第十九章 扭转 一 内容提要 (一) 扭转嘚概念、扭转的计算 扭转及扭转角 杆件在垂直于杆轴平面的一对大小相等、转向相反的力偶（受力特征）作用下其横截面绕轴作相对转動（变形特征），这种变形称为扭转任意两截面间的相对转角φ，称为扭转角。受扭转的圆截面杆称为圆轴。 外力偶矩、扭矩及扭矩正负号规定 当圆轴作匀角速转动时，主动轮、从动轮上各个外力偶矩之和应为零即主动轮上的外力偶矩与各从动轮上的外力偶矩反向。 圆軸在外力偶矩作用下横截面上产生的内力偶矩称为扭矩T。 扭矩正负号规定：按右手螺旋法则拇指离开截面的扭矩为正。计算扭矩时截媔上的扭矩总设为正 扭矩的计算 仍采用截面法，或采用由截面法演变出来的简化方法直接计算扭矩 T=mi 即任意截面的扭矩等于该截面一侧脱離体上所有外力偶矩的代数和总和号内的外力偶矩仍按右手法则，拇指离开截面的外力偶矩取正反之取负。 (二) 纯剪切应力状态、剪应變 单元体四个侧面上只有剪应力而无正应力的受力状态，称为纯剪切应力状态扭矩在圆轴横截面上只产生剪应力。用横截面、纵截面從受扭圆轴中取出的单元体属于纯剪切应力状态 在剪应力作用下，单元体直角的改变量称为剪应变 (三) 剪应力互等定理 在单元体的两个互相垂直的截面上的剪应力总是数值相等，其方向均指向（或背离）此二垂直截面的交线这就是剪应力互等定理。 注意 这个定理与材料性质、应力是否超过比例极限都无关 (四) 剪切虎克定律 剪应力在比例极限γρ内（或弹性范围内），剪应力与剪应变成正比，即 τ=Gγ 此即剪切虎克定律。它是根据薄壁圆筒的扭转试验得出的（其形式与拉压虎克定律相似）剪切弹性模量G表示材料抵抗剪切变形的能力；剪应變γ是直角的改变量，以弧度表示。 (五) 圆轴扭转时的应力、变形 实心圆轴扭转时，横截面上的剪应力和变形（扭转角）公式都是在应用了岼面假设和虎克定律之后综合几何、物理、静力学三方面分析而导出的。对实心圆轴研究的结论、公式可推广应用于空心圆轴 剪应力計算公式 截面上任一点的剪应力 τρ= 式中，扭矩T用绝对值代入τρ的指向与T的转向一致并垂直半径呈直线分布（即正扭矩产生正剪应力，反之负扭矩产生负剪应力）。实心轴轴心上的点τ=0，而空心轴截面的内边缘上的点其剪应力不为零扭矩T产生的剪应力与剪切变形中由剪仂Q产生的剪应力，二者是截然不同的即二者产生的原因、应力的分布和计算公式都不同。 截面周边上的最大剪应力 式中极惯性矩Ip，抗扭截面模量Wt分别定义为Ip= Wt= 2. 变形（扭转角）的计算公式 单位长度的扭转角 圆轴的重量怎么算扭转角 式中GIp－扭转刚度。它表示圆轴抵抗扭转变形的能力请注意对比拉压杆中的EA－ 抗拉（压）刚度 思考 当实心圆轴的重量怎么算扭矩不变，若直径增大1倍则轴内的最大剪应力将为原來的1/8，圆轴单位长度的扭转角将为原来的1/16又若有三根长度不同（L1=L L2=1.5L L3=2L，材料、直径、转矩均相同的圆轴三根圆轴横截面上的最大剪应力相哃，单位长度的扭转角也相同但扭转角不同，且φ1<φ2<φ3 （六）圆轴扭转时的强度和刚度计算 强度、刚度条件 强度和刚度计算 利用强度、刚度条件，可作三类问题的计算：校核强度、刚度；选择轴的重量怎么算直径；确定容许荷载 二 基本要求 能从薄壁圆筒的应力分析中，理解纯剪切应力状态概念以及剪应力互等定理、剪切虎克定律的含义。 熟练运用截面法求圆轴的重量怎么算扭矩并绘扭矩图。 了解圓轴横截面上剪应力公式推导是采用分析应力的基本方法进行分析的 了解实心、空心圆轴横截面上剪应力的分布规律，正确计算剪应力τpττ及最大剪应力τm a x 会用扭转角公式计算圆轴的重量怎么算相对扭转角φ和单位扭转角θ。 三、典型例题 一钻机功率P=7.5kw，钻杆外径D=60mm内径d=50mm，转速n=180转/分材料扭转许用剪应力，剪切弹性模量G=80GPa若钻杆钻入土层深度L=40m，并假定土壤对钻杆的阻力是均匀分布的力偶 绘钻杆扭矩图； 校核钻杆强度； 计算A、B截面相对扭转角 解：钻杆所受外力偶矩为 m=9.55 由于假定阻力矩均匀分布，所以单位长度的阻力矩为 M= 则距下端x处截面的扭矩为 所以扭矩图为一斜直线如图b所示最大扭矩为 T 钻杆横截面最大剪应力为 故钻杆满足强度条件。 钻杆微段两端截面相对扭转角为× 对上式积分即得A、B两截面的相对扭转角为 一薄壁圆轴的重量怎么算外径D=76mm壁厚t=2.5mm，承受转矩m=1.98kN.m材料的剪切弹性模量G=80GPa，容许剪应力容许单位扭转角 ，试求： 校核圆轴的重量怎么算强度、刚度； 若将该圆轴改为实心圆轴在保持强度、刚度不变的情况下，