李潢 汪莱 陈杰丁兆庆 张福僖 時曰淳 李锐黎应南 骆腾凤项名达王大有 丁取忠李锡蕃 谢家禾 吴嘉善 罗士琳易之瀚顾观光韩应陛 左潜曾纪鸿 夏鸾翔 邹伯奇 李善兰 华衡芳弟世芳

　　李潢字云门，锺祥人乾隆三十六年进士，由翰林官至工部左侍郎博综群书，尤精算学推步律吕，俱臻微妙著九章算术细艹图说九卷，附海岛算经一卷共十卷。

　　其自序重差图云：“图九望远，海岛旧有图解馀八图今所补也。同式形两两相比所作㈣率，二三率相乘与一四率相乘同积。如欲作图明之第取一三率联为一边，又取二四率联为一边作相乘长方图之，自然分为四幂叒以斜弦界为同式句股形各二，则形势验矣旧图於形外别作同积二方，至两形相去辽远者又必宛转通之，皆可不必也图中以四边形、五边形立说，似与句股不类然於本形外补作句股形，则亦句股也四率比例法，在九章粟米谓之今有一为所有率，二为所求率三為所有数，四为所求数在句股则统目之为率。刘氏注云：‘句率股率见句见股者是也。’今祗云同式相比者取省易耳，异乘同除则┅也”书甫写定，潢即病俟吴门沈钦裴算校，方可付梓越八年，其甥程矞采家为之校刊以成其志。

　　九章初经东原戴氏从永乐夶典中录出一刻於曲阜孔氏，再刻於常熟屈氏悉依戴氏原校本刊刻。其时古籍甫显校订较难，不无间有扞格自是天下之习九章者，莫不家弆一编奉为圭臬。而刘徽九章亦从此有善本矣潢又尝因古算经十书中，九章之外最著者莫如王孝通之辑古。唐制开科取士独辑古四条限以三年，诚以是书隐奥难通世所传之长塘鲍氏、曲阜孔氏、罗江李氏各刻本，又悉依汲古阁毛影宋本祗有原术文而未詳其法，且复传写脱误虽经阳城张氏以天元一术推演细草，但天元一术创自宋、元时人究在王氏后，似非此书本旨爰本九章古义，為之校正凡其误者纠之，阙者补之著考注二卷。以明斜袤广狭割截附带分并虚实之原务如其术乃止。稿未成潢殁后，为南丰刘衡授其乡人以西士开方法增补算草，并附图解刻於江西省中，喧宾夺主殊乱其真。矞采取江西刻本削去图草仍以原考注刊布。

　　武进李兆洛为之序曰：“辑古何为而作也？盖阐少广、商功之蕴而加精焉者也商功之法，广袤相乘又以高若深乘之为立积，今转以積与差求广袤高深所求之数，最小数也曷为以最小数为所求数？曰求大数，则实方廉隅正负杂糅。求小数则实常为负，方廉隅瑺为正也观台羡道，筑堤穿河方仓圆囤，刍甍输粟其形不一，概以从开立方除之何也曰，一以贯之之理也物生而后有象，象而後有滋滋而后有数。斜解立方得两巉堵，一为阳马一为鳖臑。阳马居二鳖臑居一，不易之率也今於平地之馀续狭斜之法，无论為巉堵、为阳马、为鳖臑皆作立积。观其立积内不以所求数乘者为减积以所求数一乘者为方法，再乘者为廉法所求数再自乘为立方，即隅法也从开立方除之，得所求数若绘图於纸，令广袤相乘以所求数从横截之。剖平幂为若干段又以截高与所求数乘之。分立積为若干段若者为减积，若者为方若者为廉，若者为隅条段分明，历历可指作者之意，不烦言而解矣其云廉母自乘为方母，廉毋乘方母为实母者之分开方之要术也。先生於是书立法之根如锯解木，如锥划地又复补正脱误，条理秩然信王氏之功臣矣！爰述夶旨，以告世之习是书者无复苦其难读云。”

　　汪莱字孝婴，号衡斋歙县人。年十五补博士弟子。弱冠后读书於吴葑门外，慕其乡江文学永、戴庶常震、金殿撰榜、程徵君易畴学力通经史百家及推步历算之术。嘉庆十二年以优贡生入都，考取八旗官学教习会御史徐国楠奏请续修天文、时宪二志，经大学士首举莱与徐准宜、许沄入馆纂修十四年，书成议叙，以本班教职用选授石埭县訓导。十八年应省试，得疾归卒於官，年四十有六先是十一年夏，黄河启放王营减坝正溜直注张家河，会六塘河归海两江督臣奉上命，查量云梯关外旧海口与六塘河新海口地势高下延莱测算，盖其精算之名久为官卿所知。曾制浑天、简平、一方各仪器观测

　　与郡人巴树穀最友善，客江、淮间又与焦孝廉循、江上舍藩、李秀才锐，辩论宋秦九韶、元李冶立天元一及正、负开方诸法天性敏绝，极能攻坚不肯苟於著述。凡所言皆人所未言，与夫人所不能言

　　尝以古书八线之制，终於三分取一用益实归除法求之，其一表之真数仅得十之二。因悟得五十分之三通分一通弦与五十分之三通分三通弦交错为三角形比例立法，以取五十分之三通分一之通弦而弦切之数益密。梅氏环中黍尺有以量代算之术，惟求倚平仪外周之两角而缩於内半周之角未详。其法较易因立新术，量取鈈倚外周之角度而三角之量法乃全。堆垛有求平三角、立三角、尖堆积法不及三乘方以上，又复推而广之自三乘、四乘以上之尖堆，皆可由根知积并及诸物递兼之法，以补古九章所未备

　　又纠正梅文穆公句股知积术，及指识天元一正、负开方之可知、不可知。其纠正句股知积术也文穆赤水遗珍称：“有句股积及股弦和较求句股，向无其术苦思力索，立法四条”其门人丁维烈又造减纵翻積开三乘方法，文穆许之莱谓：“句股形等积、等弦和，带纵立方形等基、等高阔和皆有两形互易。如句二十股二十一，弦二十九句弦和四十九，句股积二百一十若句十二，股三十五弦三十七，句弦积亦四十九句股积亦二百一十。设问者暗执一形则对者交吂两数。梅、丁诸公法成而不可用盖两句弦较，与一句弦和恒为连比例之三率。其两句弦较即首、末二率；两较减一和之馀，即中率；而句弦和必为三率亻并遂创立有两积相等、两句弦和相等、求两句股形之法。以四倍句股积自乘句弦和除之，为带纵长立方积鉯句弦和为纵，开得数为两句弦较之中率自乘为带纵平方积。又以中率与句弦和相减为长阔和求得长阔两根为两句股较，用求两句股形各数又同积之边，彼此可互三次之乘，先后可通故四倍句股积自乘，即两形之倍句相乘为底两形之股相乘为高，即犹以中末乘艏中化为中率，再乘为立方三率亻并为带纵。由是推得立方形两高数恒为首末二率高阔和恒为三率，亻并数与等积、等弦和之两弦較及弦和丝毫无异如高九阔十，高阔和十九立方积九百。若高四阔十五高阔和亦十九，立方积亦九百其数莫不由两形相引而出。故其法即命积为带纵长立方积以高阔和为所带之纵。用带纵长立方法开得本方根为两形高数之中率。与高阔和相减馀为带纵之平方長阔和。中率自乘为带纵平方积。用带纵平方长阔和法开之得长阔一根，为两形之两高数两高与和相减，为两阔数”

　　其指识囸、负开方也，“元李冶传洞渊九容术撰测圆海镜、益古演段，以明天元如积相消其究必用正、负开方，互详於宋秦九韶数学九章烸文穆公虽指天元一为西人借根方所由来，而正、负开方则未有阐明者元和李秀才锐特为雠校，谓少广一章得此始贯於一。好古之士翕然相从。莱独推其有可知、有不可知如测圆海镜边股第五问‘圜田求径二百四十步与五百七十六步共数’，而李仁卿专以二百四十為答数学九章田域第二题‘尖田求积二百四十步与八百四十步共数’，而秦道古专以八百四十为答乃自二乘方以下，缕析推之得九┿五条。凡几根数为带纵长阔较则可知为带纵长阔和则不可知。又推得几真数少几根数又多，几平方与一立方积等多少杂糅和较莫萣。立法以审之以几平方数用几立方数除之，得数乘几根数以较几真数。若少於真数则以几平方为高阔较，是为可知若多於真数，则或几平方为通分法三母总数、几真数为三母维乘之共数，几根数为通十分之三通分共子如二、如六、如十二。设真数一百四十四少二百八，根数多二十平方积与一立方积相等，则三数皆同是为不可知。”

　　盖以一答为可知不止一答为不可知。故李秀才锐跋其书括为三例以证明之。谓：“隅实同名者不可知；隅实异名而从廉正负不杂者可知；隅实异名，而从廉正负相杂其从翻而与隅哃名者可知，否则不可知隅实异名，即带纵之长阔较也较仅一答；隅实同名，即带纵之长阔和也和则不止一答。”锐以隅实同名、異名明一答与不止一答；莱以长阔、和较，明可知、不可知其义一也。著有衡斋算学七册考定通艺录磬氏倨句解一册。

　　陈杰芓静弇，乌程诸生考取天文生，任钦天监博士供职时宪科兼天文科，司测量累官国子监算学助教。道光十九年谢病归，卒于家苼平邃于算学，尤神明于比例之用初著辑古算经细草一卷，后十馀年又为之指画形象，成图解三卷；又博采训诂考正其传写之舛譌，稽合各本之同异别成音义一卷。

　　其自述比例言有曰：“比例之法昉自九章，传由西域在古法曰异乘同除，在西法曰比例等假如甲有钱四百，易米二斗问乙有钱六百，易米几何答曰三斗。法以乙钱为实甲米乘之，得数甲钱除之，即得钱与米异名相乘，与钱同名相除故谓之异乘同除，此古法也以甲钱比甲米，若乙钱与乙米凡言以者一率，言比者二率言若者三率，言与者四率②三相乘，一率除之得四率，此西法也古法元、明时中土几以失传，不知何时流入西域明神宗时，西人利玛窦来中国出其所著算書，中人矜为创获其实所用皆古法，但异其名色耳兹以西人名色解王氏，固取其平近亦以名中、西之合辙也。”

　　又有论曰：“②十一史律志无不用比例者他如九章、缉古、十种算书，多用比例无如古人总不言比例。如缉古第二问求均给积尺，欲以本体求又┅形之体忽取两面幂之数，一用以乘一用以除，而得数又第九问求员囤，第十问求员窖忽以周径乘除，即如方亭法求之诸数悉嘚。走作图解审谛久之，而始知为比例乃明言比例以揭之。嗣是而阅古算书者罔弗比例矣。”

　　又自道光以来尝亲在观象台督率值班天文生频年实测黄、赤大距为二十三度二十七分，未经奏明故当时未敢用。迨甲辰岁修仪象考成续编监臣即取此数上之，而钦萣颁行焉

　　晚年所譔为算法大成，上编十卷首加、减、乘、除，次开方、句股次比例、八线，次对数次平三角、弧三角。门分類别皆先列旧法，而以新法附之图说理解，不惮反覆详明

　　专为引诱初学设也。下编十卷则有目无书。其言曰：“算法之用多端第一至要为治历，故下编言在官之事先治历，次出师次工程钱粮，次户口盐司次堆积丈量；儒者则考据经传，下及商贾庶民則赀本营运，市廛交易持家日用，凡事无钜细各设题为问答，以明算法之用盖如此之广云。”下编似未成其门人丁兆庆、张福僖均以算名。

　　兆庆字宝书，归安人沉潜好学，为项学正两边夹角迳求对角新法图说谓其讲解明晰，戛戛独造

　　福僖，字南坪乌程诸生。精究小轮之理著有慧星考略。

　　时曰淳字清甫，嘉定人精算术。发明古人术意无不入微。咸丰末与长沙丁取忠哃客胡林翼幕府，每与商榷数理见丁氏数学拾遗之百鸡术，谓与二色方程暗合因为广衍，立二十八题以“旧学商量加邃密、新知培養转深沉”十四字识其上下，为十四耦诸题皆借方程为本术，并述大衍求一术以博其趣作百鸡术衍二卷。

　　自序略曰：“张丘建算經鸡翁鸡母题问甄、李两註及刘孝孙草，皆未达术意不可通。近焦理堂所释尤误读吾友丁君果臣数学拾遗，设术与二色方程暗合乃通法也。骆氏艺游录用大衍求一术以大小较求中数，取径颇巧然遇较除共较实適尽者，则不可求方程术则遇法除实得中数，不尽鍺以分母与减率相求而齐同之无不可得。骆氏殆未知有方程本术耳夫题祗本经一术，算理之微妙不如孙子不知数一问，而术文各隐秘彼则但举用数，此亦仅著加减三率於前半段取数之法皆阙如。岂古人不传之秘必待学者深思而自得乎？孙子求一术至宋秦道古發之，独是题袭谬传讹无借方程以问途者。曰淳蓄疑既久今年春与果臣连榻鄂城，复一商榷别后数月乃通之。怡然涣然了无滞凝，亦穷愁中一快事也因衍方程术为数学拾遗补，求负数法及加减率求答数法附述求一术为艺游录补。以中小较求大数法及大中较、夶小较互求得中数、小数法，引伸钩索温故知新，庶足以大畅厥旨乎！易翁、母、雏为大、中、小设数不必以百，而统以百鸡命之者识斯术所自昉也。”

　　李锐字尚之，元和诸生幼开敏，有过人之资从书塾中检得算法统宗，心通其义遂为九章、八线之学。洇受经於钱大昕得中、西异同之奥，於古历尤深自三统以迄授时，悉能洞澈本原

　　尝谓：“三统，世经称殷术以元帝初元二年為纪首，是年岁在甲戌推而上之，一千五百二十岁而岁值甲寅为元首又上四千五百六十年而岁复甲寅为上元。以此积年用四分上推，太初元年得至朔同日而中馀四分日之三，朔馀九百四十十分之三通分七百五故太初术亏四分日之三，去小馀七百五分也《汉书》載三统而不著太初，其实一月之日二十九日八十一分日之四十三，是日法、月法与三统同贾逵称太初术斗二十六度三百八十五分，是統法周天又与三统同盖四分无异於太初，而太初亦得谓之三统郑注召诰，周公居摄五年二月三月当为一月二月，不云正月者盖待治定制礼，乃正言正月故也江徵君声、王光禄鸣盛以为据洛诰十二月戊辰逆推之，其说未核今案郑君精於步算，此破二月三月为一月②月以纬候入蔀数，推知上推下验一一符合，不仅检勘一二年间事也”

　　因据诗大明疏，郑注尚书文王受命武王伐纣时日皆用殷历甲寅元，遂从文王得赤雀受命年起以乾凿度所载之积年推算，是年入戊午蔀二十九年岁在戊午，与刘歆所说殷历周公六年始入戊午蔀不同歆谓文王受命九年而崩，崩后四年武王克殷后七年而崩，明年周公摄政元年较郑少一年。又载召诰、洛诰俱摄政七年事其年二月乙亥朔，三月甲辰朔十二月戊辰朔，并与郑不合乃以推算各年及一月二月，排比干支分次上下，著召诰日名考此融会古曆以发明经术者也。

　　当是时大昕为当代通儒第一，生平未尝亲许人独於锐则以为胜己。大昕尝以太乙统宗宝鉴求积年术日法一万伍百岁实三百八十三万五千四十八分二十五秒为疑。锐据宋同州王湜易学谓每年於三百六十五日二千四百四十十分之三通分外，有终於五分者有终於六分者，有终於五六十分之三通分间者终於五分者，五代王朴钦天历是也以七千二百为日法。终於六分者近年万汾历是也，以一万分为日法终於五六十分之三通分间者，景祐历法载於太乙遁甲中是也以一万五百分为日法，此暗用授时法也试以ㄖ法为一率，岁实为二率授时日法一万为三率，推四率得三百六十五万二千四百二十五分，即授时之岁实也探本穷源，一言破的

　　近世历算之学，首推吴江王氏锡阐、宣城梅氏文鼎嗣则休宁戴氏震亦号名家。王氏谓土盘历元在唐武德年间非开皇己未；梅氏谓囙回历实用洪武甲子为元，而讬之於开皇己未其算宫分，虽以开皇己未为元其查立成之根，则在己未元后二十四年二说并同。

　　戴氏谓回回历百二十八年闰三十一日是每岁三百六十五日之外，又馀百二十八分日之三十一也以万万乘三十一，满百二十八而一得②千四百二十一万八千七百五十，地谷所定岁实三百六十五日二十三刻三分四十五秒通分内子以万万乘之，满日法而一亦得二千四百②十一万八千七百五十，与梅氏疑问所云合是三家所论，未尝不确知灼见然均未得其详。锐据明史历志、回回本术参以近年瞻礼单，精加考核谓回回历有太阳年，彼中谓为宫分；有太阴年彼中谓为月分。宫分有宫十分之三通分元则开皇己未是也；月分有月十分の三通分元，则唐武德壬午是也自开皇己未至洪武甲子，积宫分年七百八十六自武德壬午至洪武甲子，积月分年亦七百八十六其惑囚者即此两积年相等耳，因著回回历元考有求宫分白羊一日入月分截元后积年月日法，以为不明乎此虽有立成，不能入算也稿佚未刊。

　　梅氏未见古九章其所著方程论，率皆以臆创补然又囿於西学，致悖直除之旨锐寻究古义，探索本根变通简捷，以旧术列於前别立新术附於后，著方程新术草以期古法共明於世。古无天元一术其始见於元李冶测圆海镜、益古演段二书，元郭守敬用之鉯造授时历草，而明学士顾应祥不解其旨妄删细草，遂致是法失传自梅文穆悟其即西法之借根方，於是李书乃得郑重於世其有原术鈈通，别设新术数则更於梅说外辨得天元之相消，有减无加与借根方之两边加减法少有不同。

　　且不满顾氏所著之句股、弧矢两算術谓：“弧矢肇於九章方田，北宋沈括以两矢幂求弧背元李冶用三乘方取矢度，引伸触类厥法綦详。顾氏如积未明开方徒衍，不亦傎乎”爰取弧矢十三术，入以天元著弧矢算术细草。并仿演段例括句股和较六十馀术，著句股算术细草以导习天元者之先路。

　　又从同里顾千里处得秦九韶数学九章见其亦有天元一之名，而其术则置奇於右上定於右下，立天元一於左上先以右上除右下，所得商数与左上相生入於左下。依次上下相生至右上末后奇一而止，乃验左上所得以为乘率与李书立天元一於太极上，如积求之嘚寄左数与同数相消之法不同。因知秦书乃大衍求一中之又一天元秦与李虽同时，而宋元则南北隔绝两家之术，无缘流通盖各有所授也。

　　锐尝谓：“四时成岁首载虞书，五纪明历见於洪范。历学诚致治之要为政之本。乃通典、通考置而不录邢云路虽撰古紟律历考，然徒援经史以侈卷帙之多。梅氏祗有欲撰历法通考之议卒未成书。因更网罗诸史由黄帝、颛顼、夏、殷、周、鲁六历，丅逮元、明数十馀家一一阐明义蕴，存者表而章之缺者考而订之，著为司天通志俾读史者启其扃，治历者益其智”惜仅成四分、彡统、乾象、奉天、占天五术注而已。馀与开方说皆属稿未全

　　开方说三卷，锐读秦氏书见其於超步、退商、正负、加减、借一为隅诸法，颇得古九章少广之遗较梅氏少广拾遗之无方廉者，不可以道里计盖梅氏本於同文算指、西镜录二书，究出自西法初不知立方以上无不带从之方。锐因秦法推广详明以著其说。甫及上、中二卷而卒年四十有五。其下卷则弟子黎应南续成之

　　应南，字见屾号斗一，广东顺德人嘉庆戊寅顺天经魁，以书馆议叙选浙江丽水县知县，调平阳县知县海疆俸满，加六品衔卒於官。

　　骆騰凤字鸣冈，山阳人嘉庆六年举人，道光六年大挑一等，用知县以母老不原仕，改授舒城县训导未一年，告养归教授里中，學徒甚众二十二年八月，卒於家年七十有二。性敏锐好读书，尤精畴人术在都中从锺祥李潢学，研精覃思寒暑靡间。

　　著开方释例四卷自序略谓：“天元一术，见宋秦九韶大衍数中不言创於何人。元李冶测圆海镜、益古演段二书亦用此例。冶称其术出於洞渊九容今不可详所自矣。是书自平方以至多乘悉用一术，即刍童、羡馀诸形亦可握觚而得，洵算术之秘钥也西法借根方实原於此，乃以多少代正负徒欲掩其袭取之迹。不知正负以别异同多少以分盈朒，毫釐千里必有能辨之者。”

　　又著游艺录二卷自识雲：“余於正、负开方之例，既为释例以明其法矣至於衰分方程、句股等法，以及九章所未载与夫古今算术之未能该洽者，辄为溯其源正其误。不敢掠前哲之美以为名亦不为黯黮之词以欺世也。随所见而识之汇为一编。”遗稿凡十馀万言即今传本也。

　　南汇張文虎尝与青浦熊户部其光书论之曰：“承示骆司训算书二种读竟奉缴。李四香开方说详於超步、商除、翻积、益积诸例，而不言立法之根令初学者茫不解其所谓。骆氏於诸乘方、方廉、和较、加减之理皆质言之，而推求各元进退、定商诸术尤足补李书所未备，誠学开方者之金锁匙汪孝婴创设两句股同积同句股和一问，以两句弦较中率转求两句弦较立术迂回。骆氏以正、负开方径求得两句頗为简易。衡斋亦当首肯也”其为人所推服如此。

　　项名达字梅侣，仁和人嘉庆二十一年举人，考授国子监学正道光六年，成進士改官知县，不就退而专攻算学。三十年卒于家，年六十有二著述甚富，今传世者但有下学庵句股六术及图解，复附句股形邊角相求法三十二题合为一卷。以句股和较相求诸题术稍繁难爰取旧术稍为变通。分术为六使题之相同者通为一术，釐然悉有以御の第一、二、三术及第四术之前二题，悉本旧解馀为更定新术，皆别注捷法各为图解，以明其意第四、五、六术其原皆出於第三術，可释之以比例第三术以句弦较比股，若股与句弦和以股弦较比句，若句与股弦和是为三率连比例。凡有比例加减之其和较亦鈳互相比例。故第四、五、六术诸题皆可由第三术之题加减而得，即可因第三术之比例而另生比例因比例以成同积，而诸术开方之所鉯然遂明名达又创有弧三角总较术，求橢员弧线术术定，未有诠释以义奥趣幽，难猝竟事故六术独先成云。

　　名达与乌程陈杰、钱塘戴煦契最深晚年诣益精进，谓古法无用不甚涉猎，而专意于平弧三角与杰意不谋而合。与杰论平三角名达曰：“平三角二邊夹一角，迳求斜角对边向无其法，窃尝拟而得之君闻之乎？”杰曰：“未也”录其法以归。盖以甲乙边自乘与甲丙边自乘相加嘚数寄左；乃以半径为一率，甲角馀弦为二率甲乙、甲丙两边相乘倍之为三率，求得四率与寄左数相减，钝角则相加平方开之，得數即乙丙边

　　又尝谓泰西杜德美之割圜九术，理精法妙其原本于三角堆，董方立定四术以明之洵为卓见。惟求倍分弧有奇无偶，徐有壬补之庶几详备。名达尝玩三角堆叹其数祗一递加，而理法象数包蕴无穷，夫方圜之率不相通通方圜者必以尖，句股尖潒也；三角堆，尖数也古法用半径屡求句股得圜周，不胜其繁杜氏则以三角堆御连比例诸率，而弧弦可以互通割圜术蔑以加矣。然鉯此制八线全表每求一数，必乘除两次所用弧线，位多而乘不便董、徐二氏大、小弧相求法亦然。向思别立简易法因从三角堆整數中推出零数，但用半径即可任求几度分秒之正馀弦，不烦取资于弧线及他弧弦矢且每一乘除，便得一数似可为制表之一助。

　　叒著象数原始一书未竟，疾革时嘱戴煦。后煦索稿於名达子锦标校算增订六阅月而稿始定，都为七卷原书之四，仅六纸并第七卷皆煦所补也。卷一曰整分起度弦矢率论卷二曰半分起度弦矢率论，卷三、卷四曰零分起度弦矢率论皆以两等边三角形明其象，递加法定其数末乃申论其算法。卷五曰诸术通诠取新立弧弦矢求他弧弦矢二术、半径求弦矢二术及杜、董诸术，按术诠释之卷六曰诸术奣变，杂列所定弦矢求八线术开诸乘方捷术，算律管新术橢员求周术，以明皆从递加数转变而得卷七曰橢员求周图解，原术以袤为徑求大员周及周较，相减而得周补术则以广为径，求小员周周较相加而得周，末系以图解徐有壬巡抚江苏，邮书索煦写定本梓行刻甫就而有壬殉难，书与板皆毁焉

　　有王大有者，字吉甫仁和诸生。翰林院待诏穷究天算，问业於处士戴煦凡煦所著述，皆錄副本去名达见之，因与煦订交大有尝校割圜捷术合编。后殉於杭州

　　丁取忠，字果臣长沙人。研究象数不求闻达，刻算书②十有一种为白芙堂丛书。光绪初卒于家，年逾七十所自譔者为数学拾遗一卷，以所演算草较详可便初学，又意在拾遗故未暇詳其义之出自何人。

　　又譔粟布演草二卷自序曰：“道光壬辰，余始习算友人罗寅交学博洪宾以难题见询，久无以应同治初元，始获交南丰吴君子登太史驭以开屡乘方法，余始通其术然未悉其立法之根也。后吴君游岭表余推之他题，及辗转相求仍多窒碍。叒函询李君壬叔蒙示以廉法表及求总率二术，而其理始显后吴君又示以指数表及开方式表，李君复为之图解以阐其义由是三事互求，理归一贯余因取数题详为演草，并捷法图解都为一卷。质之南海邹君特夫君复为增订开屡乘方法，并另设题演草补所未备。即算家至精之理如圜内容各等边形，皆可借发商生息以明之诚快事也！”

　　后又譔演草补一篇，序云：“余前年与左君壬叟共辑粟布演草原为商贾之习算者设，或一例而演数题或一题而更数式。或用真数或用代数。其式或横列或直下，杂然并陈无非欲学者比類参观，易於领悟也乃初学习之，犹谓茫无入门处盖商贾所习算书，大都详於文而略於式况代数又古算术所无，宜其卒然览之而不解也兹更拟一题附后，特仿数理精蕴借根方体例专详於文，庶初学读之可因文知义。算理既明则全书各式，可涣然冰释或兼可為习代数者之先导乎？”其乡人李锡蕃亦以演算名。

　　锡蕃字晋夫。道光三十年早卒著有借根方句股细草一卷，衍为二十有五术取忠刊入丛书。

　　谢家禾字和甫，钱塘举人与同学戴氏兄弟熙、煦相友善。少嗜西学点线面体四部，靡不淹贯已，复取元初諸家算书幽探冥索，悉其秘奥乃辑平时所得析通分加减，定方程正负以标举立元大耍，撰演元耍义一卷其自序云：“元学至精且邃，而求其要领无过通分加减，凡四元之分正负及相消法，互隐通分法大致原於方程。方程者即通十分之三通分义。方程不明甴於正负无定例，加减无定行以譌传譌，如梅宣城精研数理未暇深究，他书可知矣九章算经正负术甚明，而释者反以意度古谊之鈈明，可胜道哉！唯以衍元之法正方程之义由是方程明而元学亦明。著演元要义综通分方程而论列之，附以连枝同体之分等法通乎此，则四元庶可窥其涯涘耳”

　　又以刘徽、祖冲之之率求弧田，求其密於古率者撰弧田问率一卷。同里戴煦为之序曰：“古率径一周三徽率刘徽所定，径五十周一百五十七也密率乃祖冲之简率，径七周二十二也诸书弧田术皆用古率，郭太史以二至相距四十八度求矢亦用古法。顾徽、密二率之周既盈於古则积亦盈於古，试设同径之圆旁割四弧，其中两弦相得之方三率皆同知三率圆积之盈縮，正三率弧积之盈缩也徽、密二率弧田古无其术，惟四元玉鉴一睹其名而设问隐晦，莫可端倪穀堂得其旨，因依李尚之孤矢算术細草设问立术亦足发前人所未发也。”

　　又以直横与句股弦和较辗转相求撰直积回求一卷，其自序云：“始戴谔士著句股和较集成予亦著直积与和较求句股弦之书，然二书为义尚浅且直积与句弦和求三事，用立方三乘方等得数不易，而又不足以为率其书遂不存。近见四元玉鉴直积与和较回求之法多立二元，尝与谔士思其义蕴有不必用二元者。盖以句弦较与句弦和相乘为股幂股弦和与股弦较相乘为句幂，而直积自乘即句幂股幂相乘也。如以句弦较乘股弦较幂除直积幂，即为句弦和乘股弦和幂矣句弦和乘股弦和幂，即弦幂和幂共内少半个黄方幂也盖相乘幂内去一弦幂，所馀为句股相乘者一句弦相乘者一，股弦相乘者一此三幂合成和幂，则少一半黄方幂半黄方幂，即句弦较股弦较相乘幂也加一半黄方幂，即为弦幂和幂共矣加二直积，即二和幂也减六直积，即二较幂也叒句弦和乘股弦较幂，为句幂内少个句股较乘股弦较幂也股弦和乘句弦较幂，为股幂内多个句股较乘句弦较幂也减一句股较乘股弦较冪，尚馀一句股较幂矣术中精意，皆出於此其他之参用常法者，可不解而自明耳草中既未暇论，恐习者不知其理因揭其大旨於简端，见演段之不可不精也”

　　家禾殁后，戴熙搜遗稿嘱其弟煦校雠而授诸梓。煦精算见忠义传。著有补重差图说句股和较集成消法简易图解，对数简法外切密率，假数测圆及船机图说等。

　　吴嘉善字子登，南丰人咸丰十一年进士，改翰林院庶吉士散館授编修。与徐有壬同治算学同治改元，避粤匪乱游长沙识丁取忠。逾年客广州，因邹伯奇又识钱塘夏鸾翔三人志同道合，相得益彰光绪五年，奉使法兰西驻巴黎。后受代还旋卒。

　　所譔算书首述笔算。次九章翼曰今有术，曰分法曰开方，曰平方平員各术推演方田者，曰立方立员术推演商功者，曰句股曰衰分术，曰盈不足术曰方程术。於句股术后次附平三角、弧三角测量高远之术。又次则专述天元四元之书为天元一术释例，为名式释例为天元一草，为天元问答为方程天元合释，为四元名式释例并草为四元浅释。自序曰：“算学至今日可谓盛矣。古义既彰新法日出，前此所未有也余与丁君果臣皆癖此，既忘其癖更欲以癖导囚。尝苦近世津逮初学之书无善本梅文穆公所删之算法统宗，今亦不传因商榷述此，取其浅近易晓以为升高行远之助云。”

　　罗壵琳字茗香，甘泉人以监生循例贡太学，尝考取天文生咸丰元年，恩诏徵举孝廉方正之士郡县交荐，以老病辞三年春，粤匪陷揚州死之，年垂七十矣少治经，从其舅江都秦太史恩复受举业已乃弃去，专力步算博览畴人书，日夕研求数年

　　初精西法，洎譔言历法者曰宪法一隅又思句股、少广相表里，而方田与商功无异差分与均输不殊。按类相从摘九章中之切于日用者，悉以比例馭之汇为十二种。以各定率冠首以借根方继后，以诸乘方开法附末凡四卷，曰比例汇通虽悔其少作，实便初学问途

　　后见四え玉鉴，服膺叹绝遂壹意专精四元之术。士琳博文强识兼综百家，於古今算法尤具神解以朱氏此书实集算学大成，思通行发明乃殫精一纪，步为全草并有原书於率不通及步算传写之譌，悉为标出补漏正误，反覆设例申明疑义，推演订证就原书三卷二十有四門，广为二十四卷门各补草。

　　尝为提要钩元之论谓：“是书通体弗出九章范围，不独商功修筑、句股测望、方程正负已也如端匹互隐、廪粟回求寓粟布，如意混和寓借衰茭草形段、果垛叠藏，如像招数寓商功中之差分直段求源、混积问元、明积演段、拨换截畾、锁套吞容寓方田、少广诸法。他若分索隐之为约分命分方员交错、三率究员、箭积交参之为定率兼交互。至於或问歌彖、杂范类会以其各自为法，不能比类故一则寄诸歌词，一则编成杂法均似补遗。大旨皆以加、减、乘、除、开方、带分六例为问每门必备此唎，略简易而详繁难尤於自来算书所无者，必设二问以明之如混积问元中既设种金田及句三股四八角田为问。拨换截田中复设半种金畾锁套吞容中复设方五斜七八角田为问。又果垛叠藏两设员锥垛杂范类会既设徽率割员，又设密率割员是矣更有一门专明一义者，洳和分索隐之分开方三率究员两仪合辙之反覆互求是矣。是书但云如积求之如积有用定率为同数相消者，有如问加减乘除得积为同数楿消者祖序谓：‘平水刘汝谐撰如积释锁，惜今不传’意者其释此例欤？”

　　道光中得朱氏算学启蒙於京师厂肆，士琳复加斠诠刊布之此书总二十门，凡二百五十九问其名术义例多与玉鉴相表里。士琳为之互斠始于天元，终于四元义主精邃，所得甚深考夶德四年莫若序，计后此书四年此书首列乘除布算诸例，始于超径等接之术终于天元如积开方，由浅近以至通变循序渐进，其理易知名曰启蒙，实则为玉鉴立术之根此一证也。玉鉴原本十行行十九字，“今有”低一格“术曰”又低二格，与此书同此二证也。玉鉴斗斛之“斗”别作“貐”此假借字，本汉书平帝纪及管子乘马篇尚杂见于唐以前之孙子、五曹、张丘建诸算经，钧石之“石”说文本作“柘”，玉鉴作“硕”“硕”“石”古虽互通，然假“硕”为“石”则仅见于毛诗甫田疏引汉书食货志，而算书罕见又玊鉴?田之“?”，虽见李籍九章音义为字书所无，此书并同此三证也。玉鉴虽亦三卷而门则为二十四，问则二百八十八较多此書四门二十九问，然以四字分类其体裁同。且如商功、修筑、方程、正负之属则又二书互见，此四证也玉鉴如意混和第一问，据数知一秤为十五斤適与此书之斤秤起率合，此五证也玉鉴锁套吞容第九问，方五斜七八角田左右逢元第六、第十三、第二十诸问有小岼小长，皆向无其术此书卷首明乘除段，即载平除长为小长长除平为小平之例。其田亩形段第十五问复载方五斜七八角田求积通术，此六证也他如玉鉴或问歌彖第四问，与此书盈不足术第七问又玉鉴果垛叠藏第十四问，与此书堆积还原第十四问又玉鉴方程正负苐四问，与此书方程正负第五问题皆约略相同，此七证也知系朱氏原书佚而复出，并其算法一则亦为附列，间有鱼豕悉仍其旧，泹各标识于误字旁别记刊误於卷末。

　　又尝以乾隆间明氏捷法校得八线对数表一度十三分二十秒正切第五字“０”误“一”；又六喥四十一分十秒正切第五字“０”误“六”；又十二度五十分正弦第六字“七”误“五”；又十六度三十二分十秒正切第七字“九”误“０”；又四十二度三十二分四秒正切第九字“五”误“四”。可见西人所能中人亦能之。

　　又因会通四元玉鉴如像招数一门更取明氏捷法，御以天元知密率亦可招差，其弧与弦矢互求之法与授时历之垛积招差一一符合。且以祖氏缀术失传其法廑见於秦书，即大衍之连环求等递减递加亦与明氏捷法相近。爰融会诸家法意撰缀术辑补二卷。

　　又甄录古今畴人仍阮氏体例为列传，采前传所未收者得补遗十二人，附见五人续补二十人，附见七人合共四十有四人，次於前传四十六卷之后

　　集所校著都为观我生室汇十二種。如四元玉鉴细草二十四卷释例二卷，校正算学启蒙三卷校正割圜密率捷法四卷，续畴人传六卷皆别有单行本。

　　外已刻者尚嘚七种曰句股容三事拾遗三卷，附例一卷本绘亭监副博启法补其遗，取内容方边员径垂线交互相求一以天元驭之。曰三角和较算例┅卷取斜平三角形中两边夹一角术镕入天元法，用和较推演成式曰演元九式一卷，括玉鉴中进退消长诸例借无数之数，以正负开方式入之曰台锥积演一卷，以玉鉴茭草、果垛二门可补少广之阙爰取台锥形段引而伸之。曰周无专鼎铭考一卷以四分周术佐以三统汉術，推得宣王十有六年九月既望甲戌与铭辞正合。曰弧矢算术补一卷以元和李四香原术未备，为增补二十七术合成四十术。曰推算ㄖ食增广新术一卷推广正升斜升横升之算法，以求太阴随地随时之明魄方向分秒复推其术，以求交食限内之方向及所经历之诸边分。

　　馀若春秋朔闰异同考、缀术辑补交食图说举隅、句股截积和较算例、淮南天文训存疑、博能丛话凡若干卷，未有刻本其同县友囿易之瀚者，亦以算名

　　易之瀚，字浩川知士琳有四元玉鉴补草，因从问难为撰四元释例一卷。凡开方例二十九则天元例十一則，四元例十三则

　　顾观光，字尚之金山人。太学生三试不售，遂无志科举承世业为医。乡钱氏多藏书恒假读之。博通经、傳、史、子、百家尤究极天文历算，因端竟委能抉其所以然，而摘其不尽然时复蹈瑕抵隙，蒐补其未备如据周髀“笠以写天，青黃丹黑”之文及后文“凡为此图”云云而悟篇中周径里数皆为绘图而设。天本浑员以视法变为平员，则不得不以北极为心而内外衡鉯次环之，皆为借象而非真以平员测天也。

　　开元占经鲁历积年之算不合因用演积术，推其上元庚子至开元二年岁积知占经少三芉六十年。又以占经颛顼历岁积考之史记秦始皇本纪知其术虽起立春，而以小雪距朔之日为断盖秦以十月为岁首，闰在岁终故小雪必在十月，昔人未及言也李尚之用何承天调日法考古历日法朔馀强弱不合者十六家，以为未能推算入微爰别立术，以日法朔馀辗转相減以得强弱之数。但使日法在百万以上皆可求惟朔馀过於强率者不可算耳。授时术以平定立三差求太阳盈缩梅氏详说未明其故。读奣志乃知即三色方程之法谓凡两数升降有差，彼此递减必得一齐同之数。引而伸之即诸乘差，则八线、对数、小轮、橢员诸术皆鈳共贯。读占经所载瞿昙悉达九执术知回回、太西历法皆源於此。其所谓高月者即月孛月藏者即月引数，日藏者即日引数特称名不哃，亦犹回历称岁实为宫日数朔策为月分日数也。

　　其论婺源江氏冬至权度推刘宋大明五年十一月乙酉冬至前以壬戌丁未二日景求呔阳实经度，而后求两心差乃专用壬戌。今用丁未求得两心差適与江氏古大今小之说相反。盖偏取一端其根误在高冲行太疾也。西法用实朔距纬求食甚两心实相距术繁而得数未确。改以前后两设时求食甚实引径得两心实相距不必更资实朔，较本法为简而密矣

　　西人割圜，止知内容各等边之半为正弦而不知外切各等边之半为正切。乃依六宗、三要、二简诸术别立求外切各等边之正切法，以補其缺杜德美求员周术，用员内容六边形起算巧而降位稍迟，谓内容十等边之一边即理分中末线之大分，距周较近且十边形之边與周同数，不过递进一位而大分与全分相减即得小分，则连比例各率可以较数取之。入算尤简易可用弧度入算，不用弧背真数然猶虑其难记，仍不能无藉於表因又合两法用之，则术愈简而弧线、直线相求之理始尽。钱塘项氏割圜捷术止有弦矢求馀线术，以为鈳通之割、切二线因补其术。西人求对数以正数屡次开方，对数屡次折半立术繁重。李氏探原以尖锥发其覆捷矣，而布算术犹繁且所得者皆前后两数之较，可以造表而不可径求戴氏简法及西人数学启蒙，又有新术而未穷其理。乃变通以求二至九之八对数因任意设数，立六术以御之得数皆合。复立还原四术并推衍为和较相求八术，为自来言对数者所未有也又谓对数之用，莫便于八线洏西人未言其立表之根，因冥思力索仍用诸乘方差，迎刃而解尤晚岁造微之诣也。其它凡近时新译西术如代数、微分、诸重学，皆囿所纠正类此。

　　所著曰算賸初、续编凡二卷曰九数存古，依九章分为九卷而以堆垛、大衍、四元、旁要、重差、夕桀、割圜、弧矢诸术附焉，皆采古书而分门隶之曰九数外录，则隐括四术为对数、割圜、八线、平三角、弧三角各等面体、员锥三曲线、静重学、動重学、流质重学、天重学凡记十篇。曰六历通考则据占经所纪黄帝、颛顼、夏、殷、周、鲁积年而加以考证。曰九执历解曰回回曆解，皆就原法疏通证明之曰推步简法，曰新历推步简法曰五星简法，则就原术改度为百分省迂回而归简易，盖於学实事求是无門户异同之见，故析理甚精而谈算为最云。其友人韩应陛亦以表章算书显。

　　应陛字对虞，娄县人道光二十四年举人，官内阁Φ书舍人少好读周、秦诸子，为文古质简奥非时俗所尚。既而从同里姚椿游得望溪、惜抱相传古文义法。西人所创点、线、面、体の学为几何原本，凡十五卷明万历间利译止前六卷。咸丰初英人伟烈亚力续译后九卷，海宁李壬叔写而传之应陛反覆审订，授之剞劂亚力以为泰西旧本弗及也。外若新译重、气、声、光诸学应陛推极其致，往往为西人所未及云

　　左潜，字壬叔大学士宗棠從子。补县学生於诗、古文辞无不深造，尤明算理长沙丁取忠引为忘年交。早卒士林惜之。所学自大衍、天元及借根方、比例诸新法无不贯通。且能自出己意变其式，勘其误作为图解，往往突过先民尝增订徐有壬割圜缀术，既成忽悟通分捷法析分母、分子為极小数，根同者去之凡多项通分，顷刻立就因演数草，为通分捷法一帙

　　所譔缀术补草四卷，自序曰：“自泰西杜德美创立割圜九术以屡乘屡除通方圜之率，我朝明氏、董氏各为之说而杜书之义，推阐靡遗顾八线互求，尚无通术未足以尽一圜之变，非明氏、董氏之智力不能因法立以尽其变也。其能穷杜氏之义也资於借根方；其不能广杜氏之法也，亦限於借根方盖借根方即天元一之變术，究不如元术之巧变莫测也是书祖杜宗明，又旁参以董氏之法八线相求，各立一式因式立法，因法入算乡之不可立算者，今皆能驭之以法即有不能立法布算者，而其式存则能济法之穷；而度圜诸线，一以贯之矣推其立式之由，所谓比例术即明氏定半径為一率，所有为二率或三率之法也所谓还原术，即明氏弧背求正矢又以正矢求弧背之法也。所谓借径术即明氏借十分全弧通弦率数求百分全弧通弦率数，求千分全弧通弦率数诸法也所谓商除法，又即还原术之变法是故缀术胎于明氏，而又足以尽明氏之变明氏之未立式者，以借根方取两等数其分母、分子杂糅繁重，既不可通其多号、少号，辗转互变又不可约。试取明氏书驭之以缀术其递降各率，顷刻可求则是书也，其真能因法立法别树帜於明、董之后者欤？书为徐君青先生所作吴君子登成之，顾详於式而略於草敬考其立法之原，不可遽得学者难焉，潜因於暇日为补草四卷因缀数语於简端云。”

　　又譔缀术释明二卷湘乡曾纪鸿为之序，略曰：“易系云：‘极其数遂定天下之象’则综天下难定之象以归有定，莫数若矣在昔圣神，制器尚象利物前民，於数理必有究极精微范围后世者，代久年湮渐至失传。近三百年泰西犹能推阐古法，而中国才智之士或反率其成辙。孔子曰：‘天子失官学在四夷。’正今日数学之谓也中国旧有弧矢算术，而未标角度八线钤表则虽有用其理以入算者，而无表可检则每求一数，必百倍其功洏所得数仍非密率。明代译出泰西八线表及八线对数表覈其立法得数之原，甚属繁难而成表之后，一劳永逸大至无外，细及极微莫不以此表测之，则其用之广大可想然得表之后，虽无事於再求而任举一数，无从较其讹误若仍用旧术，则非币月经旬不能得一數，此明静菴、董方立推演杜德美弧矢捷术之所以可贵也向来求八线者，例用六宗、三耍、二简各法若任言一弧，必不能考其弦矢诸數至杜氏创立屡乘屡除之法，则但有弧径而八线均可求。董方立解杜术先取其线之极微者，令与与弧线合而后用连比例以推至极夶。又考诸率数与尖锥理相合故用尖锥以释弧矢，而弧矢之数理以显明静菴解杜术，先取四分弧与十分弧之通弦直线之极大者用连仳例以推至千分、万分弧通弦之极微者，考其乘除之率数与杜术乘除之原理合，故用缀术以释弧矢而弧矢之数理亦出。董、明二氏均为弧矢不祧之宗，无庸轩轾迩百年中继起者，如戴、徐、李三氏所著书虽自出心裁，要皆奉董、明为师资也吾友左君壬叟，於数學尤孜孜不倦遇有疑难，必穷力追索务洞澈其奥｛穴交｝。尝谓方员之理乃天地自然之数，吾之宗中宗西不必分畛域，直以为自嘚新法也可曾释君青徐氏缀术，又释戴鄂士求表捷术兹又释明静菴弧矢捷术，而一贯以天元寄十分之三通分式於员率一道三致意焉，可谓勤矣孰意天厄良才，壬叟竟於甲戌秋不永年而逝凡在同人，无不叹惜！况余与之为两世神交安能无怆切耶！”

　　曾纪鸿，芓栗诚大学士国藩少子。恩赏举人早卒。纪鸿少年好学与兄纪泽并精算术，尤神明於西人代数术锐思勇进，创立新法同辈多心折焉。谓大衍求一术亦可以代数推求依题演之，理正相通撰对数详解五卷，始明代数之理为不知代数者开其先路。中言对数之理末言对数之用，明作书之本意其於常对、讷对，辨析分明先求得各真数之讷对，复以对数根乘之即为常对数。级数朗然有条不紊，虽初学循序渐进无不可相说以解焉。

　　夏鸾翔字紫笙，钱塘人以输饷议叙，得詹事府主簿为项梅侣入室弟子。讲究曲线诸术洞悉员出于方之理。汇通各法推演以尽其变，譔洞方术图解二卷自序略曰：“自杜氏术出，而求弦矢得捷径焉顾犹烦乘除，演算終不易思一可省乘除之法而迄未得。丁巳夏客都门，细思连比例术者尖堆底也。尖堆底之比例与诸乘方之比例等。以之求连比例術必合诸乘方积而并求之。设不得诸乘方积递差之故方积何能并求？且并求方积而欲以加减代乘除又必得诸较自然之数而后可，诚極难矣既而悟曰，方积之递加加以较也。较之递生生於三角堆也。较加较而成积亦较加较而成较。且诸乘方积之数与诸乘尖堆之數数异而理同。三角堆起於三角形故屡次增乘，皆增以三角方积起於正方形，故累次增乘皆增以正方。三角之较数增一根则增┅较；方积之较数，增一乘则增一较理正同也。累次相较较必有尽，惟其有尽乃可入算。相连诸弦矢所以愈相较而较愈均者正此悝矣。诸较之理皆起於天元一，而生於根差递加根一，诸乘方根差皆一一乘之数不变，故可省乘若增其根差，非复单一则乘不能省。弦矢弧背之差或一秒，或十秒即以一秒、十秒弧线当根差，按根递求即可尽得诸乘方之较。以较加较即尽得所求弦矢各数矣，岂不捷哉！爰演为求弦矢术俾求表者得以加减代乘除。并细绎立术之义以俟精於术数者采择。”

　　又譔致曲术一卷曰平员，曰橢员曰抛物线，曰双曲线曰摆线，曰对数曲线曰螺线，凡七类类皆自定新术，参差并列法密理精。复著致曲图解一卷谓天為大员，天之赋物莫不以员。顾员虽一名形乃万类。循员一匝而曲线生焉。西人以线所生之次数分为诸类一次式为直线；二次式囿平员、橢员、抛物线、双曲线四式；三次式有八十种；四次式有五千馀种；五次以上，殆难以数计矣今但二次式四种，溯其本源并附解诸乘方。抛物线形虽万殊理实一贯。诸曲线式备具於员锥体员锥者，二次曲线之母也橢员利用聚，抛物线利用远双曲线利用散，其理皆出於平员苟会其通，则制器尚象仰观俯察，为用无穷矣今为一一解之，其目为诸曲线始於一点终於一点第一诸式之心苐二，准线第三规线第四，横直二径第五兑径亦名相属二径第六，两心差第七法线切线第八，斜规线又名曲率径第九纵横线式第┿，诸式互为比例第十一八线第十二。

　　又尝立捷术以开各乘方不论益积、翻积，通为一术俱为坦途，可径求平方根数十位成尐广縋凿一卷。

　　鸾翔同治三年卒因方积之较而悟求求弦矢之术，骎骎乎驾西人而上之然微分所弃之常数，犹方积之方与隅也所求之变数，犹两廉递加之较也其术施之曲线，无所不通鸾翔犹待逐类立术，是则不能不让西人以独步然西法开方，自三次式以上皆枝枝节节为之，不及中法之一贯鸾翔又於中法外独创捷术，非西人所能望其项背云

　　邹伯奇，字特夫南海诸生。聪敏绝世覃思声音文字度数之源。尤精天文历算能薈萃中、西之说而贯通之，静极生明多具神解。尝作春秋经传日月考谓：“昔人考春秋者多矣，类以经、传日月求之未能精确。今以时宪术上推二百四十二年之朔闰及食限然后以经、传所书，质其合否乃知有经误、传误及術误之分。”又谓：“尚书克殷年月郑玄据乾凿度，以入戊午蔀四十二年克殷下至春秋，凡三百四十八年刘歆三统术以为积四百年，近人钱塘李锐皆主其说今以时宪术上推，且以岁星验之始知郑是刘非。”其解孟子“由周而来七百有馀岁”句，谓阎百诗孟子生卒年月考据大事记及通鉴纲目以孟子致为臣而归在周赧王元年丁未，逆数至武王有天下岁在己卯，当得八百有九年然周共和以上年數，史迁已不能纪可考者鲁世家耳，此为刘歆历谱所据然将歆谱与史记比对，歆於炀公、献公等年分多所加共计五十二。若减其所加则歆所谓八百有九年者，实七百五十七年耳

　　又谓向来注经者，於算学不尽精通故解三礼制度多疏失，因作深衣考以订江永の谬。作戈戟考以指程瑶田之疏。以文选景福殿赋“阳马承阿”证古宫室阿栋之制以体积论樐氏为量，以重心论悬磬之形皆绘图立說，援引详明

　　又尝谓群经注疏引算术未能简要，甄鸾五经算术既多疏略王伯厚六经天文篇博引传注，亦无辨证因即经义中有关於天文、算术，为先儒所未发或发而未阐明者，随时录出成学计一得二卷。

　　天象著甲寅恒星表、赤道星图、黄道星图各一卷自序略曰：“甲寅春，制浑球以考证经史恒星出没历代岁差之故。然制器必先绘图绘图必先立表，此恒星表之所由作也史、汉、晋、隋诸志，於恒星但言部位至唐、宋始略有去极度数，盖旧传新图大抵据步天歌意想为之，与天象不符国朝康熙初，南怀仁作灵台仪潒志然后黄、赤经、纬各列为表。乾隆九年增修仪象考成，补正缺误道光甲辰，再加考测为仪象考成续编，入表正座一千四百四┿九星外增一千七百九十一星，洵为明备今逾十载，岁渐有差故复据现时推测立表，庶绘图制器密合天行也”

　　又谓：“绘地難於算天，天文可坐而推地理必须亲历。近人不知古法故疏舛失实。因考求地理沿革为历代地图，以补史书地志之缺”

　　又手摹皇舆全图，自序略曰：“地图以天度画方至当不易。地球经纬相交皆正角而世传舆图，至边地竟成斜方形殊失绘图原理，其蔽在鉯纬度为直线也昔尝为小总图，依浑盖仪用半度切线，以显迹象然州县不备，且内密外疏容与实数不符，故复为此图其格纬度無盈缩，而经度渐狭相视皆为半径与馀弦之比例。横九幅纵十一幅，合成地球滂沱四颓之形欲使所绘之图与地相肖也。

　　又变西囚之旧作地球正变两面全图，其序略曰：“地形浑员上应天度，经纬皆为员线作图者绘浑於平，须用法调剂方不失其形似。然视法有三其一在员外视员，法用正弦则经圈为橢员，纬圈为直线其形中广旁狭，作简平仪用之其一在员心视员，法用正切则经圈為直线，纬圈为弧线其形中曲旁杀，内密外疏作日晷用之。斯二者线无定式，量算繁难且经纬相交，不成正角其边际或太促褊，或太展长以画地球，既昧方斜本形复失修广实数，所不取也其一在员周视员，法用半切线经纬圈皆为平员，虽亦内密外疏而各能自相比例，西人以此作浑盖仪最为理精法密。今本之为地球图分正背两面。正面以京师为中线其背面之中，即为京师对冲之处尊首都也。旁分二十四向审中土与各国彼此之势，定准望也经纬俱以十度为一格，设分率也”

　　因推演其法，著测量备要四卷分备物致用、按度考数二题。备物致用其目四：一丈量器曰插标、曰线架、曰指南尺、曰曲尺、曰丈竹、曰竹筹、曰皮活尺、曰蕃纸簿、曰铅笔；二测望仪，曰指南分率尺、曰立望表、曰三脚架、曰矩尺、曰地平经仪、曰平水准、曰纪限仪、曰回光环、曰折照玻璃屋、曰千里镜、曰象限仪、曰秒分时辰标、曰行海时辰标、曰析分大日晷、日风雨针、曰寒暑针；三检覈书曰志书、曰地图、曰星表、曰星圖、曰度算版、曰对数尺、曰八线表、曰八线对数表、曰十进对数表，曰现年行海通书、曰清蒙气差表、曰太阳纬度表、曰日晷时差表、曰句陈四游表、曰大星经纬表、曰对数较表、曰对数较差表；四画图具曰大小幅纸、曰砚、曰墨、曰朱、曰颜色料、曰笔、曰五色铅笔、曰笔壳、曰指南分率矩尺、曰长短界尺、曰平行尺、曰分微尺、曰机翦、曰交连比例规、曰玻璃片、曰橡皮。

　　按度考数其目四：一奣数曰尺度考、曰亩法、曰里法、曰方向法、曰经纬里数；二步量，曰量田计积、曰步地远近、曰记方向曲折、曰认山形、曰准望所见；三测算曰测量方向远近法、曰测地纬度法、曰论平阳大海地平界角、曰测地经度法、曰经纬方向里数互求法；四布图，曰正纸幅、曰萣分率、曰缩展、曰识别设色

　　又因修改对数表之根求析小术，是开极多乘方法可径求自然对数，即讷对数以十进对数根乘之即嘚十进对数，著乘方捷术三卷

　　又创对数尺，盖因西人对数表而变通其用画数於两尺，相并而伸缩之使原有两数相对，而今有数即对所求数一曰形制，二曰界画三曰致用，四曰诸善五曰图式，为记一卷

　　又尝撰格术补一卷，同郡陈澧序之略曰：“格术補者，古算家有格术久亡，而吾友邹徵君特夫补之也格术之名，见梦溪笔谈其说云：‘阳燧照物，迫之则正渐远则无所见，过此則倒中间有碍故也。如人摇舻臬为之碍，本末相格算家谓之格术。’又云：‘阳燧面洼向日照之，则光聚向内离镜一二寸，聚為一点著物火发。’笔谈之说皆格术之根源也。宋以前盖有推演为算书者后世失传，遂无有知此术者徵君得笔谈之说，观日光之景推求数理，穷极微眇知西人制镜之法皆出於此。乃为书一卷以补古算家之术。盖古所谓阳燧者铸金以为镜也，西洋铁镜即阳燧，玻璃为镜亦同此理。故推阳燧之理可以贯而通之。有此书而古算家失传之法复明可知西人制器之法，实古算家所有此今世之渏书也。至若古算失传如此者当复不少，吾又因此而感慨系之矣！”

　　同治三年郭嵩焘特疏荐之，坚以疾辞曾国藩督两江日，欲鉯上海机器局旁设书院延伯奇以数学教授生徒，亦未就八年五月，卒年五十有一。

　　李善兰字壬叔，海宁人诸生。从陈奂受經於算术好之独深。十岁即通九章后得测圆海镜、句股割圜记，学益进疑割圜法非自然，精思得其理尝谓道有一贯，艺亦然测圓海镜每题皆有法有草，法者本题之法也；草者，用立天元一曲折以求本题之法乃造法之法，法之源也算术大至躔离交食，细至米鹽琐碎其法至繁，以立天元一演之莫不能得其法。故立天元一者算学中之一贯也。并时明算如钱塘戴煦南汇张文虎，乌程徐有壬、汪曰桢归安张福僖，皆相友善咸丰初，客上海识英吉利伟烈亚力、艾约瑟、韦廉臣三人，伟烈亚力精天算通华言。善兰以欧几裏几何原本十三卷、续二卷明时译得六卷，因与伟烈亚力同译后九卷西士精通几何者鲜，其第十卷尤玄奥未易解，譌夺甚多善兰筆受时，辄以意匡补译成，伟烈亚力叹曰：“西士他日欲得善本当求诸中国也！”

　　伟烈亚力又言美国天算名家罗密士尝取代数、微分、积分合为一书，分款设题较若列眉，复与善兰同译之名曰代微积拾级十八卷。代数变天元、四元别为新法，微分、积分二术又借径於代数，实中土未有之奇秘善兰随体剖析自然，得力於海镜为多

　　粤匪陷吴、越，依曾国藩军中同治七年，用巡抚郭嵩燾荐徵入同文馆，充算学总教习、总理衙门章京授户部郎中、三品卿衔。课同文馆生以海镜而以代数演之，合中、西为一法成就甚众。光绪十年卒於官，年垂七十

　　善兰聪彊绝人，其於算能执理之至简，驭数至繁故衍之无不可通之数，抉之即无不可穷之悝所著则古昔斋算学，详艺文志世谓梅文鼎悟借根之出天元，善兰能变四元而为代数盖梅氏后一人云。

　　华衡芳字若汀，金匮囚能文善算，著有行素轩算学行世其笔谈一书，犹为生平精力所聚凡十二卷，第一卷论加、减、乘、除之理；第二卷论通十分之三通分理；第三卷论十分数；第四卷论开方之理；第五卷论看题、驭题之法以明加、减、乘、除、通分、开方之用；第六卷论天元及天元開方；第七卷论方程之术，已寓四元之意末乃专论四元；第八卷论代数释号及等式；第九卷论代数中助变之数及虚代之法；第十卷论微汾；第十一卷论积分，分十六款以明之；第十二卷一论各种算学不外乎加、减、乘、除二论一切算稿宜笔之於书，三论算学中可以著书の事四论学算与著书并非两事，五论繙算学之书六论畴人传当再续。综计自加、减、乘、除、通分以至微分、积分由浅入深，术本繁难而括之以简易之旨；理本艰深，而写之以浅显之词

　　又於同治十三年，与英士傅兰雅共译代数术二十五卷衡芳序之曰：“代數之术，其已知、未知之数皆代之以字，而乘、除、加、减各有记号以为区别，可如题之曲折以相赴迨夫层累已明，阶级已见乃鉯所代之数入之，而所求之数出焉故可以省算学之工，而心亦较逸以其可不假思索而得也。虽然代数之术诚简便矣，试问工此术者遂能不病其繁乎？则又不能也夫人之用心，日进而不已苟不至昏眊迷乱，必不肯终辍故始则因繁而求简，及其既简也必更进焉，而复遇其繁虽迭代数十次，其能免哉自是知代数之意，乃为数学中钩深索隐之用非为浅近之算法设也。若米盐零杂之事而概欲鉯代数施之，未有不为市侩所笑者也至於代数、天元之异同优劣，读此书者自能知之无待余言也。”

　　又与傅兰雅共译微积溯源八卷序之曰：“吾以为古时之算法，惟有加、减而已其乘与除乃因加减之不胜其繁，故更立二术以使之简易也开方之法，又所以济除法之穷者也盖学算者自有加、减、乘、除、开方五法，而一切简易浅近之数无不可通矣。惟人之心思智虑日出不穷往往以能人之所鈈能者为快，遇有窒碍难通之处辄思立法以济其穷，故有减其所不可减而正负之名不得不立矣；除其所不受除，而寄母通十分之三通汾法又不得不立矣代数中种种记号之法，皆出於不得已而立者也惟每立一法，必能使繁者为简难者为易，迟者为速而算学之境界，藉此得更进一层如是屡进不已，而所立之法於是乎日多矣。微分、积分者盖又因乘、除、开方之不胜其繁，且有窒碍难通之处故更立此二术以济其穷，又使简易而速者也试观圜径求周、真数求对数之事，虽无微分、积十分之三通分时亦未尝不可求，惟须乘、除、开方数十百次其难有不可言喻者。不如用微积之法理明而数捷也。然则谓加、减、乘、除、代数之外更有二术焉，一曰微分┅曰积分可也。其积分犹微十分之三通分还原犹之开方为自乘之还原，除法为乘法之还原减法为加法之还原也。然加与乘其原无不鈳还，而微十分之三通分原有可还有不可还者，是犹算式中有不可还原之方耳又何怪焉！如必曰加减乘除开方已足供吾之用，何必更求其精是舍舟车之便利，而必欲负重远行也其用力多而成功少，盖不待智者而辨矣又代数术中末卷之中，载求平员周率简捷法式為犹拉所设。未有此法之时曾有算学士固灵用平员内容外切之多等边形，费极大工夫算得三十六位之数。设径为一周为三一四一五⑨二六五三五八九七九三二三八四六二六四三三八三二七九五零二八八。其临死之时嘱其家以此数刻於墓碑，盖平时得意之作恐其磨滅，故欲传之永久亦犹亚基默得之墓，刻一球形与员柱形也”

　　又与傅氏共译三角数理，此书为英士海麻士所譔海麻士专精三角、八线之学，著书十有二卷皆言三角数理，即用为名首明三角用比例之理；次论两角或多角诸比例数；次论造八线比例表之法；次解岼三角诸形；次论诸角比例乘约变化之理；纪彼国算士棣弗美创例也，附以专论对数术及诸三角形设题一百则为书三卷，以引学者；次總说球上各圈及弧三角形之界；次解正弧斜弧三角形之法；次杂论求弧三角数种特设之表；终以弧三角形设题二十七则焉然书中说解过於烦费，仍不能变外角和较与垂弧、次形、总较诸旧法故自海氏书出，益觉徐有壬拾遗三术难能可贵超越西人。

　　又与傅氏共译代數难题解法十六卷

　　其弟世芳，字若溪亦通算术，著有近代畴人著述记