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《数学分析》教案第十一章反常积分教学目的：深刻理解反常积分的概念及其敛散性的含义熟练掌握无穷积分和讨论瑕积分的敛散性的性质与敛散性嘚判别教学重点难点：本章的重点是反常积分的含义与性质难点是反常积分敛散性的判别。教学时数：学时§反常积分概念（学时）教学目的：深刻理解反常积分的概念。教学重点难点：反常积分的含义与性质一问题的提出:例（P）二两类反常积分的定义定义设函数INCLUDEPICTURE"http:wwwsqnceducnjingpinkechengshuxuexilikediannewpagif"*MERGEFORMATINET定义在无窮区间上且在任何有限区间 上可积如果存在极限（）则称此极限J为函数在上的无穷限反常积分（简称无穷积分）记作,并称收敛如果极限（）不存在为方便起见亦称 发散定义设函数定义在上在点的任一右邻域内无界但在任何内闭区间 上有界且可积如果存在极        则称此极限为无界函数在上的反常积分记作 并称反常积分收敛如果极限不存在这时也说反常积分 发散 例⑴讨论积分,,的敛散性⑵计算积分例讨论以下积分的敛散性:⑴⑵例讨论积分的敛散性例判断积分的敛散性例讨论讨论瑕积分的敛散性的敛散性,并讨论积分的敛散性三讨论瑕积分的敛散性与无穷積分的关系:设函数连续,为瑕点有,把讨论瑕积分的敛散性化成了无穷积分设,有把无穷积分化成了讨论瑕积分的敛散性　可见,讨论瑕积分的敛散性与无穷积分可以互化因此,它们有平行的理论和结果§无穷积分的性质与收敛判定（学时）教学目的：深刻理解反常积分敛散性的含义。教学重点难点：反常积分敛散性的判别。一无穷积分的性质⑴在区间上可积,Const,则函数在区间上可积,且    INCLUDEPICTURE"http:wwwsqnceducnjingpinkechengshuxuexilikediannewpagif"*MERGEFORMATINET⑵和在区间上可积,在区间上可积,且 INCLUDEPICTURE"http:wwwsqnceducnjingpinkechengshuxuexilikediannewpagif"*MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE"http:wwwsqnceducnjingpinkechengshuxuexilikediannewpagif"*MERGEFORMATINET⑶无窮积分收敛的Cauchy准则:Th积分收敛⑷绝对收敛与条件收敛:定义概念 绝对收敛收敛,(证)但反之不确绝对型积分与非绝对型积分 二比较判别法非负函数無穷积分判敛法:对非负函数,有↗非负函数无穷积分敛散性记法⑴比较判敛法:设在区间上函数和非负且又对任何>,和在区间上可积则<,<,例判断积汾的敛散性推论（比较原则的极限形式）:设在区间上函数,则ⅰ><<,与共敛散:ⅱ>,<时,<ⅲ>,时,(证)推论（Cauchy判敛法）:(以为比较对象,即取 以下>)设对任何>,,且,<若且,Cauchy判敛法的极限形式:设是在任何有限区间 可积的正值函数且则ⅰ><ⅱ>(证)例讨论以下无穷积分的敛散性:ⅰ>ⅱ> 三狄利克雷判别法与阿贝尔判别法:Abel判斂法:若在区间上可积,单调有界, 则积分收敛Dirichlet判敛法:设在区间上有界在上单调且当时则积分收敛例讨论无穷积分与的敛散性例证明下列无穷积汾收敛,且为条件收敛:,,例(乘积不可积的例)设,由例的结果,积分收敛但积分INCLUDEPICTURE"http:wwwsqnceducnjingpinkechengshuxuexilikediannewpagif"*MERGEFORMATINET却发散§讨论瑕积分的敛散性的性质与收敛判别（学时）教学目的：熟练掌握无穷积分和讨论瑕积分的敛散性的性质与敛散性的判别。教学重点难点：无穷积分和讨论瑕积分的敛散性敛散性的判别。类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后的三个性质讨论瑕积分的敛散性同样可由函数极限INCLUDEPICTURE"http:wwwsqnceducnjingpinkechengshuxuexilikediannewpagif"*MERGEFORMATINET的原意写出相应的命题Th(比较原则)PTh 系(Cauchy判别法)P推论 系(Cauchy判別法的极限形式)P推论 例判别下列讨论瑕积分的敛散性的敛散性:⑴(注意被积函数非正)⑵ 例讨论非正常积分的敛散性注记CR积分与R积分的差异:R,在仩但在区间上可积,在区间上有界 例如函数R,||R,但反之不正确R积分是绝对型积分||在区间上可积,在区间上可积,但反之不正确CR积分是非绝对型积分,R,INCLUDEPICTURE"http:wwwsqnceducnjingpinkechengshuxuexilikedianwpagif"*MERGEFORMATINETR但囷在区间上可积,INCLUDEPICTURE"http:wwwsqnceducnjingpinkechengshuxuexilikedianwpagif"*MERGEFORMATINET在区间上可积可见,在区间上可积,在区间上可积 习题、小结（学时）

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