4.3.2　空间两点间的距离公式学习目標　1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程.2.会应用空间两点的距离公式求空间中两点间的距离．知识点　空间两点间的距离公式思考　如图在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若长方体的长、宽、高分别为ab，c则其对角线AC1的长等于多少？答案　.梳理　(1)在空间直角已知两点坐标求中点坐标系Oxyz中任意一点P(x，yz)与原点间的距离|OP|＝.(2)空间中P1(x1，y1z1)，P2(x2y2，z2)之间的距离|P1P2|＝.类型一　求空间两点间的距离例1　如图正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，|AN|＝2|CN||BM|＝2|MC′|，求|MN|的长．解　建立如图所示空间直角已知两点坐标求中点坐标系过M作MF垂直BC于F，连接NF显然MF垂直于平面ABCD，所以MF⊥NF因为|BM|＝2|MC′|，所以|BF|＝2|FC|.又|AN|＝2|CN|所以NF∥AB，所以|NF|＝|FC|＝|AB|＝同理|MF|＝|CC′|＝，因此点N的已知两点坐标求中点坐标为，点M的已知两点坐标求中点坐标為所以|MN|＝＝a.反思与感悟　在平面直角已知两点坐标求中点坐标系中，我们学习了很多性质但这些性质在空间直角已知两点坐标求中点唑标系中并不能全部都适用．如平面直角已知两点坐标求中点坐标系中的中点已知两点坐标求中点坐标公式，两点间距离公式可类比到三維空间中而对直线方程及一些判定定理、性质则在三维空间中不适用．跟踪训练1　如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CBD，E分别是棱ABB1C1的中点，F是AC的中点求DE，EF的长度．解　以点C为已知两点坐标求中点坐标原点CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角巳知两点坐标求中点坐标系．∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2∴C(0,0,0)，A(2,0,0)B(0,2,0)，C1(0,0,2)B1(0,2,2)，由中点已知两点坐标求中点坐标公式可得D(1,1,0)，E(0,1,2)F(1,0,0)，∴|DE|＝＝|EF|＝＝.类型二　求空间点嘚已知两点坐标求中点坐标例2　已知点A(4,5,6)，B(－5,0,10)在z轴上有一点P，使|PA|＝|PB|则点P的已知两点坐标求中点坐标为_____．答案　(0,0,6)解析　设P(0,0，z)由|PA|＝|PB|，得＝解得z＝6.∴点P的已知两点坐标求中点坐标为(0,0,6)．引申探究　1．若本例中已知条件不变，问能否在z轴上找一点P使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？解　与例2的结论一样P(0,0,6)．2．若本例中“在z轴上”改为“在y轴上”，其他条件不变结论又如何？解　设P(0y,0)，由|PA|＝|PB|得＝，解得y＝－.∴點P的已知两点坐标求中点坐标为(0－，0)．反思与感悟　(1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置则可直接设出该点已知两点坐标求中点唑标，利用待定系数法求解点的已知两点坐标求中点坐标．(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系以及其他的一些条件，则可以列出關于点的已知两点坐标求中点坐标的方程进行求解．跟踪训练2　设点P在x轴上使它到点P1(0，3)的距离是到点P2(0,1，－1)的距离的2倍求点P的已知两點坐标求中点坐标．解　因为P在x轴上，所以设P点已知两点坐标求中点坐标为(x,0,0)．因为|PP1|＝2|PP2|所以＝2，所以x＝±1所以点P的已知两点坐标求中点唑标为(1,0,0)或(－1,0,0)．类型三　空间两点间距离公式的应用例3　已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF点M在AC上移动，点N在BF上移动若|CM|＝|BN|＝a(0＜a＜)．(1)求|MN|的长；(2)当a为何值时，|MN|的长最小．解　∵平面ABCD⊥平面ABEF平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE∴BE⊥平面ABCD，∴AB、BC、BE两两垂直．过点M作MG⊥ABMH⊥BC，垂足分别为G、H连接NG，易证NG⊥AB.∵|CM|＝|BN|＝a∴|CH|＝|MH|＝|BG|＝|GN|＝a，∴以B为原点以BA、BE、BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角已知两点坐标求中点坐标系Bxyz则M，N.(1)|MN|＝＝＝.(2)由(1)得当a＝时|MN|最短，最短为这时M、N恰好为AC、BF的中点．反思与感悟　距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中还是在实际问题中，都会涉及距离的问题它的命题方向往往有三个：(1)求空间任意两点间的距离；(2)判断几何图形的形状；(3)利用距离公式求最值．跟踪训练3　如图所示，正方体棱长为1以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为已知两点坐标求中点坐标轴，建立空间直角巳知两点坐标求中点坐标系Oxyz点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．当点P为体对角线AB的中点点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值．解　建立如图所示的空间直角已知两点坐标求中点坐标系则P(，)．∵Q点在CD上，∴设Q(0,1z)，z∈[0,1]∴|PQ|＝