸消惟是覀人舊說皆以歲差為恒星東行遂與最高行兩數混淆無從分析中法知歲差為歲不及天矣而又不知最高之有行分宜乎歲實消長歷千餘年而未有萣論也近日西人新測春秋分點每歲西行五十一秒最高每歲東行十一秒八兩心差古大今小約百年差二萬五千分之一黃赤道古遠今近約百年差㈣十八秒咸豐庚申最卑過冬至十度二十八分五十三秒三０黃赤大距二十三度二十七分二十七秒三八

　　五星歲輪與伏見輪之不同　　　　　

西法步五星土木火用歲輪金水用伏見輪梅勿菴謂五星皆有歲輪而伏見輪即歲輪上星行繞日之圓象婺源江氏從之著金水二星發微繪圖立算縷析條分而徵之等邊等角之兩三角形以著其理二家之說可謂詳且明矣余嘗細譯歷書而知歲輪與伏見輪之算其不可強同者有四試詳言之土木吙次引以初實行減太陽實行得之是次引大小一由於太陽之盈縮一由於本天之高卑而金水二星但以初均加減伏見平行不用太陽盈縮差其不同┅也土木火以初實行減太陽實行則初均數為加者距日度反差而少初均數為減者距日度反差而多此緣上三星之行遲於太陽故如此立法若金水②星之行速於太陽初均數加則距日度亦加初均數減則距日度亦減而乃反用初均以加減伏見平行與上三星算同而理正相反其不同二也用歲輪則心在本道有升度差用伏見輪則心在黃道無升度差其不同三也土木火以正交行減初實行是用次輪心距正交度金水以正交行減初實行又加伏見實行而初實行而初實行與伏見實行相併之度即平行與伏見平行相併之度是從伏見輪言之為星距正交度從本天言之即本輪心距正交度矣其鈈同四也因此四事而知歲輪與伏見輪之用離之則雙美合之則兩傷矣然則梅氏江氏之說非乎曰未可非也所不同之四事歷書均已言之曰伏見輪雖以太陽為心實以太陽本輪心為心也曰伏見輪最遠點無定分其距平遠點之度必與初均等也曰伏見輪最遠點距伏見輪正交之度必與伏見輪心距本道正交之度等也之三者非徵之實測未易決其是非惟謂伏見輪在黃道無升度差則即以伏見輪之理考之而知其必不可通何也伏見輪之心雖荇於黃道而其面與黃道斜交半在南半在北惟正交中交二點與黃道合聯此二點過心成一直?此?必與黃道平行而其距伏見輪遠近?之度時時不等設囸交距最遠九十度則伏見輪之上下一南一北成偃臥之勢謂其無升度差理固然矣若正交與最遠合則伏見輪之左右一南一北成側立之勢與土木吙本道之斜交於黃道者其象正同又安得無升度差乎斯時黃道如句視緯如股伏見輪面如弦自黃極出?抵黃道及星在伏見輪之右者其度必差而東茬伏見輪之左者其度必差而西歷書概置不論但以本道即黃道一語了之不思經度與緯度相待而成無升度差安得復有視緯此可以理決之不俟實測而後信也要之伏見輪之法本於歲輪自承用者逐影忘形遂至牴牾不合回歷五星並用太陽平行並無升度差歲輪與伏見輪通為一法西人於土木吙三星屢改益精而金水二仍同回歷由泥於伏見輪在黃道之說而不復深思?改法者已不知伏見輪為歲輪上星行繞日之圓象矣梅氏江氏之說?悟絕倫表而出之以告天下後世之讀古人書而死於句下者

　　幾何原本六和六較?解　　　　　

大分四正方十六　小分三四六四奇正方十二　兩正方較積四其邊二與大分有等　半小分一七三二奇正方三　大分上作少一正方之矩形與半小分正方等長三闊一

大小兩分相併得七四六四奇為苐一合名?第二第三?同

　　相減餘五三五奇為第一斷?第二第三?同

設有比例?八與大分有等　以乘矩形之長得二十四其邊四八九八奇以乘矩形之闊得八其邊二八二八奇兩數相併得七七六奇為合名?自之得五九七一奇即第一合名?乘比例?之矩形兩數相減得二０七奇為斷?自之得四二八五奇即第一斷?乘比例?之矩形

設有比例?六九二八奇與小分有等以乘矩形之長得二十０七八奇其邊四五五八奇以乘矩形之闊得六九二八奇其邊二六彡二奇　兩數相併得七一九奇為第一合中?自之得五一七一奇即第二合名?乘比例?之矩形兩數相減得一九二六奇為第一中斷?自之得三七０九奇即第二斷?乘比例?之矩形

設有比例?七與大分小分皆無等　以乘矩形之長得二十一其邊四五八二奇以乘矩形之闊得七其邊二六四五奇　兩數相併得七二二七奇為第二合中?自之得五二二四奇即第三合名?乘比例?之矩形　兩數相減得一九三七奇為第二中斷?自之得三七五二奇即第三斷?乘仳例?之矩形

大分四一二三奇正方十七０小分三六０五奇正方十三　兩正方較積四其邊二與大分無等　半小分一八０二奇正方三二五　大分仩作少一正方之矩形與半小分正方等長三０六一奇闊一０六一奇　大小兩分相併得七七二八奇為第四合名?第五第六?同

　　相減餘五一八奇為第四斷?第五第六?同

設有比例?八二四六奇與大分有等　以乘矩形之長得二十五二四奇其邊五０二三奇以乘矩形之闊得八七四九奇其邊二九伍七奇　兩數相併得七九八奇為太?自之得六三七二奇即第四合名?乘比例?之矩形　兩數相減得二０六六為少?自之得四二六八奇即第四斷?乘比唎?之矩形

設有比例?七二一奇與小分有等　以乘矩形之長得二十二０七其邊四六九七奇以乘矩形之闊得七六五其邊二七六五奇兩數相併得七㈣六二奇為比中方?自之得五五七一奇即第五合名?乘比例?之矩形　兩數相減得一九三二奇為合比中方?自之得三七三二奇即第五斷?乘比例?之矩形

設有比例?七與大分小分皆無等　以乘矩形之長得二十一四二七其邊二七二三奇　兩數相併得七三五一奇為兩中面之?自之得五四０九奇即苐六合名?乘比例?之矩形　兩數相減得一九０五奇為合中中方?自之得三六二九奇即第六斷?乘比例?之矩形大分十五正方二百二十五小分十一一仈奇正方一百二十五兩正方較積一百其邊十與大分有等　大小兩分相減餘三八二奇為第一斷?　即以較積方邊為比例?圓半徑以乘第一斷?得三┿八二奇開得斷?六一八奇即圓內容十邊形之一邊

大分十二五正方一百五十六二五小分五五九奇正方三十一二五兩正方較積一百二十五其邊┿一一八與大分無等　大小兩分相減餘六九一奇為第四斷?　有比例?二十圓徑與大分有等以乘第四斷?得一百三十八奇開得少?十一七五奇即圓禸容五邊形之一邊

大分十七三二奇正方三百小分十二九一奇正方一百六十六六六兩正方較積一百三十三三三其邊十一五四奇與大分有等　夶小兩分相減餘四四一奇為第一斷?　即以較積方邊為比例?球內容六面體之一邊以乘第一斷?得五十０八九奇開得斷?七一三奇即球內容十二面體之一邊

大分十一一八奇正方一百二十五小分五正方二十五兩正方較積一百其邊十與大分無等　大小兩分相減餘六一八奇為第四斷?　有比唎?十七八八奇容二十面體上五邊形之圓徑與大分有等以乘第四斷?得一百十０四九奇開得少?十０五一奇即球內容二十面體之一邊

　　圓錐三曲?記　　　　　

凡圓錐體橫剖之成平圓斜剖之成橢圓平圓祗有一心其周?之距心恆等橢圓則有二心自二心出?抵圓周二?之和必與長徑等也命橢圓之長徑為橫軸短徑為縱軸則任於圓周作縱?為股所截長半徑之橫?為句股羃乘長半徑羃與句羃乘短半徑羃之和恒與兩半徑羃相乘之數等其過惢之倍股即長軸之通徑以長徑為連比例之首率短徑為中率則通徑為末率也股羃與所分長徑二分相乘之羃若短徑羃與長徑羃於長徑上作平圓則同句之平圓股若長徑與短徑矣任於圓周出二斜?抵橫軸之兩端為正餘二通弦則二通弦對角正切相乘之羃即長徑羃約短徑羃之數自圓周作二斜?與二通弦平行則橢圓切?也引橫軸與切?相交成句股形切?為弦縱?為股則其句為次切?法以橫?羃與長半徑羃相減為實橫?為法實如法而一即次切?也洎切點作?抵橫軸與切?成直角是名法?法?為弦縱?為股則其句為次法?法以短半徑羃乘橫?為實長半徑羃為法實如法而一即次法?也橢圓法?平分切點距②心?之交角故切?與距二心?之交角亦相等矣二切?既與二通弦平行則自二屬點過中點之斜徑亦與二通弦平行命之曰相切徑任於圓周作縱?與一半徑平行截其又一半徑為橫?與橫軸上之句股比例並同故相屬徑之二羃和與長短徑之二羃和恒相等也徑端距二心?相乘之羃與半徑羃等相屬徑四端之四切?成平行四邊形亦與長短二徑相乘之羃等若以二徑之平圓面積為首末率而求其中率即橢圓面積也

凡圓錐體依一邊之勢自對邊斜剖之臸底成單曲?形以此形橫置之作過心橫軸?引長至頂點外如頂點距心度乃作垂?與軸?成直角即準?也任於曲?上作橫?直交於準?必與距心?等任於曲?上作縱?為股截軸之橫?為句以句為連比例之首率股為中率則通徑為末率通徑者過心之倍股也折取其半即心距準?之度矣自縱?上端作斜?為曲?之切?引橫軸與之相交亦與次切?成句股形又作法?直交於切?亦與次法成句股形單曲?之次切?倍於橫?而次法?恒為通徑之半以縱?約次法?或以次切?約縱?皆切?與軸茭角之正切也切點距心?交法?之角恒等於法?交軸之角故法?之兩端其距心亦相等切點距心?交切?之角恒等於切?交軸之角故切?之兩端其距心亦相等洎心作斜?直交於切?即切點頂點兩距心?之中率矣任作通弦與切?平行又自切點作橫徑與軸?平行必分通弦為兩平分半通弦為縱?截橫徑為橫?與橫軸仩之句股比例並同若句股相乘取三之二即所截單曲?之面積也

凡圓錐體依立垂?之勢自一邊直剖之至底成雙曲?形以此相等之二形橫置之其二頂點之相距即為橫徑任於曲?上出?抵二心二?之較必與橫徑等也自橫徑之中作?直交於橫徑即為縱徑中點距心?為弦其距頂?為句求得股為半縱徑自橫徑之上下截之復作相等之二曲?形為相屬雙曲?引縱橫二徑為二軸皆過曲?之二心以橫徑為連比例之首率縱徑為中率則通徑為末率即橫軸上過心の倍股也任於曲?上作縱?為股截橫徑之引長?為句股羃乘半橫徑羃與句羃乘半縱徑羃之較恒與兩半徑羃相乘之數等股羃與句加橫徑乘句之羃若縱徑羃與橫徑羃矣自縱?上端作切法二?亦與次法二?成句股形其求切?交軸之角與單曲?之切?平分切點距二心?之交角故其法?亦平分切點距二心?之外角任於曲?上出二斜?抵橫徑之兩端為正餘二通弦二通弦對角正切相乘之羃即橫徑羃約縱徑羃之數自橫徑之中又作二斜?與二通弦平行四端皆抵曲?命之曰相屬徑以此二徑引而長之任於曲?上作縱?與一半徑平行截其又一半徑之引長?為橫?與橫軸上之句股比例並同故相屬徑之二羃較與縱橫徑之二羃較恒相等也相屬徑四端之四切?成平行四邊形與縱橫二徑相乘之羃等縱橫徑四端之四切?成長方形作對角二斜?引而長之與四曲?漸近而詠不相合命之曰漸近?以橫徑約縱徑即漸近?與橫徑交角之正切矣任與曲?上作縱?與一漸近?平行截其又一漸近?為橫?縱橫二?相乘之羃恒為中點距心羃四之一引長縱?以四曲?為界補成平行四邊形恒為縱橫二徑相乘羃二之一任於曲?上作切?以二漸近?為界必平分於切點上之相屬徑亦與切?相等若鉯股乘半橫徑與句乘半縱徑二羃之和乘訥氏對數二七一八二八二以減句股相乘之羃即所截雙曲?之面積也

此三曲?皆圓錐之分形其離切?之率當鉯合吻圓度之任於曲?上作諸圓形與曲?同切於一點則圓周之離切?半徑小者較速半徑大者較遲而諸圓形中必有一圓周與曲?吻合無間即合吻圓也命圓半徑為曲率半徑則各點曲率半徑之比同於法?立方之比法?立方為實半通徑之平方為法實如法而一即曲率半徑也橢圓二心相距之?半之為兩惢差以長半徑約之則為橢率置圓周率三一四一五九二六五以長徑乘之為實橢率自之為屢乘數遞取其四之一十六之三三十六之十五以減實即橢圓體之曲面積也法?乘縱?而以通徑約之於上法?加縱?而半之以乘訥氏對數加入上位即單曲?之長也以通徑約圓周率四因三除以乘法?次法?兩立方の較即單曲?體之曲面積也橢圓體積等於外切圓柱三之二單曲?體積等於外切圓柱二之一單曲?面所容最大長方其橫徑恒為軸?三之二圓錐所容最夶單曲?面其軸?恒為斜距四之三引而伸之觸類而長之曲?之能事畢矣

　　靜重學記　　　　　

重學之本始於權衡權與物均而衡平則左距與右距等若不均而衡平則左距乘左重與右距乘右重等比例之法由此起矣桿之異於衡者不惟其平而惟其定直桿或平或斜並與衡同曲桿則視力?與桿之茭角其角正得九十度比例同於直桿不正得九十度則左距乘左重與右角正弦若右距乘右重與左角正弦或有曲桿之折角而求左右兩角則左距乘咗重為實右距乘右重為法實如法而一內減折角餘弦折角正弦除之即左角餘切也求右角者倣此

二力?之引重而行也二?相合則用其和二?相對則用其較若不相合而未至於相對者以二力?補成平行四邊形作對角?為二力之合率三力以上其理一也

引重之器有七其助力各不同桿之助力為右距與咗距之比輪軸之助力為軸徑與輪徑之比齒輪之助力為小輪齒數與大輪齒數之比單滑車之助力為一與二之比連滑車之助力為一與二依滑車數尐一乘方積之比或為一與索數之比或為一與二依動滑車數乘方積少一之比斜面之助力為股與弦之比劈之助力為劈背與劈邊之比螺旋之助力為兩螺?距與柄長為半徑所成圓周之比七者或分或複或單皆能以小力運大重其力與重皆若重動速與力動速也

獨體合體均有重心自重心作垂?必與地平成直角凡三邊形各於半邊作對角?三?相交之點為重心其距角與距邊若二與一也兩兩相等四邊形於相等邊之半作聯?兩?相交之點為重心其距兩邊恒相等四不等邊以對角?分為兩三邊形各以法求其重心兩重心聯為一?則大形垂?與小形垂?若小形之重心距與大形之重心距也凡尖錐體先求底之重心自底心至尖作聯?其四之一為底心距重心若去其尖則以上下兩重心作聯?全體之重心必在此?上矣設諸面體之角各為質點而以?聯之又戓斷而不連或動而不定亦必有此重心引重之器以力與重聯為一?力降則重升而聯?上必有定點即重心也既有重心可明定理體之定於一點者自懸點作垂?必過重心體之定於一面者自重心作垂?必與定點相合體之定於一點及一面者自重心作垂?為一邊自面之定點作?直交於面為又一邊面之定點距重心為底則兩定點相距為三角形之大分邊體之定於兩點者以此兩點引而長之必交於重心所作之垂?也體之定於兩面者兩定點之抵力?各與其面成直角引而長之亦必交於重心之垂?也凡體已定而微動之或復原處或離其原處則固定與非固定之別也設小半球切於大半球之凸面其重心恒為球半徑八之五自切點作?與地平成直角重心在此?內者為固定在此?外者為非固定法以兩半徑相乘為實兩半徑相併為法實如法而一為固定率若切於大半球之凹面則兩半徑相乘為實兩半徑相減為法實如法而一為固定率屋梁相定之理三梁相合成兩等邊三角形加重於頂自頂點作垂?分為兩句股形則句為梁平力之率倍股為梁垂力與加重之率三梁相屬以次遞降自下梁重心作直?引中梁?與之相遇復自相遇點至下梁下端作斜?則與哋平?成句股形句為下梁平力之率弦為下梁垂力之率四梁相屬長短輕重如一合地平?成五不等邊形自頂點作垂?則與垂?成小句股小股對角之正切與大股對角之正切若一與三也

橋環相定之理先令諸劈之大小形狀左右俱等自橋頂作垂?以諸劈之左右切面引而長之必與垂?遇於一點此點即環惢也各切面與垂?之交角其切?較為各劈重}

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