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遂宁市2014年中考数学试题及答案解析
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遂宁市2014年中考数学试题及答案解析
官方公共微信解：（1）设D地车票有张，则＝（＋20＋40＋30）·10%解得＝10。即D地车票有10张。补全统计图如图所示；（2）小胡抽到去A地的概率为。（3）以画树状图法说明（如图）：由此可知，共有16种等可能结果，其中小王掷得数字比小李掷得数字小的有6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）。∴小王掷得数字比小李掷得数字小的概率为，小王掷得数字不小于小李掷得数字的概率为。∴这个规则对双方不公平。试题分析：（1）由统计图，可得其A、B、C三地的具体车票数量，根据“去D地的车票占全部车票的10%”列方程即可求解。（2）去A地的概率=A地车票数÷车票总数。（3）先列表或画树状图列举出所有等可能结果和小王掷得数字比小李掷得数字小的结果，求出概率再进行判断。
请选择年级七年级八年级九年级请输入相应的习题集名称(选填)：
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
2013年娄底市教育局对九年级学生的信息技术、物理实验操作、化学实验操作成绩进行抽样调查，成绩评定A、B、C、D四个等级．现抽取1000名学生成绩进行统计解析（其中A、B、C、D分别表示优秀、良好、合格、不合格四个等级），其相在数据统计如下：（1）请将上表空缺补充完整；（2）全市共有40000名学生参加测试，试估计该市九年级学生信息技术成绩合格以上（含合格）的人数；（3）在这40000名学生中，化学实验操作达到优秀的大约有多少人？
科目：初中数学
来源：不详
题型：单选题
某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了1000米射击比赛，最后甲、乙两名战士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99.68环，甲的方差是0.28，乙的方差是是0.21.则下列说法中，正确的是【&&&】A．甲的成绩比乙的成绩稳定B．乙的成绩比甲的成绩稳定C．甲、乙两人成绩的稳定性相同D．无法确定谁的成绩更稳定
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
某学校开展课外体育活动，决定开设A：篮球、B：乒乓球、C：踢毽子、D：跑步四种活动项目．为了解学生最喜欢哪一种活动项目（每人只选取一种），随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘成如甲、乙所示的统计图，请你结合图中信息解答下列问题．（1）样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为　&&&　，其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是　&&&　度；（2）请把条形统计图补充完整；（3）若该校有学生1000人，请根据样本估计全校最喜欢踢毽子的学生人数约是多少？
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
中学生带手机上学的现象越来越受到社会的关注，为此，某记者随机调查了某城区若干名学生家长对这种现象的态度（态度分为：A：无所谓；B：基本赞成；C：赞成；D：反对），并将调查结果绘制成频数折线图1和统计图2（不完整）。请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样检查中，共调查了&&&　名学生家长；（2）将图1补充完整；（3）根据抽样检查的结果，请你估计该市城区6000名中学生家长中有多少名家长持反对态度？
科目：初中数学
来源：不详
题型：填空题
一组数据3，9，4，9，5的众数是　&&&　．
科目：初中数学
来源：不详
题型：单选题
下图是某学校全体教职工年龄的频数分布直方图（统计中采用“上限不在内”的原则，如年龄为36岁统计在36≤x＜38小组，而不在34≤x＜36小组），根据图形提供的信息，下列说法中错误的是A．该学校教职工总人数是50人B．年龄在40≤x＜42小组的教职工人数占该学校总人数的20%C．教职工年龄的中位数一定落在40≤x＜42这一组D．教职工年龄的众数一定在38≤x＜40这一组
科目：初中数学
来源：不详
题型：单选题
某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱支持地震灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）50，20，50，30，25，50，55，这组数据的众数和中位数分别是A．50元，20元B．50元，40元C．50元，50元D．55元，50元
科目：初中数学
来源：不详
题型：单选题
数据 0，1，1，3，3，4 的中位数和平均数分别是A．2和2.4B．2和2 C．1和2 D．3和22011 年广西玉林市中考数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1、计算 2×（1）的结果是（ ） A、 B、2 C、1 D、2考点：有理数的乘法。 专题：计算题。 分析：根据有理数乘法的法则进行计算即可． 解答：解：原式=（1×2） =2． 故选 B． 点评：本题考查的是有理数乘法法则：两数相乘，
同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 2、若∠α 的余角是 30°，则 cosα 的值是（ ） A、 B、 C、 D、考点：特殊角的三角函数值。 专题：计算题。 分析：先根据题意求得 α 的值，再求它的余弦值． 解答：解：∠α=α0°30°=60°， cosα=cos60°= ． 故选 A． 点评：本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填 空题为主． 【相关链接】特殊角三角函数值： sin30°= ，cos30°= sin45°= sin60°= ，cos45°= ，tan30°= ，cot30°= ；，tan45°=1，cot45°=1； ，cot60°= ．，cos60°= ，tan60°=互余角的性质：两角互余其和等于 α0 度． 3、下列运算正确的是（ ） 2 2 2 2 A、2aa=1 B、a+a=2a C、a?a=a D、 （a） =a 考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法。 专题：计算题。 分析：利用合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方法则进行计算． 解答：解：A、2aa=a，此选项错误； B、a+a=2a，此选项错误； 2 C、a?a=a ，此选项正确； 2 2 D、 （a） =a ，此选项错误． 故选 C． 点评：本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键． 4 、 下 列 图 形 是 轴 对 称 图 形 ， 又 是 中 心 对 称 图 形 的 有 （）A、4 个B、3 个C、2 个D、1 个1考点：中心对称图形；轴对称图形。 专题：几何图形问题。 分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合， 这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 如果一个图形绕某一点旋转 180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称 中心． 解答：解：第①个图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 第②个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 第③个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 第④个图形是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 所以既是轴对称图形，又是中心对称图形的有③④两个． 故选 C． 点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠 后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合． 5、 如图， 在平行四边形 ABCD 中， B=80°， 平分∠BAD 交 BC 于点 E， ′AE 交 AE 于点 C， ∠1= ∠ AE CC 则 （ ）A、40° B、50° C、60° D、80° 考点：平行四边形的性质。 分析：根据平行四边形的对边平行和角平分线的定义，以及平行线的性质求∠1 的度数即可． 解答：解：∵AD′BC，∠B=80°， ∴∠BAD=180°∠B=100°． ∵AE 平分∠BAD ∴∠DAE= ∠BAD=50°． ∴∠AEB=∠DAE=50° ∵CC′AE ∴∠1=∠AEB=50°． 故选 B． 点评：此题主要考查平行四边形的性质和角平分线的定义，属于基础题型． 2 6、 （2011?玉林）已知二次函数 y=ax 的图象开口向上，则直线 y=ax1 经过的象限是（ ） A、第一、二、三象限 B、第二、三、四象限 C、第一、二、四象限 D、第一、三、四象限 考点：二次函数图象与系数的关系；一次函数图象与系数的关系。 专题：函数思想。 分析：二次函数图象的开口向上时，二次项系数 a＞0；一次函数 y=kx+b（k≠0）的一次项系数 k＞0、b＜0 时，函数图象经过第一、三、四象限． 2 解答：解：∵二次函数 y=ax 的图象开口向上， ∴a＞0； 又∵直线 y=ax1 与 y 轴交与负半轴上的1， ∴y=ax1 经过的象限是第一、三、四象限． 故选 D． 点评：本题主要考查了二次函数、一次函数图象与系数的关系．二次函数图象的开口方向决定了二次项系 数 a 的符号． 7、 （2011?玉林）如图，你能看出这个倒立的水杯的俯视图是（ ）2A、 B、 C、 D、 考点：简单组合体的三视图。 专题：几何图形问题。 分析：找到倒立的水杯从上面看所得到的图形即可． 解答：解：从上面看应是一个圆环，都是实心线． 故选 B． 点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 8、 （2011?玉林）如图，是我市 5 月份某一周的最高气温统计图，则这组数据（最高气温）的众数与中位 数分别是（ ）A、28℃，2α℃ B、28℃，2α25℃ C、28℃，30℃ D、2α℃，2α℃ 考点：众数；中位数。 专题：计算题。 分析：根据中位数和众数的定义解答． 解答：解：从小到大排列为：28，28，28，2α，2α，30，31， 28 出现了 3 次，故众数为 28， 第 4 个数为 2α，故中位数为 2α． 故选 A． 点评：本题考查了中位数和众数的概念．解题的关键是正确的识图，并 从统计图中整理出进一步解题的 信息． α、 （2011?玉林）已知物线 y= x +2，当 1≤x≤5 时，y 的最大值是（ A、2 B、 C、 D、2）考点：二次函数的最值。 专题：函数思想。 分析：根据抛物线的解析式推断出函数的开口方向、对称轴、与 y 轴的交点，从而推知该函数的单调区间 与单调性． 解答：解：∵物线 y= x +2 的二次项系数 a= ＜0， ∴该抛物线图象的开口向下； 又∵常数项 c=2， ∴该抛物线图象与 y 轴交与点（0，2） ； 而对称轴就是 y 轴， ∴当 1≤x≤5 时，物线 y= x +2 是减函数， ∴当 1≤x≤5 时，y 最大值= +2= ． 故选 C．2 23点评：本题主要考查了二次函数的最值．解答此题的关键是根据抛物线方程推知抛物线图象的增减性． 10、 （2011?玉林）小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为 1）的一块碎 片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（ ）A、2B、C、2D、3考点：垂径定理的应用；勾股定理。 专题：网格型。 分析：再网格中找两点 A、B（如图） ，根据 OC⊥AB 可知此圆形镜子的圆心在 OC 上，由于 O 到 A、B 两点 的距离相等，故 OA 即为此圆的半径，根据勾股定理求出 OA 的长即可． 解答：解：如图所示， 连接 OA、OB， ∵OC⊥AB，OA=OB ∴O 即为此圆形镜子的圆心， ∵AC=1，OC=2， ∴OA= 故选 B． = = ．点评：本题考查的是垂径定理在实际生活中的运用，根据题意构造出直角三角形是解答此题的关键． 11、 （2011?玉林）如图，是反比例函数 y= 和 y= （k1＜k2）在第一象限的图象，直线 AB′x 轴，并分 ）别交两条曲线于 A、B 两点，若 S△AOB=2，则 k2k1 的值是（A、1 B、2 C、4 D、8 考点：反比例函数系数 k 的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的面积。 专题：计算题。 分析：设 A（a，b） ，B（c，d） ，代入双曲线得到 K1=ab，K2=cd，根据三角形的面积公式求出 cdab=4， 即可得出答案． 解答：解：设 A（a，b） ，B（c，d） ， 代入得：K1=ab，K2=cd，4∵S△AOB=2， ∴ cd ab=2， ∴cdab=4， ∴K2K1=4， 故选 C． 点评：本题主要考查对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知 识点的理解和掌握，能求出 cdab=4 是解此题的关键． 12、 （2011?玉林）一个容器装有 1 升水，按照如下要求把水倒出：第 1 次倒出 升水，第 2 次倒出的水量 是 升的 ，第 3 次倒出的水量是 升的 ，第 4 次倒出的水量是 升的 ，…按照这种倒水的方法，倒了 10 次后容器内剩余的水量是（ A、 升 B、 升 C、 ） 升 D、 升考点：规律型：数字的变化类。 专题：规律型。 分析：根据题目中第 1 次倒出 升水，第 2 次倒出水量是 升的 ，第 3 次倒出水量是 升的 ，第 4 次倒出 水量是 升的 …第 10 次倒出水量是
× … × 升水． × 升的 …， 可知按照这种倒水的方法， 1 升水经 10 次后还有 1 这解答：解：∵1
+ … = ． +故按此按照这种倒水的方法，这 1 升水经 10 次后还有升水．故选 D． 点评：考查了规律型：数字的变化，此题属于规律性题目，解答此题的关键是根据题目中的已知条件找出 规律，按照此规律再进行计算即可．注意 =
．二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分2把答案填在答题卡中的横线上） 13、 （2011?玉林）2011 的相反数是 2011 ． 考点：相反数。 分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，改变符号即可． 解答：解：∵2011 的符号是负号， ∴2011 的相反数是 2011． 故答案为：2011． 点评：本题考查了相反数的定义，是基础题，比较简单． 14、 （2011?玉林）近似数 02618 有 3 个有效数字． 考点：近似数和有效数字。 专题：常规题型。 分析：根据有效数字的定义，从左起，第一个不为 0 的数字算起，到右边精确到的那一位为止． 解答：解：02618 的有效数字为 6，1，8，共 3 个． 故答案为：3．5点评： 本题考查了近似数和有效数字， 是基础知识比较简单， 有效数字的计算方法以及是需要识记的内容， 经常会出错． 3 （3a） ． 15、 （2011?玉林）分解因式：αaa = a（3+a） 考点：提公因式法与公式法的综合运用。 分析：先提取公因式 a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 3 解答：解：αaa ， 2 ， =a （αa ） =a（3+a） （3a） ． 点评：本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于 要进行二次分解因式． 16、 （2011?玉林）如图，是某校三个年级学生人数分布扇形统计图，则九年级学生人数所占扇形的圆心角 的度数为 144° ．考点：扇形统计图。 专题：计算题。 分析： 先根据图求出九年级学生人数所占扇形统计图的百分比为 40%， 又知整个扇形统计图的圆心角为 360 度，再由 360 乘以 40%即可得到答案． 解答：解：由图可知九年级学生人数所占扇形统计图的百分比为：135%25%=40%， ∴九年级学生人数所占扇形的圆心角的度数为 360×40%=144°， 故答案为 144°． 点评：本题考查了扇形统计图的知识，从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系，读懂 图是解题的关键． 17、 （2011?玉林）如图，等边△ABC 绕点 B 逆时针旋转 30°时，点 C 转到 C′的位置，且 BC′与 AC 交于点 D，则 的值为 2 ．考点：旋转的性质；等边三角形的性质；解直角三角形。 分析：等边△ABC 绕点 B 逆时针旋转 30°时，则△BCD 是直角三角形，根据三角函数即可求解． 解答：解：设等边△ABC 的边长是 a， 图形旋转 30°，则△BCD 是直角三角形． BD=BC?cos30°= 则 C′D=1 = ，CD=∴==2故答案是：2．点评：本题主要考查了图形旋转的性质，以及直角三角形的性质，正确确定△BCD 是直角三角形是解题的 关键．618、 （2011?玉林）如图，AB 是半圆 O 的直径，以 0A 为直径的半圆 O′与弦 AC 交于点 D，O′E′AC，并 交 OC 于点 E．则下列四个结论： ①点 D 为 AC 的中点；②S△O′OE= S△AOC；③ 是 ①③④ ． （把所有正确的结论的序号都填上） ；④四边形 O′DEO 是菱形．其中正确的结论考点：圆周角定理；平行线的性质；菱形的判定；圆心角、弧、弦的关系。 分析：①根据等腰三角形的性质和角平分线的性质，利用等量代换求证∠CAD=∠ADO 即可； ②不能证明 CE=OE； ③两三角形中，只有一个公共角的度数相等，其它两角不相等，所以不能证明③△ODE△△ADO； ④根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出∠COD=45°，再利用等腰三角形的性质和三角 形内角和定理求出∠CDE=45°， 再求证△CED△△COD，利用其对应变成比例即可得出结论． 解答：证明：①∵AB 是半圆直径， ∴AO=OD， ∴∠OAD=∠ADO， ∵AD 平分∠CAB 交弧 BC 于点 D， ∴∠CAD=∠DAO= ∠CAB， ∴∠CAD=∠ADO， ∴AC′OD， ∴①正确． ②∵△CED 与△AED 不全等， ∴CE≠OE， ∴②错误． ③∵在△ODE 和△ADO 中，只有∠ADO=∠EDO，其它两角都不相等， ∴不能证明△ODE 和△ADO 全等， ∴③错误； ④∵AD 平分∠CAB 交弧 BC 于点 D， ∴∠CAD= ×45°=2225°， ∴∠COD=45°， ∵AB 是半圆直径， ∴OC=OD， ∴∠OCD=∠ODC=6725° ∵∠CAD=∠ADO=2225°（已证） ， ∴∠CDE=∠ODC∠ADO=6725°25°=45°， ∴△CED△△COD， ∴ =2，∴CD =OD?CE= AB?CE， ∴2CD =CE?AB． ∴④正确． 综上所述，只有①③④正确． 故答案为：①③④． 点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质，27三角形内角和定理等知识点的灵活运用，此题步骤繁琐，但相对而言，难易程度适中，很适合学生的训练 是一道典型的题目． 三、解答题（本大题共 8 小题，满分共 66 分，解答过程写在答题卡上，解答应写出文字说明，证明过程 或演算步骤）2 1α、 （2011?玉林）计算： ） （5π） |3|+ （10．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂。 专题：计算题。 分析：分别根据负整数指数幂、0 指数幂、绝对值的性质及二次根式的化简计算出各数，再根据实数混合 运算的法则进行计算即可． 解答：解：原式=213+2， =0． 故答案为：0． 点评：本题考查的是实数的运算，熟知负整数指数幂、0 指数幂、绝对值的性质及二次根式的化简是解答 此题的关键． 2 20、 （2011?玉林）已知：x1、x2 是一元二次方程 x 4x+1 的两个实数根． 求： 1+x2） ÷（ （x2）的值．考点：根与系数的关系。 专题：计算题。 分析：先根据一元二次方程根与系数的关系确定出 x1 与 x2 的两根之积与两根之和的值，再根据 = 即可解答．2解答：解：∵一元二次方程 x 4x+1=0 的两个实数根是 x1、x2， ∴x1+x2=4，x1?x2=1， ∴（x1+x2） ÷（ =4 ÷ =4 ÷4 =4． 点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，是一道基础题型． 21、 （2011?玉林）假日，小强在广场放风筝．如图，小强为了计算风筝离地面的高度，他测得风筝的仰角 为 60°，已知风筝线 BC 的长为 10 米，小强的身高 AB 为 1255 米，请你帮小强画出测量示意图，并计算出 风筝离地面的高度． （结果精确到 1 米，参考数据 ≈1241， ≈1273 ）2 2 2）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。 分析：根据题意画出图形，根据 sin60°= 可求出 CE 的长，再根据 CD=CE+ED 即可得出答案．8解答：解：在 Rt△CEB 中， sin60°= ， ≈8265m，∴CE=BC?sin60°=10×∴CD=CE+ED=22≈10m， 答：风筝离地面的高度为 10m．点评：本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解 答此题的关键． 22、 （2011?玉林）如图，△OAB 的底边经过⊙O 上的点 C，且 OA=OB，CA=CB，⊙O 与 OA、OB 分别交于 D、 E 两点． （1）求证：AB 是⊙O 的切线； （2）若 D 为 OA 的中点，阴影部分的面积为
，求⊙O 的半径 r．考点：切线的判定与性质；勾股定理；扇形面积的计算。 专题：计算题。 分析： （1）连 OC，由 OA=OB，CA=CB，根据等腰三角形的性质得到 OC⊥AB，再根据切线的判定定理得到 结论； （2）由 D 为 OA 的中点，OD=OC=r，根据含 30 度的直角三角形三边的关系得到∠A=30°，∠AOC=60°， ， AC= r，则∠AOB=120°，AB=2 r，利用 S 阴影部分=S△OABS 扇形 ODE，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式得到关于 r 的方程，解方程即可．解答： （1）证明：连 OC，如图， ∵OA=OB，CA=CB， ∴OC⊥AB， ∴AB 是⊙O 的切线；α（2）解：∵D 为 OA 的中点，OD=OC=r， ∴OA=2OC=2r， ∴∠A=30°，∠AOC=60°，AC= ∴∠AOB=120°，AB=2 r， =
， r，∴S 阴影部分=S△OABS 扇形 ODE= ?OC?AB ∴ ?r?2 r r =2 ，∴r=1， 即⊙O 的半径 r 为 1． 点评：本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了含 30 度的 直角三角形三边的关系以及扇形的面积公式． 23、 （2011?玉林）一个不透明的纸盒中装有大小相同的黑、白两种颜色的围棋，其中白色棋子 3 个（分别 用白 A、白 B、白 C 表示） ，若从中任意摸出一个棋子，是白色棋子的概率为 ． （1）求纸盒中黑色棋子的个数； （2）第一次任意摸出一个棋子（不放回） ，第二次再摸出一个棋子，请用树状图或列表的方法，求两次摸 到相同颜色棋子的概率． 考点：列表法与树状图法。 专题：数形结合。 分析： （1）白色棋子除以相应概率算出棋子的总数，减去白色棋子的个数即为黑色棋子的个数； （2）列举出所有情况，看两次摸到相同颜色棋子的情况数占总情况数的多少即可． 解答：解： （1）3÷ 3=1． 答：黑色棋子有 1 个； （2）共 12 种情况，有 6 种情况两次摸到相同颜色棋子， 所以概率为 ．点评：考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到两次摸到相同颜色棋 子数是解决本题的关键． 24、 （2011?玉林）上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了 2000 元，第二批用了 5500 元， 第二批购进水果的重量是第一批的 225 倍，且进价比第一批每千克多 1 元． （1）求两批水果共购进了多少千克？ （2）在这两批水果总重量正常损耗 10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利 润率不低于 26%，那么售价至少定为每千克多少元？ （利润率= ）考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用。 分析： （1）设第一批购进水果 x 千克，则第二批购进水果 225 千克，依据题意列式计算而得到结果，并检10验是原方程的解，而求得． （2）设售价为每千克 a 元，求得关系式，又由 630a≥，而解得． 解答：解： （1）设第一批购进水果 x 千克，则第二批购进水果 225 千克，依据题意得： ， 解得 x=200， 经检验 x=200 是原方程的解， ∴x+225x=700， 答：这两批水果功够进 700 千克；（2）设售价为每千克 a 元，则： 630a≥， ∴ ，，∴a≥15， 答：售价至少为每千克 15 元． 点评：本题考查了分式方程的应用，由已知条件列方程，并根据自变量的变化范围来求值． 25、 （2011?玉林）如图，点 G 是正方形 ABCD 对角线 CA 的延长线上任意一点，以线段 AG 为边作一个正方 形 AECG，线段 EB 和 GD 相交于点 H． （1）求证：EB=GD； （2）判断 EB 与 GD 的位置关系，并说明理由； （3）若 AB=2，AG= ，求 EB 的长．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理。 分析：1） △GAD 和△EAB 中， GAD=α0°+∠EAD， EAB=α0°+∠EAD， ∠GAD=∠EAB 从而 GAD≌△EAB， （ 在 ∠ ∠ 得到 即 EB=GD； （2）EB⊥GD，由（1）得∠ADG=∠ABE 则在△BDH 中，∠DHB=α0°所以 EB⊥GD； （3）设 BD 与 AC 交于点 O，由 AB=AD=2 在 Rt△ABD 中求得 DB，所以得到结果． 解答： （1）证明：在△GAD 和△EAB 中，∠GAD=α0°+∠EAD，∠EAB=α0°+∠EAD， ∴∠GAD=∠EAB， 又∵AG=AE，AB=AD， ∴△GAD≌△EAB， ∴EB=GD； （2）EB⊥GD，理由如下：连接 BD， 由（1）得：∠ADG=∠ABE，则在△BDH 中， ∠DHB=180°（∠HDB+∠HBD）=180°α0°=α0°， ∴EB⊥GD； （3）设 BD 与 AC 交于点 O，11∵AB=AD=2 在 Rt△ABD 中，DB= ∴EB=GD= ．，点评：本题考查了正方形的性质，考查了利用其性质证得三角形全等，并利用证得的条件求得边长． 2 ，与 y 26、 （2011?玉林）已知抛物线 y=ax 2ax3a（a＜0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） 轴交于点 C，点 D 为抛物线的顶点． （1）求 A、B 的坐标； （2）过点 D 作 DH A y 轴于点 H，若 DH=HC，求 a 的值和直线 CD 的解析式； （3）在第（2）小题的条件下，直线 CD 与 x 轴交于点 E，过线段 OB 的中点 N 作 NC A x 轴，并交直线 CD 于点 C，则直线 NC 上是否存在点 M，使得点 M 到直线 CD 的距离等于点 M 到原点 O 的距离？若存在，求 出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题。 分析： （1）令 y=0 求得 x 的值，从而得出点 A、B 的坐标； （2）令 x=0，则 y=3a，求得点 C、D 的坐标，设直线 CD 的解析式为 y=kx+b，把 C、D 两点的坐标代入， 求出直线 CD 的解析式； （3）设存在，作 MM⊥CD 于 M，由 Rt△CMM△Rt△CNE，得 求出方程的解，即可得出点 M 的坐标． 2 解答：解： （1）由 y=0 得，ax 2ax3a=0， ∵a≠0， 2 ∴x 2x3=0， 解得 x1=1，x2=3， ∴点 A 的坐标（1，0） ，点 B 的坐标（3，0） ； 2 （2）由 y=ax 2ax3a，令 x=0，得 y=3a， ∴C（0，3a） ， 2 2 又∵y=ax 2ax3a=a（x1） 4a， 得 D（1，4a） ， ∴DH=1，CH=4a（3a）=a， ∴a=1， ∴a=1， ∴C（0，3） ，D（1，4） ， 设直线 CD 的解析式为 y=kx+b，把 C、D 两点的坐标代入得， 解得 ， ， = ，及可得出关于 m 的一元二次方程，∴直线 CD 的解析式为 y=x+3； （3）存在．12由（2）得，E（3，0） ，N（ ，0） ，EN= ， ∴C（ ， ） 作 MM⊥CD 于 M， 设存在满足条件的点 M（ ，m） ，则 CM= m，EC==，MM=OM=由题意得：Rt△CMM△Rt△CNE， ∴ = ，2整理得 4m +36m63=0， ∴m +αm= m +αm+2 2 2， = +（m+ ） = m+ =± ∴m1= ，m2= ， ， ） ．∴点 M 的坐标为 M1（ ， ） 2（ ，M点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有一元二次方程的解法．在求有关存在不存在问题 时要注意先假设存在，再讨论结果．13
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