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二重积分换元法的教学研究1
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专转本模拟试题和解析(五).doc17页
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江苏省2013年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷（五）解析
注意事项：
1.考生务必将密封线内的各项填写清楚。
2.考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上，写在草稿纸上无效。
3.本试卷五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟。
选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。
1、已知则常数（
A 、 B、 C、 D、
2、函数的导数为（
A 、 B、 C、 D、
3、是的图形在处有拐点的（
A 、充分条件 B、必要条件 C、充分必要条件 D、以上说法都不对
4、若，则（
A 、 B、 C、 D、
5、广义积分 （
A 、不收敛 B、 C、 D、
6、设，则（
A 、 B、 C、 D、
二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共24分，请把正确答案的结果添在划线上）。
7、设为连续函数，则 8、________________________ 其中为变量，为常量 。
9、设，则定积分___________________________________
10、设，，则___________，__________________
11、设的收敛半径为，则的收敛半径为________________________
12、交换二次积分次序_______________________________
三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）。
13、讨论函数的连续性，若有间断点，判断其类型。
14、设，求。
15、求不定积分。
16、计算。
17、求的通解。
18、计算，其中由直线和曲线所围成。
19、设其中具有二阶连续偏导数，求。
20、求过点且垂直于直线的平面方程。
四、证明题（每小题9分，共18分）
21、设函数在闭区间上可微，对闭区间上的每一点，函数的值都在开区间内，且。证明：在开区间内仅有唯一的一点，使得。
22、设，且可微，证
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第二十一章 二重积分
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清华大学工程热力学思考题答案
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内容提示：第一章 思考题参考答案
1．进行任何热力分析是否都要选取热力系统？
答：是。热力分析首先应明确研究对象，根据所研究的问题人为地划定一个或多个任意几何面所围成的空间，目的是确定空间内物质的总和。
2．引入热力平衡态解决了热力分析中的什么问题？
答：若系统处于热力平衡状态，对于整个系统就可以用一组统一的并具有确定数值的状态参数来描述其状态，使得热力分析大为简化。
3．平衡态与稳定态的联系与差别。不受外界影响的系统稳定态是否是平衡态？ 答：平衡态和稳定态具有相同的外在表现，即系统状态参数不随时间变化；两者的差别在于平衡态的本质是不平衡势差为零，而稳定态允许不平衡势差的存在，如稳定导热。可见，平衡必稳定；反之，稳定未必平衡。
根据平衡态的定义，不受外界影响的系统，其稳定态就是平衡态。
在不受外界影响（重力场除外）的条件下，如果系统的状态参数不随时间变化，则该系统所处的状态称为平衡状态。
4．表压力或真空度为什么不能当作工质的压力？工质的压力不变化，测量它的压力表或真空表的读数是否会变化？
答：由于表压力和真空度都是相对压力，而只有绝对压力才是工质的压力。表压力pg与真空度pv与绝对压力的关系为：
其中pb为测量当地的大气压力。
工质的压力不变化，相当于绝对压力不变化，但
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清华大学工程热力学思考题答案
官方公共微信[积分]高等数学论文：高等数学论文
[积分]高等数学论文：高等数学论文
《高等数学》 期末课程总结学号：班级： 12级采矿01班系别：环境与城市建设学院高等数学论文摘要：经过一个学期的学习，对于高数我又有了一个更深的了解，大一上学期主要是了解高数一些最基本的东西，等到了下学期，主要是对上学期所学知识进行一定的延伸和拓展，在原有学习的基础上更深入的了解其精髓，对于我们更深刻的掌握高数这门学科有很大的好处。这一学期里我们重点学习了高数中的导数、微分和积分的扩充，即从对一元函数的求导到对多元函数的求导，求偏导和求全微分，从一重积分扩充到二重积分和三重积分，但是之前的一重积分主要是运算，但是重积分则更加注重在其运用上，积分也从之前的对某一个区域积分延伸到对曲线积分和曲面积分上。另外，这学期也新引入了无穷级数和微分方程。经过一学期的学习，我认识到了数学里一些更加新奇的东西，以前我们都很难计算的无穷数列在无穷级数的学习后得以解决了，而且还可以将一些难以求解的级数通过转化和变形成为我们熟悉的级数形式然后进行求解，这让我想到了我们生活中的很多东西都是这样的，当我们遇到困难不能解决的时候，我们就要习惯产生联想，将这种问题想方法转化为我们熟悉的能解决的东西在进行处理，这些都是我们的高数在不知不觉中一直告诉我们的真谛。数学也训练我们的逻辑思维能力，它在一方面让我们大胆的去假设，另一方面又需要我们去小心的求证，只有我们证明确实成立的东西我们才能进一步的运用，但是不得不让人佩服的就是数学的逻辑性，同时它也在训练者我们，只有我们在每一个数学环节都严谨的去学习去证明去求解，我们的结果才会正确。关键词：导数，微分，重积分，级数。正文：高等数学下册主要是围绕导数、微分、积分、无穷级数展开的。首先，第七章主要是函数的微分，上学期我们学习的是一元函数积分，但是实际问题中，往往涉及多个因素之间的关系，反映到数学上就是表现为一个变量依赖于多个变量的情形，从而产生了多元函数的概念，这在高等数学里占据了主要的位置，这一章主要介绍了多元函数的求导、求极值。隐函数的微分方法，还介绍了方向导数、梯度等新概念，还将多元函数的微分应用在几何上，和以前所学的内容很好的结合起来了，为我们提供了更多的解题方法和更灵活的解题思路，对于我们整体的掌握好高数的精华很重要。在这一章节中我们需要重点掌握的有以下几点：1、二重极限的概念，2、可导（导数的定义），3、可微的定义。首先我们要清楚二重极限的概念，需要注意的就是定义里的定点如p0(x0,y0),这里的点p(x,y)是按照任意方式趋近于p0的。还要注意它和二次极限的区别，二次极限是对一个函数f(x,y)先后分别对x→x0,y→y0求极限(x,y)?(x0,y0)x?x0y?y0limf(x,y)?A而二重极限则是对函数f(x,y)当x→x0且y→y0时求极限limlimf(x,y)?A。求是否存在二重极限时可以用取线路的方法，若取不同的线路求得的二重极限的结果一致则存在，否则就不存在。对于可微，我们要掌握多元函数的全微分的求导，重点注意可微，可导，连续之间的关系。还有就是要知复合函数的微分法，隐函数的微分的求导，一元隐函数可以分布分级求导，多元的可以转化为令F=f(x,y,u),u=v(x,y)的形式在分布分级求导。前面讲的都是一个方程的情形，隐函数的求导还有对方程组的情形，这时的求导公式就需要用到二阶行列式了。本章内容的几何上的运用主要是求空间曲线的切线和法平面方程，主要就是找切向量。还有就是求空间曲面的．．．切平面和法线的方程，主要是找到法向量。 最后本章还介绍了无条件极值，最值和条件极．．．值。这三者都要先找到驻点和导数不存在的点，条件极值就是运用拉格朗日数乘法。第八章引入了重积分这一新的概念，在这章中讲到二重积分，三重积分。而二重积分的求解有两种方法，1、二重积分图形有两种形式，即X-型和Y-型，即先对x再对y积分和先对y再对x积分，这种计算要注意的交换积分的次序，这个可以简便计算过程2、当然还．．．．．．．有另一种形式下的二重积分计算，那就是极．坐．标．下的二重积分的计算（??f（x，y）d?D???D f(rcos?,rsin?)rdrd?）。对三重积分，在三种形式下的积分方法不一样，在直角坐标下三重积分的计算有两种方法，投影法（先单后重即穿针法）和截面．．．．法（先重后单即切片法），切片法常用于单变量且切片面积易，直角坐标下的情形要注意变．量．的．轮．换．对．称．性．，以简便运算量，而在柱．面．坐．标．下三重积分下????f(x,y,z)dV?????f(rcos?,rsin?,z)rdrd?dz，??(?,?)在球．面．坐．标．下，???f(x?,y,z)dV??02?d??0d??0f(?s?icno?,?ss222?isn?i,?nco?)s，球面坐标常用于（1）Ω为球形区域或圆锥（2）f(x,y,z)含x+y+z情形。而本章的重点就是在于重积分的计算上，重积分的运用：1、求曲面的面积2、物体的质心（重心）3、转动惯量的求解包括平面和空间上的。以上讲的积分范围都是在平面或空间的有界闭区域，接下来将讲积分范围为一段曲线弧或一张曲面的情形。第九章中介绍了曲线积分和曲面积分，在这章中介绍了1、对弧长的曲线积分（第一类线积分）的概念和性质，以及其计算方法。2、对坐标的曲面积分（第二类线积分）的概念，性质及计算方法。3、格林公式及其运用，4、对面积达到曲面积分（第一类面积分）5、对坐标的曲面积分（第二类面积分）6、高斯公式，斯托克斯公式。对弧长的曲线积分是针对含参数的形式，但是特殊地可以视x或y为参数进行计算但都是将弧长元素ds，而对第二类线积分就是将积分元素dx,dy表示。注意第一类积分和第二类积分的区别前者有不等性没有符号相反性，而后者有符号相反性而没有不等性，因为第二类积分有方向。但还要注意这两类积分的关系，它们之间可以互相转化的，主要就是方向性的处理。而格林公式就是用在积分区域D为有界连通区域且被积函数在D上有一阶连续的偏导数，且L为D边界的正向。还需要注意的线积分?LPdx?Qdy与路径无关的条件??P?y??Q?x。而本章中的第一类面积分，第二类面积分和第一类线积分，第二类线积分类似，不同就是积分元素不同了，从线元变为了面，性质方面也对应相同的。此章节里的积分注重了轮换对称性可以简便计算的，但是轮换对称性的前提就是变量在积分区域里的地位相同的。高斯公式：?Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?????P(???x?Q?y??R?z)dv但是高斯公式都是反过来运用的的比较多，它就是二重积分和三重积分之间的关系，斯托克斯公式：T?Pdx?Qdy?Rdz?(???R?y??Q?z)dydz?(?P?z??R?x)dzdxz?(?Q?x??P?y)dxdy它也是反过来运用的比较多，它就是二重积分和一重积分之间的转化。1、对弧长的曲面积分的计算：?Lf(x,y)ds????f[?(t),?(t)]([?(t)]^2?[?(t)]^2dt(???)''；2、对坐标的曲线积分的计算：?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy????{P[?(t),?(t)]?(t)?Q[?(t),?(t)]?(t)}dt''，3、对面积的曲面积分：???f(x,y,z)ds???Dxyf[x,y,z(x,y)]?Zx(x,y)^2?Zy(x,y)^2dxdy，4对坐标的曲面积分：???F（x,y,z）?dS????P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy。当然是在原有的积分基础上进行了一个延伸，主要是让我们了解其性质以及和以前所学积分的不同，再者就是让我们学会简单的二重积分计算。第九章也是积分，主要和几何知识结合起来，为我们介绍了求弧长、面积、坐标的曲线和曲面积分的方法。对于这些内容，还给到了格林公式、高斯公式和斯托克斯公式，作为计算这些积分的工具，学会这些公式的使用无疑对于计算起了很大的帮助，同时也应该了解这些公式的推导过程，有利于对公式的记忆以及掌握它的内涵。第十章学习了无穷级数这一新概念，引入了常数项级数、正向级数、交错级数、幂级数、傅里叶级数等级数。在正项级数中讲了几种敛散性的判断，有比较判别法、比较判别法的极限形式、比较判别法、根值判别法，而在交错级数中有莱布尼茨判别法来判断敛散性，在幂?级数中有n?0?an(x?x0)^n?a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)^2????an(x?x0)^n，在求收敛域时讲到了收敛半径的求解，主要有比值法、根值法。而在第五节中介绍了函数展开成幂级数，泰勒公式，直接和间接展开法。第七节中讲了三角级数、正弦级数、余弦级数、周期函数的傅里叶展开式。对于这些级数，都有自己的一些特点，掌握了其概念与性质对于学好这一章非常重要。最后，说说自己的一些想法：感觉自己刚进大学时，大一上学期学习高数的热情比现在要高，这主要还是自己的原因，我觉得随着学习的深入，产生畏难情绪是免不了的，但我却并没有去克服，让自己的知识有了好多的漏洞。还有就是对着门学科没有足够的重视起来，才让自己在学习中很随便。所以我觉得要想学好这门学科，最重要的还是自己的态度，只有认识上来了，才能够去学好这门学科。还有一个就是在态度严谨的同时我们还要有持之以恒的毅力，我发现要学好高数就要对自己的兴趣上有很大的培养才行，在浓浓的兴趣下我们要多加练习才行，对一些重要的知识点我们要按老师的要求多练习，还要有自己的每章小结，对每一节的知识点都要在自己的大脑里有一个总体的轮廓，这样我们学习起来才会事半功倍，因为从所周知的数学是一门逻辑科学，它有很强的逻辑性，多学习数学也能锻炼我们的逻辑思维，我很喜欢数学，只是自己在数学上的用心不够，但是我觉得学习数学可以让一个人心静，每当我很烦躁的时候，总喜欢那本数学书来看，这样我可快就能静下心来，因为学习数学需要很清晰的思维。其实数学给我的远不止知识，它还教会了我很多东西，我很享受数学而且会一直享受下去。
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