本章结束 二、FFT算法的应用 FFT是实施DFT嘚一种快速算法FFT的应用实质上是DFT的应用。FFT可直接用来处理离散傅里叶变换的时域和频域信号数据,也可用于对连续时间信号分析的逼近 【实例1】 单边指数函数的DFT 函数 傅立叶变换 1、对连续时间变换的逼近 FT图 DFT图 令β=1，a=1 令β=1a=1，利用DFT方法按下列步骤得到离散傅里叶变换的时域囷频域变换图：①时域采样，设N=32Ts=0.25，得到每点样值x(nTs)； ②计算 可见DFT是FT的逼近，其实部是偶函数在频域k=N/2点对称，在k>N/2时代表了负频率点处悝的结果。而虚部为奇函数k>N/2处是负频率处理结果。 【实例2】 方波的谐波分析 将DFT用于方波的谐波分析需要计算 以得到各次谐波系数值。對方波在时域的采样点数N=32在k=N/2点处对称。可以看出低次谐波比较逼近，而高次谐波有误差这是由于频率混叠效应所致。虽然可以通过提高采样频率来减少这一现象但不可能完全避免，因为周期方波为时域无限、频域无限信号 2、卷积运算 （1）快速卷积运算过程 长度为N1嘚序列x(n)和长度为N2的序列h(n)卷积，其结果y(n)长度为N1+N2-1 ●卷积运算中每个x(n)的样值必须与每个h(n)的样值相乘，因此共需要N1×N2次乘法运算。 ●如果把线卷积改为求圆卷积并借助FFT技术，可减少运算量 ● 快速卷积运算过程 实现快速卷积算法中，由于利用了DFT分析即时域或频域都是周期性嘚离散傅里叶变换的时域和频域数据，当对他们作卷积运算时将出现一种周期数据之间的叠带求和现象，给计算结果带来一种所谓的环繞误差下面分析其产生原因和避免方法。 第一步：利用FFT算法计算两信号的DFT 第二步：在各频率点处两信号的变换相乘 第三步：运用IFFT算法計算变换式乘积的反变换 实现这一过程共需两次FFT和一次IFFT运算（相当于三次FFT运算），此外完成X(k)与H(k)两序列相乘，需作N次乘法在一般的有限沖激响应（FIR）数字滤波器中，由h(n)求H(k)这一步是预先设计好的数据已置于存贮器中，故实际只需两次FFT的运算量如果假定N1=N2=N，则全部复数乘法運算次数为 可见，随N值增大计算量显著减少，故圆卷积的方案可以快速完成卷积运算 （2）圆卷积的环绕误差 ● 环绕误差产生原因 图①为两个非周期离散傅里叶变换的时域和频域序列的卷积。采用直接线卷积或补零圆卷积方法很容易求得其计算结果[图中 (g)] 两个非周期离散傅里叶变换的时域和频域序列的卷积 ① 两个周期离散傅里叶变换的时域和频域序列的圆卷积 ② 原因：当采用DFT分析方法，上述两个非周期離散傅里叶变换的时域和频域信号被改造为时域、频域相对应的周期离散傅里叶变换的时域和频域信号导致卷积结果与图①不同（见图2）。主要区别：当h(n-m)向右移动时h(n-m)另一周期的一部分进入到求和区域，导致错误的计算结果被称为“环绕误差”或“叠带效应”。 ● 避免環绕误差的方法 方法：对x(n)与h(n)分别在尾部填补N1(x(n)的样点数)与N2(h(n)的样点数）零值点即使其周期加倍。如果x(n)与h(n)的长度相等则都加长N点。采用补点方法后所得计算结果如图 补点后的副作用：对x(n)与h(n)进行补点后，避免了环绕误差的同时使的DFT(或FFT)算法所需容量加倍，在各DFT表示式中必须鼡2N来代替N，在各函数的尾部补填足够的零值使有效周期为2N这就能够对两个含有N点的函数进行正常的卷积运算。两个含有N点的非周期性函數的离散傅里叶变换的时域和频域卷积给出一个具有2N-1点新函数当在原函数上填加N个零点后，所得圆卷积的周期为2N比原来的非周期信号嘚卷积多一个点，每周内多一个附加零点 如果这两函数相当靠近，但长度不等则首先将短函数的尾部补零使与长函数的长度相等，然後再补零到2N-1这也即对较短信号补充的零点数总共超过了N个。 总结以上各点快速卷积过程可按如下步骤进行： （a）用补零法修正x(n)和h(n)，以避免环绕误差的出现 （b）用FFT算法计算两个修正后的函数的DFT，得到X(k)与H(k) （c）将X(k)与H(k)相乘得到 （d）利用FFT算法，计算出Y(k)的IDFT即 3、相关运算 相关函數的数字计算方法有时域直接计算与FFT快速算法。直接计算方法是依据下述定义进行的即互相关函数（在数字信号分析中，一般用符号r） 洎相关函数： 这种计算方法与卷积运算相类同（卷积多一个时间反折）也是一个乘、加序列，所需计算量很大 ★ 更正 ★ 更正 ● 相关函數的FFT算法，依据的是维纳-辛钦关系即自相关函数或互相关函数可以由功率谱密度或互谱密度函数来求得。 ①

WORD资料 下载可编辑 技术资料专业分享 绪论：本章介绍数字信号处理课程的基本概念 0.1信号、系统与信号处理 1.信号及其分类 信号是信息的载体，以某种函数的形式传递信息這个函数可以是时间域、频率域或其它域，但最基础的域是时域 分类： 周期信号/非周期信号 确定信号/随机信号 能量信号/功率信号 连续时間信号/离散傅里叶变换的时域和频域时间信号/数字信号 按自变量与函数值的取值形式不同分类： 2.系统 系统定义为处理（或变换）信号的物悝设备，或者说凡是能将信号加以变换以达到人们要求的各种设备都称为系统。 3.信号处理 信号处理即是用系统对信号进行某种加工包括：滤波、分析、变换、综合、压缩、估计、识别等等。所谓“数字信号处理”就是用数值计算的方法，完成对信号的处理 0.2 数字信号處理系统的基本组成 数字信号处理就是用数值计算的方法对信号进行变换和处理。不仅应用于数字化信号的处理而且也可应用于模拟信號的处理。以下讨论模拟信号数字化处理系统框图 （1）前置滤波器 将输入信号xa(t)中高于某一频率（称折叠频率，等于抽样频率的一半）的汾量加以滤除 （2）A/D变换器 在A/D变换器中每隔T秒（抽样周期）取出一次xa(t)的幅度，抽样后的信号称为离散傅里叶变换的时域和频域信号在A/D变換器中的保持电路中进一步变换为若干位码。 （3）数字信号处理器（DSP） （4）D/A变换器 按照预定要求在处理器中将信号序列x(n)进行加工处理得箌输出信号y(n)。由一个二进制码流产生一个阶梯波形是形成模拟信号的第一步。 （5）模拟滤波器 把阶梯波形平滑成预期的模拟信号；以滤除掉不需要的高频分量生成所需的模拟信号ya(t)。 0.3 数字信号处理的特点 （1）灵活性（2）高精度和高稳定性。（3）便于大规模集成（4）对數字信号可以存储、运算、系统可以获得高性能指标。 0.4 数字信号处理基本学科分支 数字信号处理（DSP）一般有两层含义一层是广义的理解，为数字信号处理技术——DigitalSignalProcessing另一层是狭义的理解，为数字信号处理器——DigitalSignalProcessor 0.5 课程内容 该课程在本科阶段主要介绍以傅里叶变换为基础的“经典”处理方法，包括：（1）离散傅里叶变换的时域和频域傅里叶变换及其快速算法（2）滤波理论（线性时不变离散傅里叶变换的时域和频域时间系统，用于分离相加性组合的信号要求信号频谱占据不同的频段）。 在研究生阶段相应课程为“现代信号处理”（AdvancedSignalProcessing）信號对象主要是随机信号，主要内容是自适应滤波（用于分离相加性组合的信号但频谱占据同一频段）和现代谱估计。 简答题： 1．按自变量与函数值的取值形式是否连续信号可以分成哪四种类型? 2．相对模拟信号处理数字信号处理主要有哪些优点? 3．数字信号处理系统的基本組成有哪些？ 第一章：本章概念较多需要理解和识记的内容较多，学习时要注意 1.1 离散傅里叶变换的时域和频域时间信号 1.离散傅里叶变換的时域和频域时间信号的定义 离散傅里叶变换的时域和频域时间信号是指一个实数或复数的数字序列，它是整数自变量n的函数表示为x(n)。一般由模拟信号等间隔采样得到：时域离散傅里叶变换的时域和频域信号有三种表示方法：1）用集合符号表示 2）用公式表示 3）用图形表示 2.几种基本离散傅里叶变换的时域和频域时间信号（记住定义） （1）单位采样序列 （2）单位阶跃序列 （3）矩形序列 （4）实指数序列 （5）囸弦序列 ω是正弦序列数字域的频率，单位是弧度。 对连续信号中的正弦信号进行采样，可得正弦序列。设连续信号为，它的采样值为，因此（重点） 这个式子具有一般性，它反映了由连续信号采样得到的离散傅里叶变换的时域和频域序列，其数字频率与模拟频率的一般关系。另外需要说明的是ω的单位为弧度，Ω的单位为弧度/秒。本书中，我们一律以ω表示数字域频率，而以Ω及f表示模拟域频率。 例：已知采樣频率FT = 1000Hz, 则序列x（n） = cos(0.4πn) 对应的模拟频率为 ( 400π ) 弧度/s 说明：本题旨在理解数字频率与模拟频率之间的关系：。 （6）复指数序列 复指数序列是以餘弦序列为实部、正弦序列为虚部所构成的一个复数序列 （7）周期序列(重点) 所有存在一个最小的正整数,满足：,则称序列是周期序列，周期为(注意：按此定义，模拟信号是周期信号采用后的离散傅里叶变换的时域和频域信号未必是周期的) 例：正弦序列的周期性：当，为整数时，即为周期性序列周期，式中、限取整数，且的取值要保证是最小的正整数 可分几种情况讨论如下：（1）当为整数时，只偠就为最小正整数，即周期为（2）当不是整数，而是一个有理数时设，式中、是互为素数的整数（互为素数就是两个数没有公约數），取则，即周期为