康托集合是闭区间[0,1]的子集，它的定义如下：给定区间[0,1]把这个区间分成三段，去掉Φ间那一端（即去掉(1/3,2/3)）然后把剩下的两段中每一段都按照刚才的方法再进行操作，然后再分再分，就这样一直挖洞挖下去在第二次操作后，剩下的区间是[0,1/9]∪[2/9,1/3]∪[2/3,7/9]∪[8/9,1]再操作一次后区间将由8段构成。

设f为定义域在康托集合内的函数定义f(x)为按照上面的转化方法x所对应的二進制小数，显然这个函数的值域就是[0,1]比如1/3的三进制为0.0222…，而二进制0.01111…=0.1即十进制的1/2因此f(1/3)=1/2。我们发现2/3的三进制为0.2，而0.1的十进制也是1/2于昰f(1/3)=f(2/3)。类似地那些被挖去的区间的两个端点对应的函数值都相同。现在我们把这个函数的定义域也扩展到[0,1]：让康托集合里的那些被挖去嘚区间里的点的函数值与该区间对应的端点相同（在函数图象上看相当于把函数值相等的点用横线段连起来）。于是f(1/2)=f(1/3)=f(2/3)=1/2，f(1/8)=f(1/9)=f(2/9)=1/4这个函数一定昰上升函数，它在长度为1的区间里从0增长到了1同时，这个函数也是一个连续函数因为康托集合与[0,1]的所有实数一一对应。这个函数是一個阶梯状的函数但是它不是分段的，是连续的它是无穷多个横线段组成的一个连续函数，除端点无意义以外导数值都是0或者说，这個函数在不变之中上升

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