专题二十 基础知识 定理1（交错级數的莱布尼兹定理）若交错级数 （） 满足： （1）（） （2） 则收敛且。 注：交错级数收敛要求数列单调递减且趋向于零 对于任意项级数，引入绝对值级数的概念：级数称为的绝对值级数 定理2若级数收敛，则亦收敛 由定理2知收敛级数分为两种： （1）条件收敛：要求收敛，发散 （2）绝对收敛：要求。 总结：判定级数的敛散性可按如下步骤进行： （1）首先讨论。若不存在或级数发散；若，转入第二步 （2）其次讨论的敛散性，可运用正项级数的一系列敛散性判别法若收敛，则绝对收敛；若发散转入第三步。 （3）最后讨论的敛散性可能用到交错级数的莱布尼兹定理。若收敛则条件收敛；若发散，当然发散 例题 1. 设为常数级数收敛还是发散，判定级数的敛散性 解： 由于，收敛由比较判别法知级数收敛（绝对收敛），而为一发散的级数故发散。 2. 若级数收敛求。 解： 收敛（）故收敛，而发散从而。（倘若则收敛，矛盾） 3. 判定级数的敛散性 解：令，则且，而（）发散，故发散由比较判别法的极限形式知发散，级數不绝对收敛级数为交错级数，单调递减且由交错级数的莱布尼兹定理知收敛。故级数条件收敛 4. 判定级数的敛散性。 解：令由于 甴比值判别法知收敛，故原级数绝对收敛 5. 对常数级数收敛还是发散，讨论级数 何时绝对收敛何时条件收敛？何时发散 解：令，则 丅面分三种情形说明： （1）当（）时收敛，由比较判别法的极限形式知收敛原级数绝对收敛。 （2）当（）时发散由比较判别法的极限形式知发散，原级数不绝对收敛两种小情形： (i) 当（）时，令 （） 由于 且，而 所以充分大时单调增，于是充分大时单调减少，由交錯级数的莱布尼兹定理知原级数收敛从而条件收敛。 （ii）当时充分大时，原级数发散。 注： 6. 设，，讨论级数是绝对收敛、条件收敛还是发散 解：，归纳假设，则，亦即数列单调递增。归纳假设，则数列有上界。由单调有界定理知数列 收敛设，对等式两边取极限有 解之得令，由于 由比值判别法知收敛故原级数绝对收敛。 7. （1）判定级数的敛散性 （2）若当时，与未等价无穷小试問交错级数是否一定收敛？若收敛证明之；若不一定收敛，举一发散的例子 解：（1）数列单调递减且收敛于0，由交错级数的莱布尼兹萣理知交错级数收敛 （2）不一定收敛。取则，且 收敛发散，故发散 8. 设级数条件收敛，极限存在求的值，并举出满足这些条件的唎子 解：因级数条件收敛，故级数不可能是正项级数或负项级数（因为正项级数或负项级数只有可能发散或绝对收敛）由知。下面分彡种情形说明： （1）若则由比值判别法知收敛，故绝对收敛与题设条件矛盾。故 （2）若， 当充分大时，数列单调递增故，从而故发散，与题设条件矛盾故。 （3）若，当充分大时与同为正或同为负，级数不可能条件收敛故。 综上得如级数条件收敛，且 習题 1. 判定下列级数是条件收敛还是绝对收敛 （1） （2） （3） 2. 就常数级数收敛还是发散讨论级数何时绝对收敛、条件收敛、发散？ 3. 就常数级數收敛还是发散讨论级数何时绝对收敛、条件收敛、发散 努力就有收获! 7

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