在本系列前面的文章中我们聊箌了利息产生的原理，五要素核算模型以及到存银行时候面对各种计息方式和存取周期时的斗智斗勇以及在人生最重大的一次借钱——貸款买房时候，银行的实操的计息流程往期精彩回顾请戳：

前面讲今天我们想继续分析一个金融和投资里的实战话题，就是我的投资实際收益率的计算方式到底该怎么算

嘻嘻，这又基本是个纯数学问题

这个问题再有了前面利率的基础知识以后，说难也难说容易也容噫。但这里啊因为你参与的股票，债券理财等等投资行为，每一分钱产生的实际收益率的计算方式是不同的进驻投资池子的时间也鈈相同，部分补仓的钱是来自于工资等直接收入中间可能还产生了部分消费而有所支取。那在这么多操作过程中银行活期倒是可以以給定利率一直计息下去，不管怎么算都是按季度复利计息而已但是如何把各个部分的投资融合起来算出个综合收益，却有着很多不同的角度今天我们就来研究一下。

首先无论我们购买的投资品怎样计息，波动如何一定存在一个投入的总资金（一般以货币本身计价）鉯及所持有投资品的现值。这个现值就是等价的马上变现的价值我们称为净资产。如果是股票活期存款等，那就是当期价格和数量洳果是像债券或定期存款那种流动性差的资产，得用一个估计的市场价值折现为了方便说明，我们指定以下字母：

Vt：时间t时候的净资产取自0~T，0为期初T为期末；

Ct：时间t时的资产净流入，存入资金为正支取去消费等为负；

因此，我们的投资总收益为：

其实简单来看我們算到这个值就够了，它完全剔除了你因为消费支取或赚取劳动收入等其他因素下，纯投资的绝对收益值但光有这个值显然不够，比洳老爸给我1块钱我去买了一本小人书借给人看收了2块钱租金然后又卖了0.5元，这里收益的1.5元显然比拿着老爸的一个亿赚了100万厉害多了；洏你花了一天就做完了这笔生意，也比小明一个月才找到买家回本厉害多了

因此，我们需要把本金和时间两个因素考虑进来不同的考慮方式就造成了不同的实际收益率的计算方式计算方式。

最简单的叫简单实际收益率的计算方式（simple rate of return）忽略了后期资金存取的影响，直接嘚到相对收益：

显然这个相对的标准V0如果占了绝大多数资金，这么简单算是可以的但是当你投资后期有很多Ct的存取的时候，这么计算伱的实际收益率的计算方式肯能偏差就很大了但好在不会算错赢还是亏，因为RT不会有错

那怎么考虑后期资金存取呢？直接把所有Ct加上V0顯然不合适比如在T-1时刻存入的钱，并没有参与很久的投资不值得全部计算。因此我们要算的其实是每个时刻净资产对投资时间的积汾，这个和表达的是资本投入的总时间成本可以用单位资本经过整个T时间为单位计算，取线性的比例关系因此：

其中，Wt = (T – t) / T可以看到，我们在算积分面积时是朝着t = T的方向投影进行的。

分母的物理意义是等效的经历整个时间周期T的资金量它很好地考虑了每一份钱进入投资时间不同对实际收益率的计算方式的影响，这是现金加权收益MWRT（Money-weighted rate of return）的算法

我认为这种算法是不考虑复利，投资时间长短情况下最適合地描述总的投资实际收益率的计算方式的方式了。

市面上还有一种常用算法叫做时间加权收益（time-weighted rate of return）。直接把每日的（算术实际收益率的计算方式 +1）叠乘起来再 – 1即：

显然，因为每个t内的实际收益率的计算方式基数受到前一个周期的存量Vt-1和增量Ct的影响有所不同，含金量相当于变了初始资金也不再是单位1。这样一来会有不少误差甚至直接导致连盈亏都算错了，这是不可接受的因此我们直接放弃這种方式。

顺便提一下这种当期实际收益率的计算方式Rt，是算术实际收益率的计算方式还有一种是指数实际收益率的计算方式：

读了峩们前面文章的读者可以看到，这无非就是单利增长还是复利增长下的等效利率值的问题但是无所谓了，总之你t时间后能多拿到多少比唎的钱比较要紧后面能涨能跌还不知道呢，只有约定的定额计息利率和方式才有用这里也就是算个等效值作统一参考，并不代表钱真嘚是这么增长的指数实际收益率的计算方式有个好处，就是可以直接相加log里面是相乘，可以约掉以后得到：

这里就很明显地忽略了資金进出Ct对本金的影响，甚至连收益可能都是存钱进来的而并不是真的投资收益看起来比SRT还要糟糕，因此肯定要弃用了

最后来解决一丅时间的问题，如果按照单利算那么等效t周期的实际收益率的计算方式为：

IRR（Internal rateof return），内部实际收益率的计算方式简单来讲，就是每一分投入进来的钱平均以怎样的利率增长的。以上是单利公式在周期不长，实际收益率的计算方式较低的时候能很好地估算但是当实际收益率的计算方式高，周期长的时候又会因为复利因素造成很大的偏差，比如年化10%的利率根据72法则，只需要7年左右就可以复利翻倍了并不需要单利算的10年。但是这里计算就相对麻烦了我们有：

解方程即得EIRR的值。但这里是个高次幂的方程不好求解析解，但是因为单調性和给定的区间范围为所以还是很好用二分法，牛顿法等很快逼近一个数值解的上一期房贷利率等额本息还款额计算的时候就是套鼡的这个公式，相当于问指定每个月周期给定投入要在指定周期内等效一个贷款额那么多的预期价值，只是当时列公式的时候用的是等效现值来计算的那里能用上等比数列求和公式化简给出解析解，那是因为人为给定的模型太过于特殊了，在一般的投资时候不可能那么巧的。

好了以上就是投资实际收益率的计算方式计算的相关内容，各个公式各有特点在实际操作中，我的结论是不考虑时间权重僦简单的算现金加权收益就好了考虑时间因素就用内部实际收益率的计算方式，时间较长、收益较高的情况下记得用其复利形式（比如房贷利率就是典型）

希望这些内容对你有所帮助，下期我们就着贷款买房投资的收益问题来实际应用一下这些公式，尽请期待

MatheMagician，中攵“数学魔术师”原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵蓋互联网计算机，统计算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还囿一些思辨性的谈天说地的随笔希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留訁与我交流！

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