& 二次函数综合题知识点 & “已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在...”习题详情
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已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线y=mx2+2mx+n上．（1）求抛物线的解析式，并在平面直角坐标系中画出此抛物线并标出点A和点B；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形AA′B′B为菱形，求平移后抛物线的解析式；（3）在（2）中平移后的抛物线与x轴交于点C、B′，试在直线AB′上找一点P，使以C、B′、P为顶点的三角形为等腰三角形，并写出点P的坐标．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线y=mx2+2mx+n上．（1）求抛物线的解析式，并在平面直角坐标系中画出此抛物线并标出点A和点B；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应...”的分析与解答如下所示：
（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）把已知抛物线向上下左右平移后求其解析式，需将已知抛物线化成顶点式，根据“左加右减上加下减”的原则求出平移后的抛物线；（3）已知两定点，在限定的直线上求一点使它和已知两定点构成等腰三角形，需分两种情况考虑：一是这两定点为等腰三角形的底，做这条线段的垂直平分线，垂直平分线与限定直线的交点即为所求的其中一个点；二是这两定点为等腰三角形的腰，分别以这两定点为圆心，两定点确定的线段长为半径作圆，这两个圆与限定直线的交点即为所求．
解：（1）根据题意得{4m-4m+n=4m+2m+n=0解之得{m=-43n=4，∴y=-43x2-83x+4．（2）∵四边形AA′B′B为菱形∴AA′=BB′=AB=5∵y=-43x2-83x+4=-43（x+1）2+163，∴向右平移5各单位的抛物线的解析式为y′=-43（x-4）2+163．（3）抛物线y′=-43（x-4）2+163．与x轴有两个交点坐标，分别是C（2，0）B′（6，0），B′C=4，设直线AB′的解析式是y=kx+b{-2k+b=46k+b=0解得{k=-12b=3，直线解析式为y=-12x+3，与y轴交于点M（0，3）；①作线段BC的垂直平分线交直线AB′于点P1，点P1的横坐标为4则y=-12×4+3=1，∴P1（4，1）；②以点B′为圆心，B′C长为半径作弧，交直线与点P2，P3∵B′C=4，∴P2B′=4，过点P2作H1&P2⊥x轴∴△P2H1B′∽△MOB′∴P2H1MO=P2B′B′M，P2H13=43√5∴P2H1=4√55，当y=4√55时，-12x+3=4√55，解得：x=6-8√55∴P2（6-8√55，4√55）有对称性可知P3的纵坐标为-4√55，∴P3（6+8√55，-4√55）；③以点C为圆心，CB′长为半径作圆，交直线AB′于点P4，设P4（m，-12m+3）则（2-m）2+（-m2+3）2=16，解这个方程得m1=-25，m2=6，∴P4（-25，165）满足条件得点p共有4个，分别是P1（4，1），P2（6-8√55，4√55），P3（6+8√55，-4√55），P4（-25，165）．
本题考查了一次函数、二次函数，一元二次方程，三角形的有关计算，这种用圆规找点的方法不会漏掉任何一个点，达到找点时不重不漏的要求．
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已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线y=mx2+2mx+n上．（1）求抛物线的解析式，并在平面直角坐标系中画出此抛物线并标出点A和点B；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，...
错误类型：
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经过分析，习题“已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线y=mx2+2mx+n上．（1）求抛物线的解析式，并在平面直角坐标系中画出此抛物线并标出点A和点B；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应...”主要考察你对“二次函数综合题”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
与“已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线y=mx2+2mx+n上．（1）求抛物线的解析式，并在平面直角坐标系中画出此抛物线并标出点A和点B；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应...”相似的题目：
[2002o广州o模拟]直线y=x与抛物线y=x2-2的两个交点的坐标分别是（　　）（2，2），（1，1）（2，2），（-1，-1）（-2，-2），（1，1）（-2，-2），（-l，-1）
[2015o乐乐课堂o练习]直线y=x+2与抛物线y=x2+2x的交点坐标是（　　）（1，3）（-2，0）（1，3）或（-2，0）以上都不是
[2015o乐乐课堂o练习]直线y=2x-1与抛物线y=x2的交点坐标是（　　）（0，0），（1，1）（1，1）（0，1），（1，0）（0，-1），（-1，0）
“已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在...”的最新评论
该知识点好题
1（2013o淄博）如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（　　）
2二次函数y=x2-8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于12的点P共有（　　）
3如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积是（　　）
该知识点易错题
1（2012o南浔区二模）如图，点A（a，b）是抛物线y=12x2上一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中（点A不与坐标原点O重合），以下结论：①ac为定值；②ac=-bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．正确的有（　　）
2如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
x&…&-3&-2&1&2&…&y&…&-52&-4&-52&0&…&（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围．
3如图，已知直线y=-12x+1交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过A、D、C作抛物线L1．（1）请直接写出点C、D的坐标；（2）求抛物线L1的解析式；（3）若正方形以每秒√5个长度单位的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形在运动过程中落在x轴下方部分的面积为S．求S关于滑行时间t的函数关系式；（4）在（3）的条件下，抛物线L1与正方形一起平移，同时停止，得到抛物线L2．两抛物线的顶点分别为M、N，点&P是x轴上一动点，点Q是抛物线L1上一动点，是否存在这样的点P、Q，使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
欢迎来到乐乐题库，查看习题“已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线y=mx2+2mx+n上．（1）求抛物线的解析式，并在平面直角坐标系中画出此抛物线并标出点A和点B；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形AA′B′B为菱形，求平移后抛物线的解析式；（3）在（2）中平移后的抛物线与x轴交于点C、B′，试在直线AB′上找一点P，使以C、B′、P为顶点的三角形为等腰三角形，并写出点P的坐标．”的答案、考点梳理，并查找与习题“已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线y=mx2+2mx+n上．（1）求抛物线的解析式，并在平面直角坐标系中画出此抛物线并标出点A和点B；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形AA′B′B为菱形，求平移后抛物线的解析式；（3）在（2）中平移后的抛物线与x轴交于点C、B′，试在直线AB′上找一点P，使以C、B′、P为顶点的三角形为等腰三角形，并写出点P的坐标．”相似的习题。扫二维码下载作业帮
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如图：抛物线经过A（-3,0）、B（0,4）、C（4,0）三点.标签:抛物线 已知AD = AB（D在线段AC上）,有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动,经过t 秒的移动,线段PQ被BD垂直平分,抛物线对称轴是否存在一点M,MQ+MC值最小,求M坐标
对话就哦0157
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依题易知抛物线方程为y=-1/3x2+1/3x+4,d点坐标为（2.0）,由线段PQ被BD垂直平分,我们利用垂直可知t秒后pq的斜率为1/2,这时我们可以设pq的直线方程为y=1/2x+b,又由有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动,...
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1.75亿学生的选择
a、b、c三个物体在同一条直线上运动，三个物体的位移--时间图象如图所示，图象c&是一条抛物线，坐标原点是抛物线的顶点，下列说法中正确的是（　　）A．a、b两物体都做匀速直线运动，两个物体的速度相同B．a、b两物体都做匀速直线运动，两个物体的速度大小相等、方向相反C．在0～5s内，当t=5s时，a、b两个物体相距最远D．物体c一定做匀加速运动
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A、B位移图象倾斜的直线表示物体做匀速直线运动，则知a、b两物体都做匀速直线运动．由图看出斜率看出，a、b两图线的斜率大小、正负相反，说明两物体的速度大小相等、方向相反．故A错误，B正确．C、a物体沿正方向运动，b物体沿负方向运动，则当t=5s时，a、b两个物体相距最远．故C正确．D、对于匀加速运动位移公式x=v0t+2，可见，x-t图象是抛物线，所以物体c一定做匀加速运动．故D正确．故选BCD
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位移图象倾斜的直线表示物体做匀速直线运动，图象的斜率大小等于速度大小，斜率的正负表示速度方向．分析在0～5s内a、b两物体之间距离的变化．图象c是一条抛物线表示匀加速运动．
本题考点：
匀变速直线运动的图像．
考点点评：
本题是为位移--时间图象的应用，要明确斜率的含义，并能根据图象的信息解出物体运动的速度大小和方向．
扫描下载二维码把抛物线l1:y=-x2向右平移1个单位长度.再向上平移4个单位长度.得到抛物线l2．如图.点A.B分别是抛物线l2与x轴的交点.点C是抛物线l2与y轴的交点．(1)直接写出抛物线l2的解析式及其对称轴,(2)在抛物线l2的对称轴上求一点P.使得△PAC的周长最小．请在图中画出点P的位置.并求点P的坐标,(3)若点D是抛物线l2上的一动点.且点D在第一象限内.过点D作DE 题目和参考答案——精英家教网——
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把抛物线l1：y=-x2向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线l2．如图，点A、B分别是抛物线l2与x轴的交点，点C是抛物线l2与y轴的交点．（1）直接写出抛物线l2的解析式及其对称轴；（2）在抛物线l2的对称轴上求一点P，使得△PAC的周长最小．请在图中画出点P的位置，并求点P的坐标；（3）若点D是抛物线l2上的一动点，且点D在第一象限内，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，DE与直线BC交于点F．设D点的横坐标为t．试探究：①四边形DCEB能否为平行四边形？若能，请直接写出点D的坐标；若不能，请简要说明理由；②四边形CEBCD能否为梯形？若能，请求出符合条件的D点坐标；若不能，请说明理由．
【答案】分析：（1）根据二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律即可得到l2的解析式和对称轴；（2）连接BC，交对称轴于点P，连接AP、AC．点A关于对称轴x=1的对称点是点B（3，0），由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小，依此求点P的坐标；（3）①反证法推出矛盾的结论，得出四边形DCEB不能为平行四边形；②分情况1：若CD∥BE；情况2：若CE∥BD两种情况讨论求得四边形CEBCD为梯形时符合条件的D点坐标．解答：解：（1）l2：y=-（x-1）2+4，对称轴为直线x=1；（3分）（2）如图1，连接BC，交对称轴于点P，连接AP、AC．（4分）∵AC长为定值，∴要使△PAC的周长最小，只需PA+PC最小．∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B（3，0），抛物线y=-x2+2x+3与y轴交点C的坐标为（0，3）．∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小．（5分）设直线BC的解析式为y=kx+3，将B（3，0）代入3k+3=0，得k=-1．∴y=-x+3（6分）∴当x=1时，y=2．∴点P的坐标为（1，2）．（7分）（3）①四边形DCEB不能为平行四边形．（8分）若四边形DCEB为平行四边形，则EF=DF，CF=BF．∵DE⊥x轴，∴DE∥y轴．∴，即OE=BE=1.5当xF=1.5时，yF=-1.5+3=1.5，即EF=1.5．当xD=1.5时，yD=-（1.5-1）2+4=3.75，即DE=3.75．∴DF=DE-EF=3.75-1.5=2.25＞1.5．即DF＞EF，这与EF=DF相矛盾．∴四边形DCEB不能为平行四边形．（10分）②四边形DCEB能为梯形．情况1：若CD∥BE，则yC=yD=3．当yD=3时，解得xD=2，易得OE=2，BE=1．∴CD≠BE．（11分）∴当CD∥BE时，四边形DCEB为梯形．∴当D的坐标为（2，3）时，四边形DCEB为梯形．（12分）情况2：若CE∥BD，由①易得CD与BE不平行．即当CE∥BD时，四边形DCEB为梯形．依题意得：OE=t，BE=3-t，DE=-t2+2t+3．∵DE∥y轴，D点的横坐标为t，∴F点的横坐标为t．∵CE∥BD，∴∠CEO=∠DBE．∴tan∠CEO=tan∠DBE，∴，即，整理得：t2+t=3．（13分）解得：，（不合题意，舍去）．当时，解得yD=．∴当D的坐标为（，）时，四边形DCEB为梯形．（14分）综上，当D的坐标为（2，3）或（，）时，四边形DCEB为梯形．注：此题有多种解法，其他解法（或写法）可参照以上的评分标准给分．点评：此题主要考查了二次函数图象的平移、轴对称的性质、平行四边形及梯形的判定、图形周长的求法等等知识的综合应用能力．
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科目：初中数学
把抛物线l1：y=-x2向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线l2．如图，点A、B分别是抛物线l2与x轴的交点，点C是抛物线l2与y轴的交点．（1）直接写出抛物线l2的解析式及其对称轴；（2）在抛物线l2的对称轴上求一点P，使得△PAC的周长最小．请在图中画出点P的位置，并求点P的坐标；（3）若点D是抛物线l2上的一动点，且点D在第一象限内，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，DE与直线BC交于点F．设D点的横坐标为t．试探究：①四边形DCEB能否为平行四边形？若能，请直接写出点D的坐标；若不能，请简要说明理由；②四边形CEBCD能否为梯形？若能，请求出符合条件的D点坐标；若不能，请说明理由．
科目：初中数学
如图，把抛物线y=-x2（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得出抛物线l1，抛物线l2与抛物线l1关于y轴对称．点A，O，B分别是抛物线l1，l2与x轴的交点，D，C分别是抛物线l1，l2的顶点，线段CD交y轴于点E．（1）分别写出抛物线l1与l2的解析式；（2）设P使抛物线l1上与D，O两点不重合的任意一点，Q点是P点关于y轴的对称点，试判断以P，Q，C，D为顶点的四边形是什么特殊的四边形？请说明理由．（3）在抛物线l1上是否存在点M，使得S△ABM=S四边形AOED？如果存在，求出M点的坐标；如果不存在，请说明理由．
科目：初中数学
已知一抛物线l1与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（3，10）．（1）求该抛物线的解析式；（2）把该抛物线向下平移4个单位得抛物线l2，设它与x轴交于P、Q两点，抛物线上点C移动后的对应点为D，求△DPQ的面积．
科目：初中数学
题型：解答题
把抛物线l1：y=-x2向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线l2．如图，点A、B分别是抛物线l2与x轴的交点，点C是抛物线l2与y轴的交点．（1）直接写出抛物线l2的解析式及其对称轴；（2）在抛物线l2的对称轴上求一点P，使得△PAC的周长最小．请在图中画出点P的位置，并求点P的坐标；（3）若点D是抛物线l2上的一动点，且点D在第一象限内，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，DE与直线BC交于点F．设D点的横坐标为t．试探究：①四边形DCEB能否为平行四边形？若能，请直接写出点D的坐标；若不能，请简要说明理由；②四边形CEBCD能否为梯形？若能，请求出符合条件的D点坐标；若不能，请说明理由．
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