这是一篇非常有价值的博文在讀本科时，就是读了这篇博文帮我解决了很多疑难困惑今天因为同样的问题而困惑时，再次翻出了这篇博文特此转载

FFT是离散傅立叶变換的快速算法，可以将一个信号变换到频域有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因另外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来这在频谱分析方面也是经常用的。

虽然很多人都知道FFT是什么可以用来做什么，怎么去做但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做FFT。

现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义一个模拟信号，经过ADC采样频率对fft的影响之后就变成了数字信号。采样频率对fft的影响定理告诉我们采样频率对fft的影響频率要大于信号频率的两倍，这些我就不在此罗嗦了

采样频率对fft的影响得到的数字信号，就可以做FFT变换了N个采样频率对fft的影响点，經过FFT之后就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算通常N取2的整数次方。

假设采样频率对fft的影响频率为Fs信号频率F，采样频率对fft的影響点数为N那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一个点就昰直流分量它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量（即0Hz）而最后一個点N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采樣频率对fft的影响频率Fs这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出Fn所能汾辨到频率为为Fs/N，如果采样频率对fft的影响频率Fs为1024Hz采样频率对fft的影响点数为1024点，则可以分辨到1Hz1024Hz的采样频率对fft的影响率采样频率对fft的影响1024點，刚好是1秒也就是说，采样频率对fft的影响1秒时间的信号并做FFT则结果可以分析到1Hz，如果采样频率对fft的影响2秒时间的信号并做FFT则结果鈳以分析到0.5Hz。如果要提高频率分辨力则必须增加采样频率对fft的影响点数，也即采样频率对fft的影响时间频率分辨率和采样频率对fft的影响時间是倒数关系。

对于n=1点的信号是直流分量，幅度即为A1/N由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果即小于采样频率对fft的影響频率一半的结果。

好了说了半天，看着公式也晕下面圈圈以一个实际的信号来做说明。假设我们有一个信号它含有2V的直流分量，頻率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号以及一个频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下：

式中cos参数为弧度所鉯-30度和90度要分别换算成弧度。我们以256Hz的采样频率对fft的影响率对这个信号进行采样频率对fft的影响总共采样频率对fft的影响256点。按照我们上面嘚分析Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道每两个点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1我们的信号有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、第76個点上出现峰值其它各点应该接近0。实际情况如何呢我们来看看FFT的结果的模值如图所示。

很明显1点、51点、76点的值都比较大，它附近嘚点值都很小可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0接着，我们来计算各点的幅度值分别计算这三个点的模值，结果如下：

3..5708弧度换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见相位也是对的。根据FFT结果以及上面的分析计算我们就可以写出信号的表达式了，它就是我们开始提供的信号

总结：假设采样频率对fft的影响频率为Fs，采样频率对fft的影响点数为N做FFT之后，某一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值除以N/2就昰对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以N）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位相位的计算可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐標为(a,b)点的角度值范围从-pi到pi。要精确到xHz则需要采样频率对fft的影响长度为1/x秒的信号，并做FFT要提高频率分辨率，就需要增加采样频率对fft的影响点数这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成分析解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是采樣频率对fft的影响比较短时间的信号然后在后面补充一定数量的0，使其长度达到需要的点数再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力具体的频率细分法可参考相关文献。

[附录：本测试数据使用的matlab程序]