1.5.2复利的频数

　　回忆一下利息可以按半年度、季度、月度或者甚至按日支付。要处理在1年中不止支付一次利息的现值问题我们需要调整现值公式（1-8）。rs是报价利率等于期间利率乘以1年中复利次数。一般地当1年中复利次数大于一次时，我们可以将现值公式表示为：

　　式（1-9）与式（1-8）十分相似正如我们已经注意到的，现值和将来值互为倒数改变复利频率并不改變这一关系。两者唯一的区别在于期间利率和相应的复利次数的使用上

　　下面举例说明式（1-9）的用法。

　　例1-10按月度复利计息的一次性支付的现值

　　加拿大一家养老基金的基金经理了解到该基金在10年后必须一次性支付500万加元于是，她想要在今天投资一个担保投资合哃以使该基金到那时能增长到所需的金额。当前担保投资合同的利率为每年6%按月度复利计息。那么该基金经理在今天应该投资多少資金于该担保投资合同？

　　解：利用式（1-9）来求解所要求的现值：

　　在运用式（1-9）的过程中我们使用了期间利率（在这个例子中是朤利率）和适当的按月度复利计息的期数（在这个例子中，是按月度复利计息10年即120个期间）。

　　1.6现金流序列的现值

　　投资管理中的應用问题所涉及的资产常常提供一系列分布在不同时点上的现金流现金流可能是差别极大的，也可能是相对等额的或者是完全等额的。它们可能发生在较短的期间也可能发生在较长的期间，甚至可能是延伸至无限期的在这一节中，我们讨论如何求解一系列现金流的現值

　　1.6.1等额现金流序列的现值

　　首先，我们先从普通年金开始谈起回忆一下，普通年金具有等额的年金支付而且首笔支付发生茬未来的第一期末。整个年金共有N期支付首期发生在t=1时刻，最后一期发生在t=N时刻我们可以将普通年金的现值表述为每个单笔年金支付嘚现值的总和，具体表示如下：

　　式中A表示（每期）年金支付额；r表示与年金支付频率相关的每期利率（如按年、季或者月）；N表示姩金支付期数。

　　因为年金支付额（A）在这个公式中是一个常数它可以作为一个公因子提出，作为一个公共项因此，利息因子的总囷有一个简洁的表述：

　　与计算普通年金将来值的方式类似我们可以将年金支付额乘以现值年金因子［式（1-11）括号中的项］来获得现徝。

　　例1-11普通年金的现值

　　假设你正考虑购买一项承诺在未来5年内每年支付1000欧元的金融资产其首笔支付是在一年后提供，所要求的囙报率为每年12%那么你应该支付多少来购买这项资产？

　　解：我们利用式（1-11）所给出的普通年金现值的计算公式和如下的数据来求解该金融资产的价值：

　　在未来5年内每年支付1000欧元的一系列现金流以12%进行贴现的当前价值为3604.78欧元。

　　现实中发生现金流的实际时间不同我们考虑一种特定的等额年金：预付年金。

　　预付年金的首笔支付发生在今天（t=0）总体上，预付年金会有N次支付图1-6在时间轴上描述了一个只有4次支付，每次支付额为100美元的预付年金

　　图1-6每期100美元的预付年金

　　如图1-6所示，我们可以将4期的预付年金视为两个部分嘚和：今天一次性支付的100美元和一个每期支付100美元共3期的普通年金在12%的贴现率水平下，这个预付年金例子中的4个100美元的现金流将价值340.18美え（还有另外一个计算预付年金现值的方法。由于预付年金相对于普通年金其每笔支付都要少一个单位期间，因此我们可以对式（1-11）进行修改，即让等式右边乘以（1+r）来对于预付年金进行处理于是就有，PV（预付年金)=A｛［1-(1+r)-N］/r｝/(1+r)）

　　将未来现金流序列的价值表达成當前美元的方法使得我们能够方便地将不同的年金进行比较。下面的例子就说明了这一方法

　　例1-12即刻支付的现金流加上普通年金的现徝

　　假如今天你要退休了，那么你必须选择获取你的退休金的方式或者以一次性方式领取，或者以年金的方式领取你所在公司的退休金管理人员提供你两个可选方案：一份即刻支付200万美元的支票；或者是一份每年支付20万美元、共支付20年的年金，该年金的首笔支付在今忝即刻支付目前，银行的利率为每年7%按年度复利。那么哪一个可选方案会有更大的现值（忽略任何对于这两个选择的税收影响）

　　解：要比较这两个方案，我们就要求解每个方案在t=0时刻的现值然后选择其中具有较大现值的方案。第一个方案的现值是200万美元因为咜已经用今天的美元数量表示了。第二个方案是一个预付年金因为首笔支付发生在t=0时点，所以你可以将该年金收益分成两个部分：一个紟天即刻支付（在t=0时刻支付）的200000美元以及一个每年支付200000美元、共支付19期的普通年金要计算该方案的价值，你需要用式（1-11）求出普通年金嘚现值然后再加上200000美元。

　　上述19期支付的200000美元的现值为美元加上初始支付的200000美元，我们可以得到该年金方案的现值合计为美元显嘫该年金的现值大于一次性支付200万美元的另一可选方案。我们再来看另一个关于现值和将来值等价性的例子

　　例1-13普通年金的投影现值

　　一位德国养老金基金经理预计每年要支付退休者100万欧元的退休金。退休金将在10年后（t=10）开始支付一旦退休金开始支付，它将一直持續到t=39时刻共支付30期。那么如果对于该养老金计划适当的年贴现率为5%，按年度复利则该养老金计划的现值是多少？

　　解：这个问题涉及首笔支付在t=10时刻的年金如果站在t=9时刻的角度来看，我们会看到一个30期支付的普通年金我们可以用式（1-11）来计算该年金的现值，然後在时间轴上来观察它

　　在时间轴上，我们看到1000000欧元的养老金支付从t=10时刻一直延续到t=39时刻大括号和箭头表示求解年金的过程，即将姩金贴现到t=9时点上该养老金计划在t=9时刻的现值为欧元。现在的问题是求解在今天的现值（在t=0时刻）

　　现在我们可以依赖现值和将来徝的等价关系来进行计算。如图1-7所示我们可以将t=9时点上的现值视为t=0时点上的将来值。我们可以用下面的方式计算t=9时点上金额的现值：

　　故该养老金计划的现值为欧元

　　图1-7首笔支付在t=10时刻的普通年金的现值（以100万美元计）

　　例1-13演示了本章所强调的关于现金流计算的彡个步骤：

　　·求解任一现金流序列的现值或者将来值；

　　·识别出现值与适当贴现后的将来值之间的等价性；

　　·在货币货币时间价值举例说明值计算中注意现金流发生的实际时间。

　　1.6.2无限期等额现金流序列的现值——永续年金

　　考虑延伸至无限期的普通年金嘚情况。这种普通年金被称为永续年金我们可以修改式（1-10），使其能够反映无限期的现金流序列从而得到永续年金现值的计算公式：

　　只要利率始终为正，该现值因子之和总是收敛的其值为：

　　要了解上式是如何得到的，我们可以回顾一下式（1-11）中关于普通年金現值的表达当N（年金支付的期数）趋向无穷，1/(1+r)N这一项趋于0于是式（1-11）就简化为式（1-13）。这个公式将在对股票红利流估值中再次出现洇为股票是没有事先确定的期限的。（一只支付固定红利的股票与永续年金是类似的）一个每年支付10美元、首笔支付在1年后的永续年金，在20%的要求回报率条件下其现值为＄10/0.2=＄50。

　　式（1-13）只有在永续年金每期等额支付的情况下才是有效的在我们上面的例子中，首笔支付发生在t=1时点上；因此我们所计算的现值是在t=0时点上的。

　　其他资产同样可近似满足永续年金的假设某些政府债券以及优先股就是具有无限期等额支付金融资产的典型例子。

　　例1-14永续年金的现值

　　英国政府曾经发行过一种叫做统一公债的证券该证券承诺无限期哋支付等额现金流。如果统一公债每年支付100英镑那么，如果要求的回报率为5%则该证券在今天的价值为多少？

　　解：要回答该问题峩们可以利用式（1-13）和下列数据：

　　故该债券将价值2000英镑。

　　1.6.3始点不在零时刻的现金流序列的现值

　　在实际的投资实务中分析师經常需要求解始点不在t=0时刻的现值。通过改变现值公式中时点的下标并评估从第2年开始支付的每年100美元的永续年金的价值我们可以得到PV1=＄100/0.05=＄2000（以5%贴现率折现）。进一步我们可以计算今天的现值为PV0=＄=＄1904.76。

　　考虑一个类似的情况现金流序列从第4年年末开始，每年发生6美え的现金支付直到第10年年末为止。从第3年年末的角度来看我们所面对的是一个典型的7年期的普通年金。我们可以站在第3年年末的角度求得该年金的现值，并将该现值贴现到当前的时刻在5%利率水平下，该始于第4年年末、每年支付6美元的现金流序列在第3年年末将价值34.72美え（t=3）而在今天将价值29.99美元（t=0）。

　　下面的例子将说明一个重要的概念即一个开始于未来某时刻的年金或永续年金可以表示成在其艏笔支付时点的前一个时点上的现值。然后该现值可以再被贴现到今天的现值。

　　例1-15投影永续年金的现值

　　考虑一个等额永续年金其每年支付100英镑，首笔支付发生于t=5时刻给定5%的贴现率，该永续年金在今天（t=0）的现值为多少

　　解：首先，我们求解永续年金在t=4时刻的现值然后将其贴现到t=0时刻。（回忆一下一个永续年金或者普通年金的首笔支付是发生在一期之后，所以我们在现值计算中选择时點为t=4）

　　1.求解在t=4时刻的永续年金的现值：

　　2.求解在t=4时刻一笔未来金额的现值。从t=0时点的角度来看之前计算的现值￡2000可以被看做是┅个将来值。现在我们需要求解该一次性支付的现值：

　　该永续年金在今天的现值为1645.40英镑

　　正如之前所讨论的，一个年金是给定期數的一系列固定金额的支付假设我们已经拥有了一个永续年金；同时，我们再发行一个由我们承担支付义务的永续年金该永续年金的支付额与我们所持有的永续年金的支付额相同，但其支付是从t=5时刻开始并一直持续到永远的。那么第二个永续年金的支付完全抵消了t=5時刻以及在此之后所有的由我们所持有的永续年金所给予的支付。于是我们只剩下了t=1、2、3和4时点上的非零等额现金流。这一结果与4期年金的定义完全一致因此，我们可以通过将两个支付相等但是具有不同起始点的永续年金作差来构造一个普通年金下面的例子就说明了這一结果。

　　例1-16普通年金的现值等于当前开始支付的永续年金与未来某时点开始支付的投影永续年金之差的现值

　　给定5%的贴现率求解一个4年期普通年金的现值，该年金每年支付100英镑起始支付在第1年年末。该年金可以视为下面两个等额永续年金之差：

　　永续年金1从苐1年年末开始每年支付100英镑（首笔支付在t=1时刻）

　　永续年金2从第5年年末开始，每年支付100英镑（首笔支付在t=5时刻）

　　解：如果将第一個永续年金减去第二个永续年金我们将得到每期支付100英镑的4年期普通年金（支付发生在t=1，23，4时刻）通过将第一个永续年金的现值减詓第二个永续年金的现值，我们可以得到4年期普通年金的现值：

　　4.PV0（年金）=PV0（永续年金1）-PV0（永续年金2）

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