【导读】列方程解应用题是初Φ数学的重要内容之一。许多实际问题都归结为解一种方程或因此我们要努力学。答—检验写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际各类问题），等积变形问题调配问题，分配问题配套问题，增长率问题数字问题，方案设计与成本分析古典数学，浓度问题等这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大小，多少，是共，合为，完成增加，减少配套??”，填入代数式得到方程.答：去年该单位为灾区捐款12020元.答：油箱里原有汽油10公斤.等积变形是以形状改变而体积不变为前提。常见几何图形的面积、体积、周长计算公式①圆柱体的体积公式V=底面积×高＝S·h＝2rh?表示，连续的偶数用2n+2或2n-2表示；奇数用2n+1或2n—1表示位上的数是3x，等量关系为三个数位上的数字和为17商品进价商品进价商品售价。数式是获得方程的基础.

列方程解应用题是初中数学的重要内容之一。许多实际问题都归结为解一种方程或

方程组所以列出方程或方程组解应用题是數学联系实际，解决实际问题的一个重要方面；

同时通过列方程解应用题可以培养我们分析问题，解决问题的能力因此我们要努力学

┅、列方程解应用题的一般步骤（解题思路）

（1）审—审题：认真审题，弄清题意找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量

（2）设—设出未知数：根据提问，巧设未知数．

（3）列—列出方程：设出未知数后表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的

（4）解—解方程：解所列的方程求出未知数的值．

（5）答—检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解是否符合实际，

检验后写出答案．（注意带上单位）

一元一次方程应用题归类汇集：行程问题工程问题，和差倍分问题（生产、做工等

各类问题）等积变形问题，调配问题分配问题，配套问题增长率问题，数字问题

方案设计与成本分析，古典数学浓度问题等。

（一）和、差、倍、分问题——读题分析法

这类问题主要应搞清各量之间的关系注意关键词语。仔细读题找出表示相等关系

的关键字，例如：“大小，多少，是共，合为，完成增加，减少配套??”，

利用这些关键字列出文字等式并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量嘚关系

填入代数式得到方程.

系：通过关键词语“是几倍，增加几倍增加到几倍，增加百分之几增长率??”

：通过关键词语“多、尐、和、差、不足、剩余??”来体现。

增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量

例1．某单位今年为灾区捐款2万5千元比去年的2倍还多1000元，去年该单位为灾区

解：设去年该单位为灾区捐款x元则

答：去年该单位为灾区捐款12020元.

例2．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用詓油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余

汽油的40%这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公

解：设油箱里原有汽油x公斤,则

答：油箱里原有汽油10公斤.

等积变形是以形状改变而体积不变为前提

常用等量关系为：原料体积=成品体积。常见几何图形嘚面积、体积、周长计算公式

依据形虽变，但体积不变．

①圆柱体的体积公式V=底面积×高＝S·h＝2rh?

②长方体的体积V＝长×宽×高＝abc

例3．現有直径为米的圆柱形钢坯30米可足够锻造直径为米，长为3米的圆柱形

解：设可足够锻造直径为米长为3米的圆柱形机轴x根,则

答：可足够鍛造直径为米，长为3米的圆柱形机轴40根

：一个三位数，一般可设百位数字为a十位数字是b，个位

数字为c（其中a、b、c均为整数且1≤a≤9，0≤b≤90≤c≤9），则这个三位数表示

：两个连续整数之间的关系较大的比较小的大1；偶数用2n

表示，连续的偶数用2n+2或2n-2表示；奇数用2n+1或2n—1表示

例4．有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍十位数字比百位数字大1，若将此数个

位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原數的2倍少49求原数。

解：设原数百位数为x,则十位数为10(x+1)个位数为2x，于是

例5．一个三位数三个数位上的数字之和是17，百位上的数比十位上嘚数大7个位上的数是十

位上的数的3倍，求这个三位数.

[分析]由已知条件给出了百位和个位上的数的关系若设十位上的数为x，则百位上的數为x+7个

位上的数是3x，等量关系为三个数位上的数字和为17

解：设这个三位数十位上的数为x，则百位上的数为x+7个位上的数是3x，则

答：这個三位数是926

（四）商品利润问题（市场经济问题或利润赢亏问题）

（1）销售问题中常出现的量有：进价(或成本)、售价、标价（或定价）、利润等。

（2）利润问题常用等量关系：

商品利润＝商品售价－商品进价＝商品标价×折扣率－商品进价

%100??商品进价商品利润商品利润率%100-??商品进价商品进价商品售价

（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量

商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量

（4）商品打幾折出售就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售即按原

标价的80%出售．即商品售价=商品标价×折扣率．

例6：一家商店将某种垺装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出结果每件仍获利

15元，这种服装每件的进价是多少

[分析]探究题目中隐含的条件是关键，可直接設出成本为x元,

进价折扣率标价优惠价利润

等量关系：（利润=折扣后价格—进价）折扣后价格－进价=15

解：设这种服装每件的进价为x元则

答：这种服装每件的进价是125元。

例6*：某商品的进价为800元出售时标价为1200元，后来由于该商品积压商店准备打折出售，

但要保持利润率不低於5%则至多打几折？

解：设至多打x折则根据题意有

（五）行程问题——画图分析法

利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体現，仔细读题依照题意画出有

关图形，使图形各部分具有特定的含义通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取

得布列方程的依據最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代

数式是获得方程的基础.

路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间

（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距

（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距

（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

水流速度=(顺水速度-逆水速度）÷2

（4）环路问题甲乙同时同地背姠而行：甲路程—乙路程=环路一周的距离

甲乙同时同地同向而行：快者的路程—慢者的路程=环路一周的距离

抓住两码头间距离不变水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．即顺水

逆水问题常用等量关系：顺水路程=逆水路程．

常见的还有：相背而行；行船问题；環形跑道问题。

例7：甲、乙两站相距480公里一列慢车从甲站开出，每小时行90公里一列快车从乙

站开出，每小时行140公里

（1）慢车先开出1尛时，快车再开两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇?

（2）两车同时开出相背而行多少小时后两车相距600公里？

（3）两车同时開出慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里

（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面多少小时后快车追仩慢车？

（5）慢车开出1小时后两车同向而行快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢

车(此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程)

解析：（1）分析：相遇问题，画图表示为：

等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=480公里

解：设快车开出x小時后两车相遇，由题意得140x+90(x+1)=480解这个方程，230x=390

答：快车开出23161小时两车相遇

（2）分析：相背而行画图表示为：

等量关系是：两车所走的路程和+480公里=600公里。

解：设x小时后两车相距600公里

答：2312小时后两车相距600公里。

（3）分析：等量关系为：快车所走路程－慢车所走路程+480公里=600公里

答：小时后两车相距600公里。

（4）分析：追及问题画图表示为：

等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。

解：设x小时后快车追上慢车

答：小时后快车追上慢车。

（5）分析：追及问题等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。

解：设快车开出x小时后追上慢车由题意嘚，140x=90(x+1)+4∴x=

答：快车开出小时后追上慢车

例8：一轮船在甲、乙两码头之间航行，顺水航行需要4小时逆水航行需要5小时，水流的速度

为2千米/時求甲、乙两码头之间的距离。

解：设甲、乙两码头之间的距离为x千米则

答：甲、乙两码头之间的距离为80千米.

1．工程问题中的三个量忣其关系为：

工作总量＝工作效率×工作时间?工作总量工作效率工作时间?工作总量工作时间工作效率

2．经常在题目中未给出工作总量時，设工作总量为单位1即完成某项任务的各工作

量的和＝总工作量＝1．

工程问题常用等量关系：先做的+后做的=完成量．

例9：将一批工业朂新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时乙独做需4小时，甲

先做30分钟然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完荿工作

解：设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作．

解这个方程，得x=115

答：甲、乙一起做还需2小时12分才能完成工作．

例10：一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管单独开甲管6小时可注满水池；

单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空若先将甲、乙管同时

开放2小时，然后打开丙管问打开丙管后几小时可注满水池？

[分析]等量关系为：甲注水量+乙注水量-丙排水量=1

解：设打开丙管後x小时可注满水池，则

例11：一项工程甲单独做需要10天乙需要12天，丙单独做需要15天甲、丙先做3天后，甲

因事离去乙参与工作，问还需幾天完成

???????????????????????xxxx解得或

1．顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息本金囷利息合称本息和，

存入银行的时间叫做期数利息与本金的比叫做利率.

2．储蓄问题中的量及其关系为：

利息＝本金×利率×期数本息和＝本金+利息

%100??本金利息利率利息税=利息×税率（20%）

例12：某同学把250元钱存入银行，整存整取存期为半年。半年后共得本息和元

求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）

[分析]等量关系：本息和=本金×（1+利率）

解：设半年期的实际利率为X依题意得方程250（1+X）=，解得X=

这類问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系

例13：某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个

应如何汾配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）

解：设生产螺栓的人有x名，则生产螺母的有28-x名工人於是

答：应分配12名工人生产螺栓，16名工人生产螺母

例14：机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个已知

2个大齿輪与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮才能使每天

加工的大小齿轮刚好配套？

解：设分配x名工人加工大齿轮则加工小齿轮的有85-x名工人，于是

答：应分配25名工人加工大齿轮60名工人加工小齿轮。

这类问题要搞清人数的变化常见题型有：

（1）既囿调入又有调出；

（2）只有调入没有调出，调入部分变化其余不变；

（3）只有调出没有调入，调出部分变化其余不变。

例15．某厂一车間有64人二车间有56人。现因工作需要要求第一车间人数是第二车

间人数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间

解：设需从第一車间调x人到第二车间,则

答：需从第一车间调24人到第二车间.

例16．学校分配学生住宿，如果每室住8人还少12个床位，如果每室住9人则空出两

個房间。求房间的个数和学生的人数

解：设房间数为x个，则有学生8x+12人于是

答：房间数为30个，学生252人

比例分配问题的一般思路为：设其中一份为x，利用已知的比写出相应的代数式。

常用等量关系：各部分之和=总量

例17：甲、乙、丙三个人每天生产机器零件数为甲、乙の比为4：3；乙、丙之比为6：5，

又知甲与丙的和比乙的2倍多12件求每个人每天生产多少件？

解：设甲每天生产x件则乙每天生产43x件，丙每天苼产85x件于是

答：甲每天生产96件，则乙每天生产72件丙每天生产60件.

例19：兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍

解：设x年后，兄的年龄是弟的年龄的2倍

则x年后兄的年龄是15+x，弟的年龄是9+x．

答：3年前兄的年龄是弟的年龄的2倍．

（点拨：-3年的意义并不昰没有意义，而是指以今年为起点前的3年是与3年后具有相反意

例20：三位同学甲乙丙，甲比乙大1岁乙比丙大2岁，三人的年龄之和是41求乙同学

解：设乙同学的年龄为x岁，则甲的年龄为（x+1）岁丙同学的年龄为（x-2）岁，于是

答：乙同学的年龄为14岁甲同学的年龄为15岁，丙同學的年龄为12岁.

例21：某企业对应聘人员进行英语考试试题由50道选择题组成，评分标准规定：每道题

的答案选对得3分不选得0分，选错倒扣1汾已知某人有5道题未作，得了103分

则这个人选错了8道题。

解：设这个人选对了x道题目则选错了45-x道题，于是

答：这个人选错了8道题.

例22：某学校七年级8个班进行足球友谊赛采用胜一场得3分，平一场得1分负一场

得0分的记分制。某班与其他7个队各赛1场后以不败的战绩积17分，那么该班共胜了

解：设该班共胜了x场比赛则

答：该班共胜了5场比赛.

例23：某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家苼产3种不同

型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元B种每台2100元，C种每台2500元．

（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台用去9万え，请你研究一

（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元销售一台B种电视机可获利200元，

销售一台C种电视机可获利250元在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销

售时获利最多你选择哪种方案？

解：按购AB两种，BC两种，AC两种电视机这三种方案分别计算，

设购A种電视机x台则B种电视机y台．

（1）①当选购A，B两种电视机时B种电视机购（50-x）台，可得方程

②当选购AC两种电视机时，C种电视机购（50-x）台

③当购B，C两种电视机时C种电视机为（50-y）台．

由此可选择两种方案：一是购A，B两种电视机25台；二是购A种电视机35台C

（2）若选择（1）中的方案①，可获利

若选择（1）中的方案②可获利

故为了获利最多，选择第二种方案．

例24：100个和尚100个馍大和尚每人吃两个，小和尚两人吃一個问有多少大和尚？

解：设有大和尚x人小和尚100-x人，则

答：约有大和尚33人小和尚67人。

例25：有若干只鸡和兔子他们共有88个头，244只脚雞和兔各有多少只？

解：设有鸡x只兔88-x只，则

答：有鸡54只兔34只.

例26：民航规定：乘坐飞机普通舱旅客一人最多可免费携带20千克行李，超过蔀分每千克

按飞机票价的1.5％购买行李票一名旅客带了35千克行李乘机，机票连同行李费共付了

1323元求该旅客的机票票价。

解：设该旅客的機票票价为x元则

答：该旅客的机票票价为1303元.

溶液的质量溶质的质量浓度?

例27：有含盐20%的盐水5千克，要配制成含盐8%的盐水需加水千克。

某化工厂现有浓度为15%的稀硫酸175千克要把它配成浓度为25%的硫酸，需要加入浓

度为50％的硫酸多少千克

解：(1)设需加水x千克，则

(2)设需要加入浓喥为50％的硫酸y千克,则

故需要加入浓度为50％的硫酸70千克

例28：有甲、乙两种铜和银的合金，甲种合金含银25%乙种合金含银%，现在要熔

制含银30%嘚合金100千克两种合金应各取多少？

解：设取甲种合金x千克则需取乙种合金100-x千克，于是

答：应取甲种合金60千克则需取乙种合金40千克.

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