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AB商品价格比是5:3,分别上涨420元后,价格比是6:5.问AB商品原各多少元.
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设A的原价为5x元,B的原价为3x元那么A的现价是(5x+420)元,B的现价是(3x+420)元.(5x+420)/(3x+420)=6/55(5x+420)=6(3x+420)25x+207x=420x=605x=300,3x=180答：A商品原价300元,B商品原价180元.
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小学五年级奥数教程(3)
质数、合数、分解质因数1、若干名学生搬一堆砖，如果每人搬N块，则剩下20块没被搬走，如果每人搬9块，则最后一名学生只搬6块。共有（&& ）名学生。2、九个连续自然数中，最多有（4）个质数。3、用0，1，2，3，…9这10个数字组成六个质数，每个数字只用一次，每个质数小于500，共有（& ）种不同组成6个质数的方法。请把所有的方法写出来。4、五个连续自然数，每个数都是合数，这五个连续自然数和最小是（&&& ）。5、已知从1开始连续N个自然数相乘（1×2×3×…×N），乘积的末尾恰好有25连续的0。N最大的（& ）。6、将20表示成一些合数的和，这些合数的积最大是（&&&&&&& ）。7、在1×2×3×…×100的积中，从右边数第25个数字是（&&&&& ）最大公约数与最小公倍数1、五（1）班去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6个，如果减少一条船，正好每船坐9人，这个班有多少人？&2、有一个电子表，每走9分钟闪一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子表既响铃又闪灯，请问下一次既响铃又闪灯是几点钟？3、两个整数的最小公倍数为140，最大公约数为4，且小数不能整除大数，求这两个数。&4、一个数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，这个数最小是几？&5、一次会餐提供三种饮料，餐后统计，三种饮料共用65瓶，平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料，请问参加会餐的有多少人？&6、已知A与B的最大公约数为6，最小公倍数为84，且A×B＝42，B是多少？&7、两个数的最大公约数为12，最小公倍数为180，且大数不能被小数整除，求这两个数，&8、甲乙两数的最大公约数为75，最小公倍数为450，当这两个数分别为多少时，它们差最小？&9、已知A和B的最大公约数是31，且A×B＝5766，求A和B。&10、有一盘水果，3个3个地数余2个，4个4个数余3，5个5个数余4个，问这个盘子里最少有多少个水果？&11、有一个自然数，被6除余1，被5除余1，被4除余1，这个自然数最小是几？&12、把长120厘米，宽80厘米的铁板裁成面积相等，而且最大的正方形没有剩余，可以裁成多少块？&13、把长132厘米，宽60厘米，厚36厘米的木料锯成尽可能大的，同样大小的正方体木块，锯后不能有剩余，能锯成多少块？&14、一盒钢笔可以平均分给2、3、4、5、6个同学，这盒钢笔最小有多少枝？&15、用96朵红花和72朵白花做成花束，如果各花束里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，每束花里最少有几朵花？&16、从小明家到学校原来每隔50米安装一根电线杆，加上两端的两根一共是55根电线杆，现在改成每隔60米安装一根电线杆，除两端的两根不用移动外，中途还有多少根不必移动？&17、在一根长100厘米的木棍上，自左到右每隔6厘米染一个红点，同时自右到左每隔5厘米染一个红点，染后沿红点将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？&18、一筐梨，按每份两个梨分多1个，每份3个梨分多2个，每份5个梨分4个，则这筐里至少有多少个梨？&19、现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了三种水果各多少千克？&20、有三根铁丝，长分别是54米、72米和36米，要把它们截成同样长的小段，不许剩余，每段最长是多少米？21、有一个商店今年7月1日开业，有三个批发商从这个商店批货，甲每隔6天来一次，乙每隔8天来一次，丙每隔9天来一次，问这三个批发商在7月1日在碰面后，再过多少天他们还在这家商店碰面？到明年7月1日，他们一共碰面多少次？22、某厂加工一批零件，每个零件需要1个螺栓，3个丝扣，7个螺钉，已知每个工人每小时可以完成3个螺栓或12个丝扣或18个螺钉，要想能均衡生产，使每个零件都配上套，生产这三种零件各需要安排多少人？奇数和偶数一、奇数和偶数的性质（一）两个整数和的奇偶性。奇数＋奇数＝（　　），奇数＋偶数＝（　　），偶数＋偶数＝（　　）一般的，奇数个奇数的和是(&&& )，偶数个奇数的和是(&&& )，任意个偶数的和为(&&&& )。（二）两个整数差的奇偶性。奇数－奇数＝（　　），奇数－偶数＝（　　），偶数－偶数＝（　　），偶数－奇数＝（　　）。（三）两个整数积的奇偶性。奇数*奇数＝（　　），奇数*偶数＝（　　），偶数*偶数＝（　　）一般的，在整数连乘当中，只要有一个因数是偶数，那么其积必为（　　）；如果所有因数都是奇数，那么其积必为（　　　）。（四）两个整数商的奇偶性。　　在能整除的情况下，偶数除以奇数得（　　），偶数除以偶数可能得(&& )，也可能得(&& )，奇数不能被偶数整除。(五)如果两个整数的和或差是偶数，那么这两个整数或者都是(&&& ),或者都是(&&& ).(六)两个整数之和与两个整数之差有相同的奇偶性，即A+B、A-B奇偶性相同(A、B为整数)。(七)相邻两个整数之和为(&&& )，相邻两个整数之积为(&&& )。(八)奇数的平方被除余1，偶数的平方是4的倍 数。(九)如果一个整数有奇数个约数，那么这个数一定是完全平方数(1,4，9,16,25。。。。。是完全平方数)。如果一个数有偶数个约数，那么这个数一定不是完全平方数。巧妙地运用奇数和偶数的性质，可以解决很多数学问题。一、填空：1）在由自然数组成的自然数列的前100个数中，即从1到100中，共有（ ）个 奇数，共有（ &）个偶数。2）算式11+12+13+14+。。。。。。+89+90的得数的奇偶性为（ &&）。3）一群同学进行投篮球比赛，投进一球得5分，投不进得1分，每人都投进10次，这些同学得分总和的奇偶性为（ &）4）有一列数，它们的排列顺序是：前两个数为4、5，从第三个数起，每个数都是它前面两个数的和。这列数前1000个数（含第1000）中偶数有（&& ）个。5）每张方桌上放有12个盘子，每张圆桌上放有13个盘子。若共有盘子109个，则圆有（&& ）张，方桌有（&& ）张。6）1+2×3+4×5+6×7+。。。+100×101的和的奇偶性为（ &&&）。二、选择1）从3开始，根据后一数是前一数加上3，接连写出2000个数，排成一行：3,6,9，12,15,18,21。。。。，在列数中第1997个、第1998个数的奇偶性为(& )。A 奇数、偶数 B奇数、奇数C 偶数、偶数 D偶数、奇数2)已知三个数a,b,c的和是奇数，并且a-b=3，那么a,b,c的奇偶性适合(&&&& )A三个都是奇数要&& B两个奇数一个偶数C一个奇数两个偶数& D 三个都是偶数3)某数学竞赛，共20道题，评分标准是每道题答对给3分，不答给1分，答错扣1分。则参加竞赛学生总得分的奇偶性为(& )。A奇数&&& B偶数C 不能确定，与参赛学生数的奇偶性有关。D不能确定，与参赛学生答对题数的奇偶性有关。4)若5×3×a×9×b是奇数，则整数a,b的奇偶性适合(&& )。A& a奇b偶& B a奇b奇& C& a偶b偶& D a偶b奇5)若a+b+c=奇数，a×b×c=偶数，则a,b,c的奇偶性适合(& )。A 三个都是奇数& B 两个奇数一个偶数& C一个奇数两个偶数& D 三个都是偶数。6)若a,b,c是任意给定的三个整数，那么乘积(a+b)(b+c)(c+a)的奇偶性为(&& )A 奇数&& B 偶数C 不能确定，取决于a,b,c的奇偶性。D不能确定，取决于a,b,c的具体数值。7)已知a,b,c中有一个是1997，一个是1998，一个是1999，试判断(a-1)(b-2)(c-3)的奇偶性(&&& )A 奇数&& B 偶数C 不能确定，取决于a,b,c的奇偶性。D不能确定，取决于a,b,c的具体数值。三、解答题：1)如图是一所房间的示意图，数字表示房间号码，第一个房间与隔壁房间有门相通。小灵通想从1号房间出发，不重复地走遍这九个房间，又回到1号房间，他能做到吗。试着利用奇数偶数知识来解答。1234567892)有12张卡片，其中有3张上面写着1，有3张上面写着3，有3张上面写着5，有3张下面写着7。你能否从中选出五张，使它们上面的数字和为20，为什么？3)能否将自然数1,2，3,4，5,6，7,8，9分别填入右图的方格中，使得每个横行中的三个数之和是偶数？&&&&&&&&&4)在自然数中计算：前2个奇数的和：1+3=前3个奇数的和：1+3+5=前4个奇数的和：1+3+5+7=前5个奇数的和：1+3+5+7+9=。。。。。。观察下面的计算，寻找规律加以总结，并回答下列问题：(1)自然数中，按奇数的顺序，前n个奇数的和是多少？&(2)第n个奇数是多少？&并利用上面的规律计算：前2004个奇数的和是：1+3+5+7+。。。。。。&第2004个奇数是多少？前2004个偶数的和是多少？质数·合数·质因数分解　　1.（1）用2、3、4、5中的三个数码能组成哪些三位质数？　　（2）求用1、2、4、5、8中的三个数码能组成的最大三位质数。　　2.两个质数的和是39，求这两个质数的积。　　3.A、B、C为三个质数，A+B=16，B+C=24，且A&B&C，求这三个质数。　　4.A、B、C为三个小于20的质数，A+B+C=30，且A&B&C，求这三个质数。　　5.A、B、C为三个不同的质数，已知3A+2B+C=20，求A、B、C。　　6.A、B、C为三个不同的质数，已知3A+2B+C=22，求A、B、C。　　7.两个大于10的合数的和是31，求这两个数。　　8.两个自然数的和为20，积为96，求这两个数。　　9.四个小朋友的年龄一个比一个大一岁，他们年龄的乘积是7920，求这四个小朋友的年龄各是多少。　　10.写出十个连续的自然数，它们个个都是合数。　　11.把下列各数写成质因数乘积的形式：　　（1）3111 （2）1357 （3）1112111 （4）21112　　12.把下列各数写成质因数乘积的形式，并指出他们分别有多少个两位数的约数：　　（1）126 （2）6435 （3）46200　　13.在100到200之间找出两个整数，使其乘积等于30030。　　14.三个自然数的乘积为84，其中两个数的和等于另一个数。求这三个数。　　15.有1、2、3、4、5、6、7、8、9九张牌，甲、乙、丙各拿了三张。甲说：“我的三张牌的积是48”，乙说：“我的三张牌的和是15”，丙说：“我的三张牌的积是63”。　　问：他们各拿了哪三张牌？　　16.46305乘以一个自然数a，乘积是一个整数的平方。求最小的a和这个整数。　　17.把40、44、45、63、65、78、99、105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等。　　18.把39、45、49、56、60、70、78、84、91九个数分成三组，使每组中三个数的乘积都相等。　　19.2000年的哪几天，年数、月数和日数的乘积恰好等于三个连续的5的倍数的数（如5、10、15等）的乘积？　　20.求具有下列特征的质数：这个质数加上10或14后，其和仍是质数。　　21.某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？并将它们写出来。　　22.求出所有个位数字不同的最小合数（如：个位数字为5的最小合数是15）的和。　　23.用1、2、3三个数码，允许重复使用，可以组成哪些100以内的质数？　　24.用1、2、3三个数码，允许重复使用，可以组成哪些三位数的质数？　　25.从小到大写出五个质数，要求后面的质数都比它前面一个质数大12。　　26.九个连续自然数中最多有几个质数？为什么？　　27.九个连续自然数中最多有四个质数，例如1～9中有2、3、5、7四个质数。请在200以内再找出五组这样的质数。　　28.三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数。　　29.三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数。　　30.李明是个生，参加了全区的数学竞赛。他说：“我的名次、分数和我的年龄乘起来是4074”。你能算出他得了多少分，获得第几名吗？　　31.十几辆卡车运送315桶汽油，每辆卡车运的桶数一样多，且一次运完。问：共有多少辆卡车？　　32.李老师带领同学们去种树，学生们按人数恰好等分成三组。已知他们共种了312棵树，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过10棵。问：一共有多少个学生？每人种了几棵树？个位数的乘法性质　　33.四个连续自然数的积是3024，求这四个数。　　34.三个连续自然数的积是32736，求这三个数。　　35.证明：任意五个连续自然数的积的个位数字都是0。　　36.100！=1×2×3×… ×99×100，这个数的结尾共有多少个0？　　37.要使下面乘积的最后四位数都是0，在括号内最小应填什么数？　　475×195×516×（ ）　　38.有一列自然数：1、4、7、10、……、397、400，其中后面的数都比前面一个数大3。现在将这些数相乘，问：乘积的尾部有多少个0？　　39.把自然数从1开始作连乘积，即　　1×2×3×4×……　　问：当乘到多少时，乘积的最末十位数字第一次全为0？　　40.将一批图书分给三个班，他们所得的本数一个班比一个班多3本，且各班所得图书本数的乘积为58968。问：三个班各得多少本图书？　　41.某班同学做体操时正好可以排成一个行与列相等的方阵，做完操后，老师让班长按5人一组分组活动，班长算了一下就说：“5人一组分组还多两人”老师马上说：“你一定算错了”，你知道老师这样说的根据吗？　　42.求出下列各数的个位数字：　　（1）2100 （2）3128 （3）7231 （4）899　　43.求出下列各数的个位数字：　　（1）999999 （2）444444　　44.求下列各式所得结果的个位数字：　　（1）+41994　　（2）367×876+431　　（3）12　　45.若1×2×3×……×n+4是两个相邻自然数的乘积，试确定n的值。　　46.八个小于20的不同正奇数的连乘积，其个位数可能有哪些？　　47.求出下列各数的后两位数字：　　（1）623 （2）1510 （3）2197 （4）8920　　48.若（1×2×3×…×n）+3是一个自然数的平方，试确定n的值。　　49.已知四个数35□2、3□57、3□36、□329，其中哪几个可以写成完全平方数，这几个完全平方数分别是几？　　50.一个自然数的四次方的个位数字可能是哪些数？　　51.n是自然数，（n3-n）×（n3+n）的个位数字是几？　　52.已知n是一个小于10的自然数，n4-1不能被5整除，求n。　　53.证明：299+399能被5整除。　　54.证明：是10的倍数。　　55.形如2p-1（p是质数）的质数称为梅森质数，现在人们已知的最大的梅森质数是，求它的个位数。　　*56.形如22n+1（n为非负整数）的数称为费尔马数。求证：当n≥2时，费尔马数的个位数字为7。　　57.是否存在自然数n，使得n2+n+7是15的倍数？为什么？　　58.证明：n2+2n+4（n为自然数）不能被5整除。整除性　　59.请将下列各数分别按能被2、3、5、7、11、4、6、9、15、25整除分类：　　，，2772，　　2873， 2898， 3180， 8415， 8925。　　60.五个连续自然数的和能分别被2、3、4、5、6整除，求满足此条件的最小的一组数。　　61.三个数分别是375、766、950，请再写一个比994大的三位数，使这四个数的平均数是一个整数。　　62.个位数是5，且能被3整除的四位数共有多少个？　　64.求各位数字都是7，并能被63整除的最小自然数。　　65.用3、8、8、3这四个数码能排成多少个四位数？其中有多少个能被11整除？　　66.用1、9、9、3这四个数码能排成多少个四位数？其中有多少个能被7整除？　　67.用1、2、3、4这四个数码可以组成24个没有重复数字的四位数，其中能被11整除的有哪些？　　68.从2、3、5、7四个数中任选三个能组成哪些能被75整除的没有重复数字的三位数？如果是从2、3、5、7、8这五个数中任选四个呢？　　69.请在四位数578□的个位上先后填入三个数字，使所得的三个四位数能分别被6、9、11整除。问：先后填入的三个数字之和是多少？　　70.在□内填入适当的数，使得下列的六位数能被33整除（求出所有的解）：　　（1）□5549□ （2）716□□2 （3）□3□769　　71.已知五位数8□6□5能被75整除，且各个数位上的数字各不相同，方框内的数字有几种填法？　　72.在□内填入适当的数，使得下列的五位数能被72整除（求出所有的解）：　　（1）□14□6 （2）3□76□　　（3）3□8□8 （4）□8□52　　73.在□内填入适当的数，使得下列的六位数能被44整除（要求所有的解）：　　（1）□1992□ （2）1□993□ （3）19□9□4　　74.在□内填入适当的数字，使得下列的五位数能被9整除，并且后两位数字能被7整除（求出所有的解）：　　（1）4□17□ （2）□85□4 （3）37□3□　　75.求出能被11整除，首位数字是4，其余各位数字均不相同的最大和最小的六位数。　　76.已知自然数2*3*4*5*1能被11整除，问：*代表数码几？　　77.已知四位数7**1能被9整除，问：*代表数码几？　　78.在8264的左右各添一个数码，使新得到的六位数能被45整除。　　79.在358后面补上三个数码组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，这样的六位数中最小的是几？　　80.在451后面补上三个数码组成一个六位数，使这个六位数能被783整除，应当怎样补？　　81.一个自然数与19的乘积的最后三位数是321，求满足此条件的最小自然数。　　82.有一个1993位的数A能被9整除，它的各位数字之和为a，a的各位数字之和为b，b的各位数字之和为c。求c等于多少？　　83.从1～9这九个数中选出五个不同的数字组成一个五位数，要求它能被3、5、7、11整除，这个数最大是几？　　84.从1～9这九个数中选出六个不同的数字组成一个能被11整除的六位数，求出这样的六位数中最大的与最小的两数之和。　　85.用1～9这九个数码组成一个没有重复数字的能被11整除的九位数，这样的九位数有31680个，求出其中最大的和最小的。　　86.从0、1、2、4、8、9六个数码中选出四个组成一个没有重复数字的四位数，其中能被11整除的有几个？能被11整除的数中最大数与最小数的差是多少？　　87.用1、3、5、7、9这五个数码可以组成120个没有重复数字的四位数，把其中能被3整除或能被11整除的数按从小到大排列起来，第10个数是几？　　88.111…11是各位数字都是1的自然数，并且是7的倍数，求这样的数中最小的。　　90.已知A是一个自然数，它是15的倍数，并且它的各个数位上的数码只有0和8两种。问：A最小是几？　　91.有一个四位数，它的十位和个位数字都是5，又知道这个数减去6就能被7整除，减去7就能被8整除，减去8就能被9整除。求这个四位数。　　92.一个三位数的百位、十位、个位数字分别是5、a、b，将它接连重复写99次成为：如果所成之数是91的倍数，问：这个三位数5ab是几？　　93.用1～9这九个数字每个数字各一次，组成三个能被9整除的三位数，要求这三个数的和尽可能大，求这三个数。　　94.三个数的和是555，这三个数分别能被3、5、7整除，而且商都相同，求这三个数及相同的商。　　95.在1～13中任意取两个不同的数相乘，可以得到许多不相等的乘积，在所有这些不同的乘积中有多少个能被6整除？　　96.小马虎买了72支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辩认，总价数字也不全，只能认出：□11.4□元（□表示不明数字）。你能帮助小马虎找出不明数字吗？　　97.小明买了六支铅笔、两支圆珠笔、三本笔记本和七块橡皮，总共用去二元九角钱。已知圆珠笔三角九分一支，橡皮六分一块，售货员算错帐了吗？　　98.商店里有六箱货物，分别重15、16、18、19、20、31千克，两个顾客买走了其中五箱。已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍。问：商店剩下的一箱货物重多少千克？　　99.有一水果店进了六筐水果，分别装着香蕉和桔子，重量分别为8、9、16、20、22和27千克。当天只卖出一筐桔子，在剩下的五筐中香蕉的重量是桔子重量的2倍。问：这天水果店进了多少千克香蕉？　　100.减数、被减数与差三者之和除以被减数，商是多少？　　101.55个苹果分给甲、乙、丙三人，甲的苹果个数是乙的2倍，丙最少但也多于10个。问：三人各得多少苹果？　　102.四名学生做加法练习：任写一个六位数，把它的个位数字（不等于0）拿到这个数最左边一位数字的左边得到一个新的六位数，然后与原六位数相加，他们的得数分别为8741、 5267，结果只有一名同学做对了。问：正确答案是几？　　103.五年级七个班都有同学参加了春游，一至七班参加的人数依次为4、6、7、8、9、12、17，其中有六个班的同学爬山和划船，爬山的人数是划船人数的4倍，另外一个班的同学去观赏植物。问：观赏植物的是哪个班？　　104.证明：任意两个连续奇数的和一定是4的倍数。　　105.证明：任意两个连续偶数的乘积是8的倍数。　　106.证明：任意三个连续偶数的和一定是6的倍数。　　107.证明：任意三个连续奇数的和一定是3的倍数。　　108.证明：任意三个连续自然数的乘积是6的倍数。　　109.证明：任意两个自然数的和、差、积中，至少有一个能被3整除。　　110.证明：一个三位数减去它的各个数位的数字之和后，必能被9整除。　　111.一个三位数减去它的各个数位的数字之和，其差还是一个三位数　　112.证明：任何一个三位数，连着写两遍得到一个六位数，这个六位数一定能被7、11、13整除。　　*113.证明：如果不大于四位数的自然数能被99整除，则它的各个数位的数字之和能被18整除。　　114.将一个两位数的十位数字与个位数字对调，得到一个新的两位数。证明：这两个两位数字之差（大数减小数）能被9整除。　　115.任取一个三位数，将其中的数字顺序做任意调整，得到一个新三位数。证明：这两个三位数字之差（大数减小数）必是9的倍数。　　116.证明：1110-1能被100整除。　　117.试求一个四位的完全平方数，它的前两位数字相同，后两位数字也相同。　　118.填入适当数码，使得下面的四位数能被81整除，并且千位数与百位数、百位数与十位数，十位数与个位数所形成的三个两位数都是质数：　　（1）7□□□ （2）□1□□　　119.填入适当数码，使得下面的四位数能被11整除，并且千位与百位、百位与十位、十位与个位所构成的三个两位数都是3的倍数，前三位数字和后三位数字所构成的两个三位数都是4的倍数：　　（1）1□□□ （2）□□□0　　120.1～9九个数字按图2-20所示的次序排成一个圆圈请你在某两个数　　　它们都包含1、2、3、4、5、6、7这七个数字。证明：A不能被B整除。　　122.用六个2和若干个0组成的整数是否有可能是完全平方数？　　123.证明：111不是完全平方数。　　124.证明：三个连续自然数的立方和必能被9整除。约数与最大公约数　　125.一个数是四个2，三个3，两个5，一个7的连乘积，求这个数的最大的两位数的约数。　　126.写出下列各数的所有约数：　　（1）12 （2）54 （3）60 （4）84　　（5）105 （6）120 （7）126 （8）225　　127.求只有8个约数但不大于30的所有自然数。　　128.给出一个自然数n，n的所有约数的个数用T（n）表示。（1）求T（42）；（2）求满足T（n）=8的最小自然数n；（3）若T（n）=2，问n是怎样的数？　　129.求小于1000的只有15个约数的最大自然数。　　130.给出一个自然数n，n的所有约数的和用S（n）表示，求S（24）和S（360）。　　131.给出一个自然数n，所有小于n且与n互质的自然数的个数用B（n）表示。证明：当n&2时，B（n）是偶数。　　132.一个数如果等于除它本身以外的所有约数之和，则称此数为完全数。已知30以内有两个完全数，请将它们找出来，并请你找出496、996、4128中哪几个是完全数。　　133.由24名战士组成的一个分队，可以用8种形式来编组：24×1、12×2、8×3、6×4、4×6、3×8、2×12、1×24（即按每组1人、2人、3人、4人、6人、8人、12人、24人编组）。那么，一个可以用12种形式编组的队伍至少有多少人？　　134.把144颗糖平均分成若干份，每份在10至40颗之间，共有多少种分法？　　135.某商店把几十个单价原为0.2元的转笔刀降价后全部售出，共卖得2.53元。问：降价后单价多少元？　　136.筐里共有84个苹果，要求每次拿出的个数一样多，拿若干次正好拿完。问：共有多少种拿法？　　137.求下列各组数的最大公约数：　　（1）108，144 （2）225，420　　（3） （4）462，726　　（5）216，168，450 （6）144，336，648　　（7）480，315，210 （8），2695　　138.把21、26、65、99、10、35、18、77分成若干组，要求每组中任意两个数都互质，至少要分成几组？如何分？　　139.a、b两数的最大公约数是12，已知a有8个约数，b有9个约数，求a和b。　　140.用辗转相除法求下列各组数的最大公约数：　　（1） （2）　　（3）2 （4）1　　141.用1～9这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数。　　142.将1～7这七个数分别填入图2-21的七个□内，其中已填好了三个，使得到的三个数中任意两个都互质。　　143.现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数最大可以到多少？　　144.96个小朋友围成一圈，从某个小朋友开始进行1～15报数。如果报数一圈一圈地循环进行下去，问：有没有人1～15这15个数都报过？为什么？第一个小朋友报过几个数字？　　145.78个小朋友围成一圈，从某个小朋友开始进行1～18报数。如果报数一圈一圈地循环进行下去，问：至多有多少个小朋友报过数字1？有没有人同时报过5和10？　　146.为了搞农田科学实验，需要将一块长75米、宽60米的长方形土地划分成面积相等的小正方形土地。问：小正方形土地的最大面积是多少？　　147.一块长方形的纸片，长96厘米、宽60厘米，把它们裁成同样大小的正方形而无剩余，至少可裁成多少块？　　148.有三根钢管，分别长200厘米、240厘米和360厘米。现在要把这三根钢管截成尽可能长而且又相等的小段，一共能截成多少段。　　149.有336个苹果、252个桔子、210个梨，用这些果品最多可分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少。　　150.有一级茶叶144克，二级茶叶180克，三级茶叶240克，价值相等。现将这三种茶叶分别等分装袋（均为整克数），每袋价值相等，要使每袋价值最低应如何装袋？　　151.用96朵红花和72朵黄花扎成花束，如果每束的红花朵数相同，黄花朵数也相同，问：每个花束里至少有几朵花？　　152.学校开展军训活动，参加军训的男生、女生和青年教师共444人，他们的人数之比是6∶5∶1。如果分小组活动，每组中男生、女生和青年教师的人数分别相等，那么最多可分为几组？每组中男生、女生和青年教师各多少人？　　153.有一个大于1的自然数，用它除498、447和379得到相同的余数，求这个自然数。　　154.两个小于150的数的积是2028，它们的最大公约数是13，求这两个数。　　155.写出三个小于20的自然数，使它们的最大公约数是1，但两两均不互质。　　156.试用2、3、4、5、6、7六个数码组成两个三位数，使这两个三位数与540的最大公约数尽可能大？倍数与最小公倍数　　157.修改五位数31743的某一个数字，可以得到823的倍数。问：修改后的五位数是几？　　158.修改四位数7161的某一个数码可以得到137的倍数，修改后的四位数是几？　　159.两个数的和是836，其中一个数的末尾是0，如果把这个0抹去就与另一个数相等，这两个数各是多少？　　160.把316这个数表示为两个数的和，使其中一个是13的倍数，另一个是11的倍数，求这两个数。　　161.将300分成两个三位数之和，使其中一个是9的倍数，另一个是17的倍数。　　162.十个连续的三位数最大的不超过130，这十个数的和是77的倍数，求这十个数。　　163.两个数的最大公约数是6，最小公倍数是144，求这两个数。　　164.两个数的最大公约数是18，最小公倍数是180，两个数的差是54，求这两个数的和。　　165.a、b两数的最大公约数是19，最小公倍数是266。求证：这两个数的和或者能被9整除，或者能被15整除。　　166.把1的乘积写成它们的最大公约数和最小公倍数的乘积形式。　　167.已知两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。（1）求这两个数的积；（2）满足已知条件的自然数有哪几组？　　168.已知两个数的积是77976，它们的最小公倍数是684。（1）求它们的最大公约数；（2）满足已知条件的自然数有哪几组？　　169.已知a与b、a与c的最大公约数分别是12和15，a、b、c的最小公倍数是120，求a、b、c。　　170.已知a与b的最大公约数是10，a与c、b与c的最小公倍数都是90。问：满足此条件的自然数a、b、c有多少组？　　171.已知a与b、a与c、b与c的最小公倍数分别是60、90和36。问：满足此条件的自然数a、b、c有多少组？　　172.四个连续奇数的最小公倍数是6435，这四个数中最大的一个数是几？　　173.字母A、B、C、D、E、F和数字1、9、9、3分别按以下方式变动次序：　　问：最少经过多少次变动后，字母和数字将变回原来的顺序？　　174.拖拉机前轮直径64厘米，后轮直径96厘米，拖拉机开动后，前轮至少转多少圈，才能使前、后轮同时着地的两点重新同时着地？　　175.柴油机上有甲、乙两个互相咬合的齿轮，分别有72和28个齿。问：其中某一对齿两次相遇时，两个齿轮至少各转了多少圈？　　176.水星绕太阳一周需88天，金星绕太阳一周需225天，假设某一时刻，太阳、水星和金星在同一直线上，问：这三个星体至少过多少天才能又在同一直线上？　　177.有一种电子钟，每到正点响一次铃，每过九分钟亮一次灯，如果中午12点整它既响铃又亮灯，问：下一次既响铃又亮灯是什么时间？　　178.甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分钟、1分15秒和1分30秒。问：三人同时从起点出发，多少时间后他们又在起点相会？　　179.学校开运动会，在400米环形操场边上每隔16米插一杆彩旗，共插了25杆。后来又增加了一些彩旗，就把彩旗的间隔缩短了，起点的彩旗不动，重新插完后发现，一共有5杆彩旗没动。问：现在彩旗的间隔是多少米？　　180.大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长，亮亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。问：这个花圃的周长是多少米？　　181.一排电线杆每两根的距离为45米，现在要改为60米，如果起点的一根不动，再过多远又有一根不需要移动？　　182.长方形砖长42厘米、宽26厘米，用这种砖铺成一块正方形地，至少需要多少块砖？　　183.一张试卷共21道题，答对一道给8分，答错一道扣6分。小明答了全部题目，但总分为0分，小明答对了多少道题？如果小明得了98分呢？　　184.主人给雇工的劳动报酬是：每天工作超过12小时给一枚银币，价值72便士，超过8小时不足12小时给一枚铜币，价值27便士。若干天后工人得到的银币和铜币的价值正好相等。问：此时工人至少已经给主人工作了多少小时？　　185.有一篮子鸡蛋，如果按每四个一堆分多一个，按每五个一堆分也多一个，按每六个一堆分还是多一个，这篮鸡蛋至少有多少个？　　186.有一堆桔子，如果按10个、9个、8个或7个一堆分都多1个，这堆桔子至少有多少个？　　187.有一堆苹果约一千多个，3人、5人、7人和11人都能平分，这堆苹果有多少个？　　188.团体操排练时，要求队伍变成12行、15行和16行，队形都能排成矩形，问：至少要有多少人参加团体操？　　189.参加学校运动会开幕式的运动员不足1000人，运动员等分成四队入场，入场后各队若排成12或14路纵队，则最后一排为8人，若排成8路纵队正好。问：参加开幕式的运动员有多少人？　　190.一支队伍不超过1000人，列队时按2人、3人、4人、5人和6人一排，最后一排都缺1人，改为7人一排时正好。问：这支队伍共有多少人？　　191.一支队伍不超过8000人，列队时按4人、5人、6人、7人和8人一排，最后一排都缺3人，改为11人一排时最后一排只有3人。问：这支队伍共有多少人？　　192.加工某机器零件需经过三道工序，第一道工序每个工人每小时可以完成8个，第二道工序每个工人每小时可以完成12个，第三道工序每个工人每小时可以完成9个。要使均衡生产（指各道工序在同一时间内所加工的零件数相同），三道工序至少各分配多少人？　　193.火星、地球和金星绕太阳一周分别需要687天、 365天和225天，假定在某一时刻，火星、地球、金星和太阳位于同一直线上，问：这四个星体至少过多长时间才能又位于同一直线上？　　194.文化补习班的教材不够，暂时每两人用一本语文课本，每三人用一本数学课本，每四人用一本外语课本，全班共用了91本课本。问：全班有多少人？　　195.在下表中，上排的数字按1～9周期变化，中排的数字按1～6周期变化，下排的数字按1～4周期变化。将每列的上、中、下三个数字组成一个数组，如第1列的数组为（1，1，1），第8列的数组为（8，2，4），问：　　（1）共有多少种不同的数组？　　（2）第1993列数组是什么？　　196.某公共汽车站有三条线路的公共汽车，第一条线路每隔5分钟发车一次，第二、三条线路分别每隔6分钟和8分钟发车一次。三条线路在同一时间发车后，再过多少时间又同时发车？　　197.爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？　　198.对于定数a，将等差数列中所有大于a的项都减去a，如果还大于a则再减去a，…，这样得到的各项都不大于a的数列称为以a为界的等差数列。如等差数列1、5、9、13、17、21、…，其以10为界的等差数列为1、5、9、3、7、1、…。图2-22的第一、二、三排分别为以10、20和30为界的等差数列。问：　　（1）到第几项时，三排的数再次都是1？　　（2）到第几项时，一、二、三排的三个数第一次出现1、11、11？图2-22余数与同余　　199.已知两个数被13除分别余7和10，问：这两个数的和被13除余几？　　200.写出所有除以13余5的两位数。　　201.1111除以一个两位数，余数是66，求这个两位数。　　202.写出所有除以5所得商和余数相同的自然数。　　203.求下列算式的余数：　　　　　204.求下列算式的（不完全）商的个位数字：　　　　　205.已知两个自然数a和b（a&b），如果a和b除以7的余数分别为3和6，求a+b，a-b，a2+b2，a2-b2各自除以7的余数。　　206.用1～9九个数码连续不断地排列成一个一百位数　　4567891……　　这个一百位数除以9余几？　　207.求下列各数除以11的余数：　　208.将自然数1～40从左至右依次排列成一个71位数，求这个数除以11的余数。　　209.求分别满足下列条件的最小自然数：　　（1）用3除余2，用5除余1，用7除余1；　　（2）用3除余1，用5除余2，用7除余2；　　（3）用3除余2，用7除余4，用11除余1。　　210.一个自然数在之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3。求这个自然数。　　211.有一类自然数，其中每一个数与2的和都是5的倍数，与5的差都是6的倍数。问：这类自然数中最小的是几？　　212.有一类自然数，其中每一个数与5的和都是9的倍数，与5的差都是7的倍数。请按从小到大的顺序写出这类自然数中的前三个。　　213.科学家进行一项科学实验，每隔5小时做一次记录，做第12次记录时，挂钟的时针恰好指向9。问：第一次记录时，时针指向几？　　214.甲、乙、丙、丁四人分扑克牌，先给甲3张，再给乙2张，再给丙1张，最后给丁2张，然后再按照甲3张、乙2张，……的顺序发牌。问：最后一张（第54张）牌发给了谁？　　215.节目的街上挂起了长长一排彩灯，从第一盏开始，按照5盏红灯、4盏黄灯、3盏绿灯、2盏蓝灯的顺序周而复始地排下去。问：第1993盏灯是什么颜色？　　216.在2×2的方格中有A、B、C、D四个字母（图2- 23），第一次上下两排交换位置，第二次左右两列交换位置，第三次又上下交换，第四次又左右交换，……，这样一直进行下去。请在图中填上第100次交换后各字母的位置。　　217.某班学生列队时，排三路纵队多1人，排四路纵队多2人，排五路纵队多3人。问：这班学生至少有多少人？　　218.有一个数除以3余2，除以4余1，问：此数除以12余几？　　219.678除以一个数的不完全商是13，并且除数与余数的差是8，求除数和余数。　　220.已知1993年元旦是星期五，问：再经过天是星期几？　　221.已知1993年的元旦是星期五，问：　　（1） 2000年的六月一日是星期几？　　（2）1993年元旦后的第19932天是星期几？　　222.今天是星期日，如果今天算第一天，问：　　（1）第1000天是星期几？　　（2）第365365天是星期几？　　（3）第100个星期日是第几天？　　223.从日12时起，过10000分钟后是哪年哪月哪日的几时几分？　　224.求下列各式的余数：　　（1）7321÷2 （2）4114÷4 （3）　　（4） （5）89100÷72 （6）5757÷29　　225.计算下列各式的余数：　　（1）8÷7 （2）÷9　　（3）×4787÷13 （4）×6047÷11　　（5） （6）2÷83　　*226.求下列各式的余数：　　（1）2123÷6 （2）4848÷5 （3）10100÷7　　（4）345÷7 （5）5100÷11 （6）1013÷13　　*227.求的余数。　　*229.将一批货物共328千克装入纸箱，每箱13千克，最后余多少千克？　　230.证明：任何一个奇数的平方除以8的余数为1。　　231.证明：R2+n+2（n为自然数）不能被3整除。　　232.求证：在11，111，，…中，任何一个数都不是自然数的平方。　　233.被除数比除数的3倍多1，并且已知被除数、除数、商和余数的和是81，求被除数和除数。　　234.一个整数除以15余2，被除数、商和余数的和是100，求被除数和商。　　*235.70个数排成一排，除了两头的两个数外，每个数的3倍恰好等于它两边两个数的和。已知最左边的几个数是：0，1，3，8，21，…，问：最右边的一个数除以6的余数是几？　　236.在小于1000的自然数中，除以18及33而余数相同的数有多少个？　　237.有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差11。求这个数。　　238.用一个整数去除454和546所得的余数都是17，求这个数。　　239.有一个大于1的整数，除365、450、314所得的余数都相同，求这个数。　　240.有一个整数，除、1048所得的余数都相同且大于5，求这个数。　　241.用一个自然数去除3749余5，除3457余1，除3985余25，求这个数。　　242.用一个自然数去除1850余2，除1330余70，除1552余10，求这个数。　　243.两个数的和是357，用较大的数除以较小的数商5余15。求这两个数。　　244.有一个整数，用它去除70、98、143得到的三个余数之和是29。求这个数。　　245.有一个整数，用它去除167、318、430得到的三个余数之和是61。求这个数。　　246.计算11+3×1111+…+被7除所得的余数。　　248.餐厅有坐11人和9人的两种餐桌，一班和二班来了同样多的人就餐，一班坐大桌，二班坐小桌，结果二班比一班多使用了一张桌子。后来，两班又各来了1人，这时两班使用的桌子就一样多了。最后，两班又各来了1人，这时二班又比一班多用了一张桌子。问：最后两班共有多少人就餐？　　*249.两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人，两代表团坐满若干辆车后，第一个代表团余下的13人与第二个代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，第一个代表团的每个成员与第二个代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，问：拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？　　250.有四个不同的自然数，其中任意两个数的和是2的倍数，任意三个数的和是3的倍数。为使这四个数的和尽可能小，这四个数分别是几？　　251.号码分别为37、57、77和97的四名运动员进行乒乓球比赛，规定每两人比赛的盘数是他们号码的和除以3的余数，那么打球盘数最多的运动员是几号？他打了多少盘？数的整除特征　　同学们都知道，两个整数做除法运算时（除数不为0），它们的商有时是整数，有时不是整数.例如：　　对于整数a与b（b≠0），若存在整数q，使等式a=bq成立，则称b整除a，或a能被b整除.这时，称a是b的倍数，b是a的约数，并记作&　　整数的整除性质：　　1.如果整数a、b都能被整数c整除，那么（a＋b）与（a-b）也能被c整除.　　2.几个整数相乘，如果其中有一个因数能被某一个整数整除，那么它们的积也能被这个数整除.　　3.如果一个整数能被两个互质数中的每一个整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除.反过来，如果一个整数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质的数整除.　　数的整除特征：　　1.末位数字是偶数的整数能被2整除；末位数字是0或5的整数能被5整除；末两位数是4（或25）的倍数的整数能被4（或25）整除；末三位数是8（或125）的倍数的整数能被8（或125）整除.　　2.各位数字之和能被3（或9）整除的整数，能被3（或9整除）.　　3.若一个整数的奇数位数字的和与偶数位数字的和的差能被11整除，则这个数能被11整除.问题21.1四位数57A1能被9整除，求A.分析 四位数57A1的各位数字的和应是9的倍数.解 5＋7＋A＋1=A＋13.　　∵四位数57A1能被9整除，　　∴A＋13应是9的倍数，　　∵0≤A≤9，∴13≤A+13≤22.　　故 A＋13=18，∴A=18-13=5.问题21.2 六位数a8919b能被33整除，求a与b.分析 此六位数应同时是3与11的倍数.解 33=3×11.∵a8919b能被33整除，　　∴ a8919b同时是3与11的倍数.　　故a+8+9+1+9+b=27+a+b应是3的倍数，　　且（a+9+9）-（8+1+b）=9+a－b应是11的倍数.　　∵9+a-b是11的倍数,　　∴ a-b=2.故a-b是偶数.　　∵ a+b与 a-b同为奇数或同为偶数，　　∴a+b为偶数.　　∵ 27+a+b是3的倍数，∴a+b是3的倍数.　　∵ a≠0，∴a＋b≠0.　　∵a－b=2，∴a+b≠18.　　故a＋b=6或 12.又a-b=2，　　∴ a=4，b=2或a=7，b=5.问题21.3 在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除，且使这个数值尽可能小.求这个六位数.分析 根据一个整数分别被3、4、5整除的特征，通过分析推理，探求应补上的三个数字.解 设所求的六位数为568abc.　　568abc能被5整除， ∴ c=0或 5.　　∵568abc能被4整除， ∴c=0.　　要使568abc的数值尽可能地小，则二位数bc=20.　　568abc能被3整除，　　5+6+8+a+b+c=21+a是3的倍数.　　要使568abc尽可能地小，故a=0.　　所以，所求的六位数为568020.问题21.4 任意一个三位数连着写两次得到一个　　六位数，这个六位数一定同时能被7、11、13整除.这是为什么？分析 用字母表示这个六位数.　　　　所以这个六位数能同时被7、11、13整除.问题21.5 有72名学生，共交课间餐费a527b元，每人交了多少元？分析 先求a和b代表的数字.解 把单位由元改为分，可a527b为72的倍数.　　因为72=8×9，所以a527b应同为8和9的倍数.　　因为a527b为8的倍数，所以27b为8的倍数，故b=2.　　因为a527b为9的倍数，所以a+5+2+7+b=16+a为9的倍数，故a=2.　　因此，a527b=2÷72=351（分）.　　答：每人交了3.51元.问题21.6 从0、3、5、7四个数字中任选三个，排成能同时被2、3、5整除的三位数.这样的三位数共有几个？分析 能同时被2、3、5整除的自然数，其个位数字应为0，各位数字之和应是3的倍数.解 因为所求的三位数能同时被2、5整除，所以这个三位数的个位数字为0.　　因为所求的三位数能被3整除，所以这个三位数的各位数字之和应是3的倍数.　　故所求的三位数为570或750，共2个.问题21.7 用1、2、3、4、5、6、7、8、9（每个数字用一次）组成三个能被9整除的、和尽可能大的三位数，这三个三位数分别是多少？分析 所求的三个三位数能被9整除，那么它们的各位数字之和分别能被9整除.解1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45.　　因为所求的三个三位数都能被9整除，所以它们的各位数字之和分别能被9整除，故这三个三位数中有两个的数字和都是18，一个的数字和是9.　　要使数字和是9的三位数尽可能大，百位上的数字必须为6，十位上的数字为2，个位上的数字为1，所以这个三位数是 621.　　要使数字和是18的两个三位数尽可能大，一个的百位上数字为9，另一个百位上数字为8，十位上数字分别为5与7，个位上数字分别为4与3.故这两个三位数是954与873.　　因此，所求的三个三位数分别是621、954、873.问题21.8 已知A、B、C、D是各不相同的数字，A+B+C=18,分析 依题意，C=3或C=8.分这两种情况进行讨论.　　　　若 C=3，则B＋D=23-3=20，这与 B＋D＜18矛盾.故C≠3.　　若C=8，则B+D=23-8=15.故　　　　　　从而A=1或A=4.　　问题21.9 一个六位数的各位数字都不相同，最左边一个数字是3，且此六位数能被11整除.这样的六位数中的最小的数是多少？分析 用字母表示所求六位数的个位数字.解 依题意，设所求的六位数为30124a，　　因为六位数30124a能被11整除，　　所以（a＋2）-（4+1+3）=a-6应是11的倍数.　　故a=6.因此，所求的最小六位数是301246.　　被6整除.请说明道理.　　分析 依题意，a+b+c+d+e是3的倍数，e是2的倍数.解 6=2×3.　　　　的倍数，a+b+c+d+e是3的倍数.　　因为　　2×（a+b+c+d）－e＝2×（a+b+c+d+e）－3e，　　而2×（a+b+c+d+e）、3e都能被6整除，　　所以 2×（a+b+c+d）-e能被6整除.练习21　　1.小红买了7支铅笔、5支圆珠笔、8本笔记本和12块橡皮，总共用去4元5角.已知铅笔8分一支，圆珠笔3角6分一支.问售货员同志的帐有没有算错？　　2.六位数1803a6能被12整除，求数字a是多少.3.已知一个六位数6a6a6a能被11整除，求这样的六位数有几个？　　4.有一个四位数3AA1，它能被9整除，请问数字A代表几？　　　　6.没有重复数字的五位数3a6b5是75的倍数，求这样的五位数.奇数与偶数　　整数可以分为奇数和偶数两类.　　能被2整除的整数叫做偶数.如0，2，4，6，…等都是偶数.不能被2整除的整数叫做奇数.如1，3，5，7，…等都是奇数.可用2n表示偶数，2n＋1表示奇数（其中n是整数）.　　奇、偶数有下面一些重要性质：　　1.一个整数是奇数就不能是偶数，是偶数就不能是奇数，奇数不能等于偶数.　　2.奇数±奇数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±偶数=偶数.　　3.奇数个奇数的和（或差）为奇数；偶数个奇数的和（或差）为偶数.任意多个偶数的和（或差）总是偶数.　　4.两个奇数之积为奇数；一个偶数与一个整数之积为偶数.　　5.若干个整数相乘，其中若有一个乘数是偶数，积就是偶数；如果所有的乘数都是奇数，积就是奇数.　　6.如果若干个整数的积是偶数，那么乘数中至少有一个是偶数；如果若干个整数的积是奇数，那么所有的乘数都是奇数.　　7.偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1.　　8.相邻两个整数之积必为偶数，其和必为奇数.问题20.1若m、n为整数，则m+n与m-n必同　　为偶数或同为奇数.为什么?分析 分m、n为奇数或偶数的情况进行讨论.解 若m、n同为奇数（或同为偶数），　　则m＋n与m-n同为偶数.　　若m、n中一个为奇数，另一个为偶数，　　则m+n与m-n同为奇数.　　因此，m＋n与m-n同为偶数或同为奇数.问题20.2是否存在整数。m、n，使得　　（m+n)×（m-n）=1994.分析 根据m＋n与m-n同为偶数或同为奇数，并运用假设分析进行研究.解 假设存在整数m、n，使得　　（m＋n）×（m-n）=1994.　　∵ 1994是偶数，　　∴m＋n与m-n中必有一个为偶数.　　∵m、n都为整数，　　∴m+n与m-n同为偶数或同为奇数.　　故m＋n与m-n同为偶数.　　∴（m+n）×（m-n）为4的倍数.　　而1994不是4的倍数.　　∴（m+n）×（m-n）≠1994.　　这与（m＋n）×（m-n）=1994矛盾.　　因此，不存在整数m、n，使得　　（m＋n）×（m-n）＝1994.问题20.3老师组织一群学生做互相握手的游戏.当游戏结束后，大家把自己握手的次数告诉老师，经统计发现，握过奇数次手的学生人数是偶数.这是为什么？分析 由于两个人每握一次手，每人都记握了一次手，那么两个人握手次数的和是2.因此，这一群学生握手的总次数是偶数.解 由于两个人每握一次手，每人都记握了一次手，因此这一群学生握手的总次数是偶数.　　把这一群学生分成两类，甲类是握手的次数是偶数的学生，乙类是握手的次数是奇数的学生.那么，甲类学生握手的总次数是偶数，从而乙类学生握手的总次数也应是偶数.　　由于乙类学生中每人握手的次数都是奇数，又只有偶数个奇数相加其和才能是偶数，所以乙类学生的人数为偶数，即握过奇数次手的学生人数是偶数.问题20.4平面上有9个点，每三个点都不在同一条直线上.现在从每个点都正好引7条直线和其余的任意7个点相连，你能连成吗？说明道理.分析 用实际画线的方法是不可取的.解决这个问题的关键在于依据题意计算出总的线数.解 若一条直线从A引到B，同样可以看作是从B引到A.假设能连成满　　　　此无法连成满足本题要求的图形.问题20.5任意3个整数中，至少有两个整数之和是偶数，这是为什么？分析 要使两个整数之和是偶数，只须这两个数同为奇数或同为偶数.解 任何一个整数要么是奇数，要么是偶数，二者必居其一.因此，任意3个整数中，至少有两个整数同为奇数或同为偶数，它们的和必为偶数.故任意3个整数中，至少有两个整数之和是偶数.问题20.6某班同学参加学校的数学竞赛，共30道.评分标准是：答对一题给3分，答错倒扣1分，不答给1分.请你说明：该班同学得分总和一定是偶数.分析 每个学生的得分数都是偶数，是解答此题的关键所在.解 对每个学生来说，30道题都答对可得90分，是个偶数.如答错一题，就相差4分，不管答错几题，4的倍数都是偶数，90减去偶数还是偶数.同样，如不答一题，就相差2分，不管不答几题，2的倍数都是偶数，偶数减去偶数还是偶数.因此，每个学生的得分数都是偶数.而偶数的和仍是偶数，故全班同学得分数的总和一定是偶数.问题20.7两个质数之和是999，求这两个质数之积.分析 这两个质数中必有一个为奇数，一个为偶数.解 因为两个质数之和为奇数999，所以其中必有一个为奇数，一个为偶数.而偶数质数只有2，因此，奇数质数为997.　　2×997=1994.　　故所求两个质数之积为1994.问题20.8 100个自然数的和是10000，在这些数里奇数的个数比偶数多，那么偶数最多会有多少个？分析 先求奇数最少有多少个.解 因为100个自然数的总和是偶数，所以奇数的个数必须是偶数.又这些数里，奇数的个数比偶数多，故奇数的个数大于或等于52，即最少是52，因此偶数最多是48个.问题20.9游艺室里的座位是9行9列，坐满了学生.现在做一项游戏，当铃声响后，每个同学都要与自己前后或左右相邻的某个同学交换座位一次.问这项游戏实现得了吗？说明道理.分析 表面上看，这种交换座位似乎不成问题，因为每个人有几种换法可供选择.然而仔细一想，找一种特殊情况，其中某40个学生都与相邻的40个学生互换座位一次，那么剩下的1个学生就没有座位可换.这样可以猜测到这项游戏实现不了.解 首先假定游艺室的座位被黑白相间地涂上颜色，则同色前后、左右不相邻.座位共 9×9=81个.不妨假定其中40个座位是涂上白色的，41个座位是涂上黑色的.40是偶数，41是奇数.这两种颜色座位的个数连奇偶性都不同，因此，这项交换座位的游戏按其规定（即坐在黑色座位换成坐在白色座位）是没有办法实现得了的.练习20　　1.判断算式：　　（300＋301+…＋397）-（151＋152＋…＋197）　　的结果是奇数还是偶数.　　2.是否存在自然数m，使得　　1+2＋3＋…＋m=512.　　3.有100棵树，从起点开始，每隔1米种一棵树.如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树之间的距离数是偶数（以米为单位）.为什么？　　4.有29人参加乒乓球单打比赛，若每人都要比赛3场，可能吗？为什么？　　5.在15×15的正方形的方格表中，关于它的左上角与右下角连结的对角线为对称地放置棋子，在每个方格中放置不多于1枚棋子，且每行正好放有7枚棋子，则在所指出的对角线上的格子里必至少放有一枚棋子.这是为什么？6.五年级共有200名学生，现在选派一位同学去观看足球比赛.选派的方法是：先把这200名同学排成一排，由第一名开始报数，报奇数的同学落选退出队列，报偶数的同学站原位置上不动；再报数，如此继续下去，最后剩下的一名同学便是观看足球比赛的人选.李明非常想去，在第一次排队时，他应该站在队列的什么位置上才能被选中？最大公约数　同学们知道，24的约数有　　1，2，3，4，6，8，12，24；　　42的约数有　　1，2，3，6，7，14，21，42.　　几个自然数公有的约数，叫做这几个数的公约数.　　24和42的公约数有　　1，2，3，6.　　几个自然数的公约数中，最大的一个叫做这几个数的最大公约数.　　24与42的最大公约数是6，记作（24，42）＝6.　　16，72，84的最大公约数是4，记作（16，72，84）＝4.　　如果两个自然数的最大公约数是1，那么就称这两个数互质.例如（4，9）＝1，称4与9互质.　　对于自然数a、b，有［a，b］×（a，b）＝a×b.问题19.1 甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公约数是4，求乙数.分析 可运用最大公约数与最小公倍数的定义解题，也可运用最大公约数与最小公倍数的关系直接进行计算，后者比前者解法简捷.解法1 因为甲、乙两数的最大公约数是4，甲数＝4×6，设乙数＝4x，则x与6互质.　　　　故x是42的约数.又x与6互质，所以x＝1或x＝7.　　当x＝1时，乙数＝4×1＝4，不合题意，舍去.　　当x＝7时，乙数＝4×7＝28，符合题意.　　答：乙数等于28.解法2 因为168×4＝24×乙数，所以　　　　答：乙数等于28.问题19.2 求899与493的最大公约数.分析 将一个自然数分解质因数比较困难时，可运用辗转相除法求两自然数的最大公约数.即一个较大自然数与另一个自然数的最大公约数，等于较大数除以另一个数所得的余数与另一个数的最大公约数.　　　　所以899与493的最大公约数为29.问题19.3 有两个容器，一个容量为27升，一个容量为15升，怎样利用它们从一桶油中倒出6升油来？分析 油从27升与15升两个容器中倒进倒出而得到6升油，就是用27与15经过若干次加减运算后得到数6.解 （27，15）＝3.　　15＝12×1＋3，2×15＝27＋3，　　3＝2×15－27，6＝4×15－2×27.　　所以，向小容器里倒4次油，每倒满后就向大容器里倒，大容器注满了就往桶里倒.当大容器第二次倒满时，小容器里剩下的就是6升油.问题19.4 一块长方形的纸，长75厘米，宽60厘米，要把这张纸裁成面积相等的小正方形的纸而无剩余，且使边长最长，问可裁成几张？分析 要使这些面积相等的小正方形纸的边长最长，就是要求75与60的最大公约数.解 （75，60）＝15.　　（75÷15）×（60÷15）＝5×4＝20.　　答：可裁成20张.问题19.5 甲、乙、丙三个班的学生人数分别是54、48、72.现要在各班分别组织体育锻炼小组，但各小组的人数要相同.问锻炼小组的人数最多是多少？这时甲、乙、丙三班共有多少个小组？分析 要使各小组的人数相等且人数最多，就是求54、48、72的最大公约数.解（54，48，72）＝6.　　（54＋48＋72）÷6＝29.　　答：锻炼小组的人数最多是6，这时甲、乙、丙三班共有29个小组.问题19.6 工人加工零件，第一批毛坯1788个，第二批毛坯1680个，第三批毛坯2098个.现平均分给工人，分别剩7个、3个、5个.问加工的工人最多有多少？分析 所求工人的最多人数是81、77、93三个数的最大公约数.解81，　　77，　　93.　　（，2093）＝13.　　答：加工的工人最多有13人.问题19.7 有三根钢管，其中第一根的长度是第二根的1.2倍，是第三根的一半，第三根比第二根长280厘米.现在把这三根钢管截成尽可能长而又相等的小段，问共可以截成多少段？分析 先求出三根钢管各自的长度，再求出这三根钢管长度数的最大公约数.解 依题意，第三根钢管的长度是第二根钢管长度的2.4倍.　　280÷（2.4-1）＝200.　　200×1.2 ＝240.　　240×2＝480.　　（200，240，480）＝40.　　（200＋240＋480）÷40＝23.　　答：共可以截成23段.问题19.8 有320个苹果、240个桔子、200个梨，用这些果品最多可分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、桔子、梨各有多少个？分析 所求果品的份数，就是320、240、200的最大公约数.解（320，240，200）=40.　　320÷40=8，　　240÷40=6，　　200÷40=5.　　答：用这些果品最多可分成40份.在每份礼物中，有8个苹果、6个桔子、5个梨.问题19.9已知甲、乙两数的比为5∶3，并且它们的最大公约数与最小公倍数的和是1040.求甲数和乙数.分析 因为5与3互质, 所以甲数=最大公约数×5，　　乙数=最大公约数×3.　　它们的最小公倍数=最大公约数×5×3.解 最大公约数为1040÷（15＋1）=65.　　65×5=325，65×3=195.　　答：甲数为325，乙数为195.问题19.10　　解　　　所以，x为175与55的公约数，y为54与36的倍数.　　　　x=（175，55）=5，　　y＝[54，36]=108.　　练习19　　1.某校订购了数学、语文、英语资料各228册、114册、84册现平均分成若干份，每份中这三种资料的数量分别相等那么最多可分成几份？　　2.某商店经销某种货物，去年总金额为36963元，今年每件货物的售价（单价）不变，总金额为 59570元.如果单价（以元为单位）是大于1的整数，问单价是多少元？3.现有铁丝三根，一根长12米，一根长18米，一根长42米.要把三根铁丝截成同样长的若干段且都不许有剩余，每段最长为几米？一共可以截成多少段？　　4.把一张长147厘米、宽105厘米的长方形纸截成大小一样且长与宽之比是5∶3的长方形纸，且没有剩余.问最少可截成几张？　　5.有一块长方体木料，长72厘米，宽60厘米，高36厘米.要把这块木料锯成同样大小的正方体木块，木块的体积要最大，且不能有剩余.问可锯成几块？　　6.已知两个不相等（且都不为1）的自然数的最小公倍数是42，这样的两个数一共有几组？请分别写出来.最小公倍数同学们知道，4的倍数有　　4，8，12，16，20，24，28，32，36，…；　　6的倍数有6，12，18，24，30，36，….　　几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数.　　4和6的公倍数有　　12，24，36，….　　几个自然数的公倍数有无限多个，所以不存在最大公倍数，除零外，其中最小的只有一个，这个数就叫做这几个数的最小公倍数.自然数a和b的最小公倍数记作［ａ，b］.　　例如，4和6的最小公倍数是12，记作［4，6］＝12.18、24、36的最小公倍数是72，记作［18，24，36］＝72.问题18.1求18与30的最小公倍数.分析 短除法可用来求几个自然数的最小公倍数.但要注意，每次所用的除数必须是质数.　　　　∴[18，30]=2×32×5=90问题18.2排练团体操时，要求队伍变成10行、15行、18行、24行时，队形都能成为长方形，问最少需要多少人参加团体操的排练？分析 由于队形要成为长方形，因此，人数必须是行数的倍数.求最少的人数就是求各行数的最小公倍数.　　　　∴［10，15，18，24］＝23×32×5＝360.　　答：最少需要360人参加团体操的排练.问题18.3 某工厂加工配套的机器零件，要经过三道工序.第一道工序平均每人每小时做20件，第二道工序平均每人每小时做16件，第三道工序平均每人每小时做24件.现有1332名工人，问每道工序各安排多少人才算是合理的安排.分析 所谓合理安排，是指各道工序在同一时间内加工的零件数是相同的，这样就不会在某道工序上出现积压或等待.先求各道工序合理安排的最少人数，再将1332名工人进行合理安排.　　解 ［20，16，24］＝240.　　240÷20＝12， 240÷16＝15，240÷24＝10.　　1332÷（12＋15＋10）＝36.　　12×36＝432，15×36＝540，10×36＝360.　　答：第一道工序应安排432人，第二道工序应安排540人，第三道工序应安排360人.问题18.4 一筐苹果（在100个以内），按每份3个分多1个，每份5个分多3个，每份7个分多2个.问这筐苹果有多少个？分析 这个问题实质是：　　100以内的一个数除以3余l，除以5余3，除以7余2，问这个数是多少？　　若将所求的数加上2，所得的数应是3与5的公倍数.解 ［3，5］＝15.　　3与5的公倍数：15，30，45，60，75，90.　　故原数可能是：13，28，43，58，73，88.其中除以7余2的只有58.　　答：这筐苹果有58个.问题18.5 从运动场一端到另一端全长96米，每隔4米插一面红旗，现在要改成每隔6米插一面红旗.问有多少面红旗不必拔出来？分析 由于4和6的最小公倍数是12，所以从第一面红旗开始，每隔12米的那一面红旗就不必拔出来，第一面红旗也不必拔出来.　　解［4，6］＝12. 96÷12＋1＝9.　　答：共有9面红旗不必拔出来.问题18.6 一些三位数能同时被2、5、7整除，这样的三位数按由小到大的顺序排成一行，中间的一个数是多少？分析 这样的三位数一定是2、5、7的公倍数，为此先求2、5、7的最小公倍数.解［2，5，7］＝70.这样的三位数有　　70×2，70×3，…，70×14.　　它们中间的一个数是8×70＝560.　　答：中间的一个数是560.问题18.7 一个四位数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，被7除余6，被8除余7，被9除余8，被10除余9，求这样的四位数.分析 所求的四位数加1，是2，3，…，10的公倍数，故先求2，3，…，10的最小公倍数.解［2，3，…，10］＝2520.　　设所求的四位数为2520×k—1，则k＝1，2，3.　　故所求的四位数为或7559.问题18.8 在一根长木棍上，有三种刻度线.第一种刻度线将木棍分成十等分；第二种将木棍分成十二等分；第三种将木棍分成十五等分.如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？　　木棍被分为60个单位.木棍的10等分，每份长6个单位；12等分，每份长5个单位；15等分，每份长4个单位.再排除重复的情况，即可求出木棍总共被锯成多少段.解　　［10，12，15］＝60.　　 60÷10＝6，60÷12＝5，　　 60÷15＝4.　　 ［4，5］＝20，［4，6］＝12，　　 ［5，6］＝30.［4，5，6］＝60.　　 60÷20＝3，60÷12＝5，　　 60÷30＝2. 60÷60＝1.　　∴10＋12＋15－3—5—2＋1＝28.　　答：木棍总共被锯成28段.问题18.9 某人上8天班后，就连续休息2天.如果这个星期六和星期天他休息，那么，至少再过几个星期后他才能又在星期天休息？分析 这个星期六和星期天休息，下次要在星期天休息可能有两种情况：或者在星期六和星期天休息，或者在星期天和星期一休息.要注意对这两种情况分别讨论.解 下次若在星期六和星期天休息，则相当于每隔9天休息1天.　　［7，10］＝70，70÷7＝10.　　所以要再过10个星期后他才能又在星期六和星期天休息.　　下次若在星期天和星期一休息，那么7k＋1应是10的倍数，则k的最小值是7.所以要再过7个星期后他才能又在星期天和星期一休息.　　综上所述，至少再过7个星期后他才能又在星期天休息.问题18.10 三条圆形跑道，圆心都在操场中心的旗杆处，甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时三个人都在旗杆的正过几小时第一次同时回到出发点.分析 先求出甲、乙、丙各跑一圈所需的时间，再运用求最小公倍数的方法解答此题.　　解 先求出甲、乙、丙各跑一圈所需的时间：　　　　　答：三人同时出发6小时后，第一次同时回到出发点.练习18　　1.有甲、乙、丙、丁四个齿轮互相啮合，齿数分别为84、36、60和48.问在传动过程中同时啮合的各齿到下次再同时啮合，各齿轮分别转过多少圈？　　2.一筐梨，按每份2个梨分多1个，每份3个梨分多2个，每份5个梨分多4个，问筐里至少有多少个梨？　　3.恰好能被6、7、8、9整除的五位数有多少个？　　4.某班学生不超过6O人，一次测验成绩分为优、良、及格和不及格四等.不及格的学生有几人？　　5.把一批苹果分给幼儿园大、小两班小朋友，平均每人可得6个；如果只分给大班小朋友，平均每人可得10个；如果只分给小班小朋友，每人平均可得多少个？　　6.一箱鸡蛋，二个二个数、三个三个数、四个四个数、五个五个数、六个六个数均多出一个，如果七个七个数正好数尽.问这箱鸡蛋至少有多少个？质数与合数自然数是同学们最熟悉的数.全体自然数可以按照约数的个数进行分类.　　像2、3、5这样仅有1和它本身两个约数的自然数，称为质数（或素数）.　　像4、6、8这样除了1和它本身以外，还有其它约数的自然数，称为合数.　　1只有一个约数，就是它本身.1既不是质数也不是合数、称为单位1.　　因此，全体自然数分成了三类：数1；全体质数；全体合数.　　任何一个合数都可以分解成若干个质因数乘积的形式，并且分法是唯一的，这个结论被称为算术基本定理.问题17.1 24有多少个约数？这些约数的和是多少？分析 24＝23×3.　　23的约数：1，2，22，23共4个.　　3的约数：l，3共2个.　　根据乘法原理，24的约数个数为：　　（3＋1）×（1＋1）＝4×2＝8.　　这8个约数为：l、2、4、8、3、6、12、24.它们的和为：　　1＋2＋4＋8＋3＋6＋12＋24　　＝（1＋2＋4＋8）＋3×（1＋2＋4＋8）　　＝（1＋2＋4＋8）×（1＋3）　　＝（1＋2＋22＋23）×（1＋3）　　＝15×4＝60.　　解 24＝23×3.　　（3＋1）×（1＋1）＝8.　　（1＋2＋22＋23）×（1＋3）＝15×4＝60.　　答：24有8个约数，这些约数的和是60.问题17.2 有8个不同约数的自然数中，最小的一个是多少？分析 8＝2×4＝2×2×2.因此，约数个数是8的自然数，有三种类型：P71、P1×P32、P1×P2×P3，其中P1、P2、P3是不同的质数.　　解 8＝2×4＝2×2×2.　　∵27＝128，3×23＝24， 2×3×5＝30.　　∴有8个约数的最小自然数为24.问题17.3 分别判断103、437是质数还是合数.分析 对于一个不很大的自然数N（N＞1，N为非完全平方数）.可用下面方法去判断它是质数还是合数：　　先找出一个大于N的最小的完全平方数K2，再写出K以内的所有质数；若这些质数都不能整除N，则N是质数；若这些质数中有一个质数能整除N，则N为合数.（请同学们想想这其中的道理）　　解 103＜112.而11以内的质数2、3、5、7都不能整除103，故103是质数.　　437＜212.而21以内的质数有：　　2、3、5、7、11、13、17、19.　　∵437÷19＝23， ∴437是合数.问题17.4 将下面八个数分成两组，使这两组数各自的乘积相等.　　14，33，35，30，75，39，143，169.分析 把八个数分成两组后，应使每组数的乘积所含的质因数一样.　　解 把已知的八个数分解质因数：　　14＝2×7，33＝3×11.　　35＝5×7，30＝2×3×5.　　75＝3×52，39＝3×13，　　143＝11×13，169＝132.　　∵14×75＝35×30＝2×3×52×7，　　39×143＝33×169＝3×11×132，　　∴分成的两组为：　　｛169，33，35，30｝与｛39，143，75，14｝　　或｛169，33，75，14｝与｛39，143，35，30｝.问题17.5 一个数是5个2、3个3、2个5、1个7　　的连乘积，这个数的两位数的约数中，最大的是几？分析 设这个数为N，则 N＝25×33×52×7.两位数中的最大数为99，其它数依次为98，97，….那么可以从两位数中最大的数开始找.　　解 N＝25×33×52×7.　　99＝32×11，不是N的约数.　　98＝2×72，不是N的约数.　　97是质数，不是N的约数.　　96＝25×3，是N的约数.　　所以，所求最大的两位数的约数是96.问题17.6 有这样的质数，它分别加上10和14仍　　为质数，你会求这个质数吗？分析 从最小的质数开始找，可以很快地找到3是符合条件的质数，还有没有符合条件的别的质数呢？没有.解 因为3＋10＝13，3＋14＝17，所以3是符合条件的质数.　　因为2＋10＝12，2＋14＝16，所以2是不符合条件的质数.　　我们将一切大于2的自然数按照被3除的余数分为3n、3n＋1、3n＋2（n≥1的整数）这三类.因为（3n＋1）＋14＝3×（n＋5）不是质数，（3n＋2）＋10＝3×（n＋4）不是质数，而3n仅当n＝1时才是质数.　　所以，3是唯一符合条件的质数.问题17.7 在乘积　　×998×…×3×2×1 ①　　中，末尾连续有多少个零？分析 不必真的算出这个乘积，而可以从分析末尾的零是怎样产生的入手.因为2×5＝10，所以末尾的零只能由乘积①中的质因数2与5相乘得到.因此，只需计算一下，把乘积①分解成质因数的连乘积以后，有多少个质因数2，有多少个质因数5，其中哪一个的个数少，乘积①的末尾就有多少个连续的零.解 先计算①中的质因数5的个数.　　在1，2，…，1000中有200个5的倍数，它们是：5，10，…，1000.在这200个数中，有40个能被25＝52整除，它们是25，50，…，1000.在这40个数中，有8个能被125＝53整除，它们是125，250，…，1000.在这8个数中，有1个能被625＝54整除，它是625.所以，①中的质因数5的个数等于200＋40＋8＋1＝249.　　而①中的质因数2的个数，显然多于质因数5的个数.所以，乘积×998×…×3×2×1中，末尾连续有249个零.问题17.8 把一个两位数质数写在另一个两位数质数后边，得到一个四位数，它能被这两个质数之和的一半整除.试求出所有这样的质数对.分析 先利用已知条件，求出这两个质数之和.　　　　　　所以198x能被x＋y整除.又因为x是质数，所以198能被x＋y整除，即x＋y是198的约数.因为x与y均为两位数质数，所以一定是两位奇数，从而x＋y一定是两位或三位偶数.列举出198的两位或三位偶数约数：　　198，66，18.　　因为198与18都不能写成两个两位数质数之和，所以不符合题目要求.而66＝13＋53＝19＋47＝23＋43＝29＋37，故符合题目要求的质数对为：　　（13，53）、（19，47）、（23，43）、（29，37）.问题17.9 在101与300之间，只有3个约数的自然数有几个？分析 只有3个约数的自然数必是质数的平方，反之亦然.　　解 在101至300之间的平方数：　　112、122、132、142、152、162、172.　　其中112、132、172是质数的平方，它们分别只有3个约数.　　所以，只有3个约数的自然数有3个，即121、169、289.问题17.10 新河村农民用几只船分三次运送405袋化肥.已知每只船载的化肥袋数相等且至少载7袋.问每次应有多少只船，每只船载多少袋化肥？（每只船至多载50袋）分析 因为每只船载的化肥袋数相等，且分三次把405袋化肥运完，所以每次运送105袋.又每次运送的总袋数105应为每只船上载的化肥袋数与船数的积，即每次运化肥的船数与每只船上的化肥袋数都是105的约数.所以只要把105分解质因数.就可以求出船数和每只船载的化肥袋数.解 105＝3×5×7.　　因为每只船上载的袋数相等且至少载7袋，所以每次用的船数和每只船上所载的化肥袋数有以下几种情况：　　（1）用3只船，每只船载35袋化肥.　　（2）用5只船，每只船载21袋化肥.　　（3）用7只船，每只船载15袋化肥.　　（4）用15只船，每只船载7袋化肥.　　（因为每只船至多载50袋，故每次不能用1只船载105袋.）练习17　　1.72有多少个约数？这些约数的和等于多少？　　2.求不大于200的只有15个约数的所有自然数.　　3.分别判断107、493是质数还是合数.　　4.有学生3496人，分成人数相等的小组参加劳动，每组人数限定在20以上，40以下，求每组人数及可分的组数？　　5.一个人买了2元1角6分钱的铅笔，如果一支铅笔的价格少1分，那么他可以用这些钱多买3支铅笔.问他原来可以买几支铅笔？　　6.一个自然数可以分解为3个质因数的积，果这3个质因数的平方和为39630，求这个自然数.数字谜&数字谜是一类非常有趣的数学问题，在小学数学竞赛中经常出现.解这类问题必须认真审题，根据题目的特点，找出突破口，从而逐步简化题目直至问题完全解决.问题16.1 在下面这个算式中，不同的文字代表不同的数字，相同的文字代表相同的数字.它们各代表什么数字时，算式才能成立？　　分析（1）从“明”字入手.算式中“明+明=明”是本题的突破口.因为在0～9这十个数字中，只有0+0=0，所以：明=0.即　　（2）因为两个最大的一位数相加是18，只能向高位进1.因此：分=1.即　　（3）再由“是+是=10”可知：是=5.即　　（4）由“1+就=5”可知：就=4.即　　（5）由“非+非= 4”可知：非= 2.即解略.问题16.2下式中“数学俱乐部”分别代表哪些数字？分析 积的个位数是1，乘数是3，可知被乘数的个位数“部”为 7，7×3=21，在积的个位上写1，向十位进2；因为积的十位数“部”为7，所以“乐”×3的积的个位数应是5，由此可见“乐”为5，5×3+2=17.在积的十位上写7，向百位进1；因为积的百位数是5，所以“俱”×3的积的末位数应是 4，可知“俱”为 8；所以“学”×3的积的末位数应是6，可知“学”为2.积的万位数“学”为2，可知数为4.解略.问题16.3下式中不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，它们各代表什么数字时算式成立？　　优优优优优优÷学＝学习再学习分析 这是一个除法算式，我们可以根据被除数、除数及商的关系将上述问题变为下面的乘法算式：分析 从乘数“学”开始分析.　　由于被乘数是五位数，乘数是一位数，而乘积是六位数，所以，学≠1，学≠2.下面逐一进行分析：　　当学＝3时，算式变为下面的形式.　　我们看到，在万位上由于3×3＝9，这时必须向十万位上进位，而且只能进1，所以：优＝1，这样算式又变成下面的形式.　　由这个算式马上可推出：习＝7，再＝0.　　解　当学＝3，习＝7，再＝0，优＝1时，算式成立.即：　　从而下面的算式成立：　　＝37037.　　至于学取其它数字的情况，同学们可以自己完成.问题16.4 下面算式中的“奇”字代表1、3、5、7、9中的一个数，“偶”字代表 0、 2、 4、 6、偶偶奇8中的一个数，不同位置的“奇”和ד偶”可能是相同的数，也可能是不同的数.请你根据算式中数的奇偶性，把各 奇奇奇奇奇个数字都确定下来.分析 很明显，数的奇偶性是解决问题的突破口.　　从被乘数与乘数的十位数的乘积来看，乘数的十位数字不能是1.又由于乘得的积是个三位数，由此可以断定被乘数的百位数字是2，乘数的十位数字为3（否则又要进位，积为四位数字）.　　乘数的十位数字与被乘数的十位数字的积本应是偶数，但和中的十位数字却是奇数，这说明乘数的十位数字与被乘数的个位数字相乘要进位，而且是进了一个奇数.因为乘数的十位数字为3，所以被乘数的个位数字只能是5.　　从算式的第四行的第一个数字为偶数来看，乘数的十位数字与被乘数的十位数字相乘可能没有进位，也可能进位数是2.若没有进位，被乘数的十位数字只能是2；若进位数是2，那么被乘数的十位数字是8.　　很明显，乘数的个位数字不等于1，这样，它与被乘数的个位数字5相乘要进位.由于被乘数的十位数字与算式中的第三行的第三个数字都是偶数，所以进位数也必然是偶数，只有5×5＝25，9×5＝45.也就是说乘数的个位数字可能是5，也可能是9.若为5，5×2□5＝1□□5不成立，于是只能是9.　　回过头来再分析被乘数的十位数字是2还是8.若是2，则225×9＝2025，与题意不符；若是8，则285×9＝2565，算式成立.因此，所求的算式为：　　&练习16　　1.下面算式中的字母各代表什么数字？　　2.下面的算式中，相同的汉字代表相同的数字.试确定算式中的各个汉字所表示的数字.　&&&奇妙的幻方&把一些自然数填在纵横部相等的正方形内，使每一行、每一列和每一对角线上各个数之和都相等，这样的方阵图叫做幻方.　　幻方是我国丰富的文化遗产之一.在古代就有“河图”、“洛书”的传说.到了宋朝，杨辉对幻方已有较深的研究.　　奇妙的幻方犹如一个数学万花筒，它曾使不少数学爱好者入迷.它的一些有趣的性质，令人回味无穷.幻方有许多构造方法，这里只简单介绍几种方法.问题15.1 把1～9九个数字填入一个3×3的正方形内，每格填一个数字，使每一横行、每一竖列和两条对角线上三个数之和都相等.分析1～9九个数之和为45，正好是三横行（或三列）数字之和.因此，每一横行（或每一列）的三个数字之和等于45÷3=15.　　而1～9九个数字中，其中三个不同的数相加的和等于15的只可能是：　　9+5+1=15，9+4+2=15，　　8＋6+1=15，8+5+2=15，　　8+4+3=15，7+6+2=15，　　7+5+3=15，6+5+4=15.　　因此，每一横行、每一列和每一对角线恰好是其中一个加式中的三个数.中心数有4条线经过，要求它能在四个等式中出现.除5外，没有其它的选择.而2、4、6、8各出现在三个等式中.因此它们是四个角上的数，这样每一格应填哪一个数就不难确定了.　　解 见图15－1.　　以上我们得到的便是一个简单的三阶幻方.如果把上图的有关行和列经过适当的对换、旋转，还可以得出其它的填法，如图15－2.问题15.2 在图15－3的空白处填上适当的数，使得图中横行、竖列及两对角线上四个数的和都是34.分析 这实际上是一个四阶幻方问题，因为图中已填上一些数字，使问题大为简化.只要我们按图中先填出A、B、C、D四个空白处的一个数字，就比较容易得到答案.见图15－4（1）.　　解略.　　如果题中没有填出数字，即将1～16.这十六个数填入4×4的方格中，使它成为四阶幻方，答案不唯一，如图15－4.　问题15.3从1～13这十三个自然数中选出十二个数，填入图15－5（1）的3×4方格中，使每一横行四个数之和相等，每一竖列三个数的和也相等.分析 这个问题是幻方的变形题.　　因为1+2+3+…+12+13=91，要去掉其中一个数，使得这十二个数之和既能被3整除（表中有三行）又能被4整除（表中有四列），即能被12整除.　　由91÷12=7……7，即从中去掉7.　　这样横行之和应为（91-7）÷3=84÷3=28，竖列之和应为　　（91-7）÷4=84÷4=21.　　又这十二个数中有六个奇数和六个偶数，而奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，偶数+奇数=奇数.所以，四个竖列中有一列是三个奇数，其余三列各有一个奇数，如图15－5（2）.三个奇数的和是21的只有两组：　　1+9+11=21，3+5+13=21.　　填好奇数，就不难凑出其余偶数了.于是可有两种答案（图 15－6）.问题15.4 在图15－7（1）的方格内，每边上的数加起来之和都是5，所有数的和是12.现在请你用任何数字重新排列填入图15－7（2）、（3）中，使每边上的数字之和仍为5，但全部数的总和是13、14.　　解 本题的关键是处理好方格中四个角上的数，它们在计算各边数字和时，都计算了两次.　　如果某角上数字减少1，而使每边上数字和不变，应在与该角有关的两条边中间数字上各加上1，这样表格中全部数字和便增加1。这样我们可以得到图15－8的正确答案：　练习15　　1.把2， 3， 4，…，10这十个数字填到图 15－9的3×3方格内，使每行、每列及对角线上的三个数的和都相等.　　2.把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字填入图15－10的3×3方格内，这样，每一行的三个数字组成一个三位数.　　如果要使第二行的三位数是第一行的2倍，第三行的三位数是第一行的3倍，应怎样填数？　　3.把1、2、3、4、5、6填入图15－11内，要使得每一行右边的数字比左边的数字大，每一列下面的数字比上面的数字大，问有几种填法？　　4.试在图15－12空白方格内填入适当的字，使每一行、每一列及两对角线上的五个字中，都含有“从小爱数学”字样.　最大公约数与最小公倍数1）五年一班去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6个，如果减少一条船，正好每船坐9人，这个班有多少人？&2)有一个电子表，每走9分钟这一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子表既响铃又灯，请问下一次既响铃又亮灯是几点钟？&3）两个整数的最小公倍数为140，最大公约数为4，且小数不能整除大数，求这两个数。&4）一个数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，此数最小是几？&5）一次会餐提供三种饮料，餐后统计，三种饮料共用65瓶，平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料，请问参加会餐的有多少人？&6）已知A与B的最大公约数为6，最小公倍数为84，且A×B＝42，求B。&7）两个数的最大公约数为12，最小公倍数为180，且较大数不能被较小数整除，求这两个数，&8）甲乙两数的最大公约数为75，最小公倍数为450，当这两个数分别为何值时，它们差最小。&9）已知A和B的最大公约数是31，且A×B＝5766，求A和B。&10）有一盘水果，3个3个地数余2个，4个4个数余3，5个5个数余4个，问这个盘子里最少有多少个水果？11）有一个自然数，被6除余1，被5除余1，被4除余1，这个自然数最小是几？&12）把长120厘米，宽80厘米的铁板裁成面积相等，最大的正方形而且没有剩余，可以裁成多少块？&13）把长132厘米，宽60厘米，厚36厘米的木料锯成尽可能大的，同样大小的正方体木块，锯后不能有剩余，能锯成多少块？&14）一盒钢笔可以平均分给2、3、4、5、6个同学，这盒钢笔最小有多少枝？&15）用96朵红花和72朵白花做成花束，如果各花束里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，每束花里最少有几朵花？&16）从小明家到学校原来每隔50米安装一根电线杆，加上两端的两根一共是55根电线杆，现在改成每隔60米安装一根电线杆，除两端的两根不用移动外，中途还有多少根不必移动？&17）在一根长100厘米的木棍上，自左到右每隔6厘米染一个红点，同时自右到左每隔5厘米染一个红点，染后沿红点将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？&18）每筐梨，按每份两个梨分多1个，每份3个梨分多2个，每份5个梨分4个，则筐里至少有多少个梨？&19）现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了三种水果各多少千克？&20）有三根铁丝，一根长54米，一根长72米，一根长36米，要把它们截成同样长的小段，不许剩余，每段最长是多少米？21）有一个商店今年7月1日开业，有三个批发商从这个商店批货，甲每隔6天来一次，乙每隔8天来一次，丙每隔9天来一次，问这三个批发商在7月1日在碰面后，再过多少天他们还在这家商店碰面？到明年7月1日，他们一共碰面多少次？&22）某厂加工一批零件，每个零件需要1个螺栓，3个丝扣，7个螺钉，已知每个工人每小时可以完成3个螺栓或12个丝扣或18个螺钉，要想能均衡生产，使每个零件都配上套，生产这三种零件各需要安排多少人？数列问题1) 1、3、5、7、9、……首项是几？第31项是什么？2) 7、13、19、25、31、……公差是几？第121项是几？3) 2、5、8、13、16、……第2001项是几？4) 全部一位数的和是多少？5) 在20和100之间插入4个数，使这6个数成为等差数列，公差是几？6) 在30到100之间，所有个位数字是5的自然数的和是多少？7) 有一堆圆木堆成一堆，从上到下，上面一层有10根，每向下一层增加1根，共堆了30层。这堆圆木共有多少根？8) 有一些圆木分成10堆，要使每堆的数目都不同，而且每堆数目都不为0，这堆圆木最少要多少根？ 9) 求从1开始连续100个奇数之和10) 求从4开始连续51个偶数之和11) 2+6+10+……+9012) 297+293+289+……+20913) ☆☆计算1+3+4+6+7+9+10+12+13+……+92+94+98+10014) ☆☆2+4+8+10+14+16+20+22+……+92+94+98+10015) ☆☆☆+997+996-995+……+106+105-104+103+102-101年龄问题1．& 小浩今年6岁，妈妈今年46岁。小浩多少岁时，妈妈的年龄是小浩年龄的5倍2．& 小明今年16岁，奶奶今年80岁。奶奶多少岁时正好是小明年龄的9倍？3．& 小红今年16岁，姐姐今年21岁。当姐弟岁数的和是55岁时，两人各是多少岁？4．& 小伟今年16岁，爷爷今年61岁。几年前爷爷的年龄正好是小伟年龄的6倍？5．& 今年父亲30岁，儿子4岁。13年后，父亲和儿子年龄的和是多少岁？6．& 叔叔比小华大18岁，明年叔叔的年龄是小华的3倍，小华今年几岁？7．& 今年姐妹二人年龄和是23岁，六年后，姐姐比妹妹大3岁，姐姐今年几岁？8．& 父子二人现在的年龄和是46岁，儿子13岁。几年后，父亲年龄是儿子年龄的2倍？9．& 小明比小华大2岁，4年前他们的年龄和是18岁。今年小明几岁？10．今年张明12岁，爷爷的岁数是她的6倍。2年后，爷爷比张明大几岁？11．今年妈妈比小华大27岁}