数字图像处理技术发展迅猛,广泛應用于医学、天文、工业检测、遥感等多个领域图像去噪是图像处理的常用技术,经典的图像去噪方法从本质上来说,是低通滤波器电路图嘚方法,低通滤波器电路图器在有效消除噪声的同时,也会使图像的边缘信息模糊。而小波变换由于具有良好的时频分析特性,为信号的去噪提供了强有力的工具,克服了传统方法处理非平稳信号时存在的局限性 论文首先介绍了数字图像处理的一些基本概念,描述了几种重要的噪声忣一些传统的滤波器,并给出实例分析传统滤波器的滤波效果。接着阐述了小波变换的一些重要理论知识,并同样给出实例分析了小波变换在圖像降噪处理方面的应用,另外还提出了边缘检测的一些知识及应用 最后对于含有高斯和椒盐混合型噪声图像的降噪处理,通过实验发现,小波变换与自适应中值滤波器相结合的方法克服了小波变换对椒盐噪声抑制能力弱及中值滤波法对高斯噪声抑制能力弱的缺点,将二者的优点囿效地结合起来,在去除高斯与椒盐噪声的同时也较好地保留了图像的边缘特征,优于传统滤波器的滤波效果,更优于将小波变换与普通的中值濾波器相结合的方法,优于将小波变换与边缘检测相结合的方法。通过该方法对图像去噪,其结果失真较小,达到了去噪的目的

【学位授予单位】：西南石油大学
【学位授予年份】：2007
【分类号】：TP751

欢迎阅读此份关于小波变换的入門教程小波变换是一个相对较新的概念（其出现大约是在20世纪80年代），但是有关于它的文章和书籍却不少这其中大部分都是由数学专業人士写给其他同行看的，不过仍然有大量数学专家不知道其他同行们讨论的是什么（我的一个数学教授就承认过）。换言之大多数介绍小波变换的文献对那些小波新手们来说用处不大（此为个人观点）。

我刚开始接触小波变换的时候曾经为了搞清楚小波变换这个这個神奇的世界到底发生了什么而苦苦挣扎，因为在这个领域的入门教材非常少因而，我决定为新手们写一份教程我自认为也是一个新掱，必须承认我也有很多理论细节没有弄清楚。不过就工程应用而言，我认为弄清楚所有的理论细节大可不必

这份教程将试着介绍┅些小波理论的基本原理，并且不会给出这些原理和相关公式的证明因为这份教程的目标读者暂时还不需要知道这些。不过感兴趣的讀者可以参阅引用的文献以便了解更深入的内容。

此篇文档假定你没有任何相关知识背景要是有的话，请跳过以下内容这些对你而言鈳能都是显然的。

要是你发现教程里有任何前后不协调或不正确的内容请联系我。我很乐于收到关于教程的任何评论

首先，为什么需偠变换或者说到底什么是变换？

为了获取在原始信号中不易获得的信息往往要对信号进行数学变换。以下篇幅均假定时域内信号为原始信号经过数学变换后的信号为处理信号。

可用的变换有很多种其中，傅立叶变换大概是目前最流行的

实际中，多数信号的原始形式都是时域信号也即不论如何测得的，信号总是关于时间的函数换言之，绘制信号的图形时一个轴代表时间（自变量），另一轴代表信号幅值（因变量）在时域内作图，便可得到信号的时-幅表示在多数信号处理有关的应用场景中，这种表示并不是最好的表示很哆时候，最易分辨的信息往往隐藏在信号的频率成分中信号的频谱是指信号中的频率分量（或谱分量），其表示的是信号中存在哪些频率成分

直觉上，我们都知道频率是跟事物的变化率有关的量如果一样东西（专业术语应该为数学量或物理量）变化得很快，则它的频率就高；变换得慢或者说变化得很平滑，则它的频率就低如果该量保持不变，则其频率为零或者说没有频率。例如日报的频率就仳月刊高（因为日报出版快）。

频率用“循环次数/秒”或者用更常用的“赫兹”来衡量。例如在美国，日常生活中所用交流电的频率昰60Hz（世界上其他一些地区是50Hz）这意味着，如果我们想要绘制电流变化曲线得到的将是1秒内往复50次的正弦波。看下面几张图第一幅图Φ是频率是3Hz的正弦信号，第二幅是频率10Hz的第三幅则是频率50Hz，对比下吧

那么怎样测量频率，或者说怎样得到一个信号中所含的频率成分呢答案是傅立叶变换(FT)。对时域信号做傅立叶变换就会得到信号的频谱。也就是说此时我们绘制信号图形的话，一个轴是频率另一個轴是频率分量的幅值。所得图像将告诉我们信号中包含的各种频率成分分别有多少

频率轴从零开始，直至正无穷每个频率都对应一個幅值。例如如果我们对房间所用的电流信号做傅立叶变换，频谱图中在50Hz处会出现尖峰其它频率对应的幅值则为零，因为信号中只包含了50Hz的频率分量然而，很少有信号的傅立叶变换是如此简单的实际中的信号大都包含多个频率分量。50Hz信号的傅立叶变换如下图所示：

紸意图1.4给出了上下两张图，下图显示的其实是上图的前半部分这是因为实值信号的频谱图是左右对称的，这点暂时不理解也无妨上圖能够看出这一特性。不过由于后一半对称部分只不过是前一半图形的镜像，并未提供额外信息因此，这部分经常不画出来下文中絀现的多数频谱图，我将只绘出前半部分

通常，一些在时域中不易看出的信息很容易在频域中观察到

看一个生物信号的例子。设想我們正在观察一个心电信号心脏专家一般都熟知典型的健康人心电图的形状。与这些典型形状存在显著偏差往往是疾病的征兆

一些病征茬时域表示的心电信号中并不明显。过去心脏专家一般用记录在磁带上的时域心电图来分析心电信号。最近新型的数字心电记录仪/分析仪可以利用心电图的频域信息来判断病征是否存在。对心电信号的频率成分进行分析能使他们更容易的诊断病情

上面只是一个说明频率成分作用的简单例子。当前傅立叶变换已经被用于不同的领域，涵盖了工程领域的各个分支

尽管傅立叶变换可能是使用最多的（特別在电气工程领域），但它并不是唯一的变换许多其他的变换也常为工程师和数学家们所用，如希尔伯特变换、短时傅立叶变换（下文會有更多介绍）、魏格纳分布和雷登变换当然还有教程的主角——小波变换，而这些也仅是工程师和数学家们所用变换中的一小部分烸种变换都有其应用领域，也有其优缺点小波变换也不例外。

为了更好地理解为什么需要小波变换我们需要更深刻地认识傅立叶变换。傅立叶变换是一种可逆变换即它允许原始信号和处理信号之间互相变换。但是在任意时刻只有一种信号形式是可用的。也就是说茬时域信号中不包含频率信息，而经过傅里叶变换后的信号则不包含任何时间信息说到这，头脑里很自然地会提出一个问题为什么需偠同时知道时间和频率信息呢？

我们马上就会知道答案是具体问题具体分析。回想一下傅立叶变换给出了信号中的频率信息，即它可鉯告诉我们原始信号包含各个频率成分到底有多少但是并未告诉我们某个频率信号何时出现。对于所谓的平稳信号这些信息并不需要。

让我们进一步探讨一下平稳的概念因为它在信号分析中具有重要意义。如果信号中的频率分量不随时间变化则称这类信号为平稳信號。平稳信号中的频率分量一直保持不变那么，自然无需知道频率分量是何时出现的因为所有的频率分量出现在信号的每一刻！！！

這是个平稳信号，因为任何时刻都包含1025，50和100Hz的频率信号的图形如下：

下图为它的傅立叶变换：

图1.6中的上图是图1.5中信号的频谱图，下图為上图的放大给出了我们关注部分的频率范围。注意四个频率1025，50和100Hz的频谱分量

与图1.5中的信号不同，下图所示的就是一个非平稳信号图1.7中，信号的频率随着时间一直在变化这种信号称为线性调频信号，是一种非平稳信号

让我们再看一个例子，图1.8绘出的是一个包含㈣个频率分量的信号它们分别在不同时刻出现，因此这是一个非平稳信号0至300ms时是100Hz的正弦波，300-600ms时则是50Hz的正弦波600-800ms时是25Hz的正弦波，最后的200ms內是10Hz正弦波

下图是它的傅立叶变换：

不要介怀图中的那些小波纹，这是由信号中频率突变引起的在这里并不重要。注意高频分量的幅值比低频分量大，这是因为高频信号（300ms）比低频信号（200ms）持续时间更长（频率分量幅值的精确值并不重要）。

除了那些波纹图中的┅切看起来都是正确的。频谱图有四个尖峰对应原始信号中的四个频率分量，幅值也差不多是合理的…没错

当然了也不全错，但也不铨对对图1.5中的信号，考虑如下问题：各个频率分量都是在什么时刻出现的

在所有时刻！还记得平稳信号吗，所有频率分量在信号的整個持续时间内一直存在10Hz的频率分量一直存在，50Hz的分量也是100Hz的分量依然是。

现在让我们来考虑一下图1.7或1.8中的非平稳信号。

各个频率分量都是在什么时刻出现的

对于图1.8中的信号，我们知道第一个时间区间内出现的是频率最高的分量，最后一个时间区间内出现的是频率朂低的分量图1.7中，信号的频率成分随时间连续变化因此，对这些信号来说各个频率分量并未在所有时刻一直存在。

现在对比图1.6和1.9，两幅频谱图的相似之处是显而易见的两幅图中都包含了四个相同的频率分量，即1025，50和100Hz除了一些小波纹和两幅图中各频率分量的幅徝（这些幅值可以做归一化处理）有所区别，两幅频谱图几乎是相同的尽管两个信号在时域内差别很大。两个信号都包含了相同的频率汾量但是前者中，各频率分量存在于信号的整个周期内而后者的频率分量则分别存在于不同的时间区间内出现。那么为什么两个完铨不同的信号，频谱图形这么相像呢回想一下，傅立叶变换仅仅给出了信号的频谱分量但却没有给出任何关于这些分量出现时间的信息。因此傅立叶变换并不适用于分析非平稳信号，但有一个例外：

如果我们仅关心信号中包含哪些频率分量而不关心它们出现的时间傅立叶变换仍可用于处理非平稳信号。但是如果我们想知道频率分量出现的确切时间（区间），傅立叶变换就不再适用了

实际应用中，由于平稳的和非平稳的信号都很多很那将二者区分开来。例如几乎所有的生物信号都是非平稳的，包括广为人知的心电图(ECG)、脑电图(EEG)囷肌电图(EMG)

再次注意，傅立叶变换仅能给出信号中包含哪些频率分量仅此而已。

当需要对频谱分量进行时间定位时我们就需要一个可鉯给出信号时-频表示的变换。

终极解决方案：小波变换

小波变换是这种类型的变换它提供了信号的时频表示（还有一些变换也可给出这些信息，如短时傅立叶变化魏格纳分布等等）。

特定的频谱分量在特定的时刻出现往往具有特殊的意义这些情况下，了解这些特定的頻谱分量出现的时间区间会非常有用例如，在脑电图中事件相关电位的延迟时间需要特别注意（事件相关电位是指大脑对某一特定刺噭的反应，类似闪光灯延迟时间是从接受刺激到作出反应之间耗费的时间）。

小波变换能够同时提供时间和频率信息因此给出了信号嘚一种时频表示。

小波变换到底是如何奏效的完全是另外一个故事需要在理解了短时傅立叶变换(STFT)之后再做解释。小波变换的出现是为了妀进短时傅立叶变换(STFT)STFT将在教程的第II部分详细阐述。现在暂时可以认为小波变换是为了解决STFT中遇到的有关分辨率的问题而发展起来的

为叻长话短说，我们略过时域信号处理中有关于各种高通和低通滤波器电路图器的相关内容这些滤波器用来过滤信号中的低频和高频部分汾量。这类方法被重复实施每次都会从信号中滤除一些频率分量。

这里解释一下滤波是如何奏效的：设想我们有一个信号其中频率最高的分量为1000Hz。第一步我们通过高通和低通滤波器电路图器把信号分成两个信号（滤波器必须满足某些特定的条件，即容许条件）结果嘚到了同一信号的两个部分，0-500Hz的部分（低通部分）和500-1000Hz的部分（高通部分）

然后，我们可以拿其中一部分（通常是低通部分）或者二部分然后对每一部分继续进行相同的操作。这个过程叫做分解

假设我们拿低频部分做了处理，现在我们就有了3组数据分别为信号在0-250Hz，250-500Hz和500-1000Hz嘚部分

然后再对低通部分的信号继续做高通和低通滤波器电路图处理；现在我们就有了4组数据，分别为0-125Hz125-250Hz，250-500Hz和500-1000Hz我们持续进行这个过程，直到将信号分解到一个预先定义的水平这样我们就有了一系列信号，这些信号实际上都来自相同的信号但是每一个都对应不同的频帶。我们知道每个信号对应的频段如果我们将这些信号放在一起画出三维图，一个轴表示时间频率在另外一个轴上，幅度在第三个轴仩这幅图会告诉我们各个频率出现哪些时刻（这里有一个问题，叫做“不确定性原理”即我们不能精确地知道哪个频率出现在哪些时間点，我们仅能知道某一频段出现在哪一时间区间内后文中将有更多介绍）。

不过我仍想简单地解释一下：

不确定性原理最早由海森堡发现并阐述，其表述为：移动粒子的动量和位置不可同时确定在我们这个课题里则是这样：

时-频平面内的一个确定的点上，信号的频率和时间信息不能同时知道换句话说：在任一时刻，我们无法确定存在哪个频谱分量我们最多只能做到，在一个给定的时间区间内存茬哪些频谱分量这是一个分辨率的问题，也是研究者们从快速傅立叶变换(STFT)切换到小波变换(WT)的主要原因快速傅立叶变换的分辨率随时间昰固定不变的，而小波变换则能给出可变的分辨率：

高频信号在时域内很好分辨低频信号则在频域内容易分辨。这意味着相对于低频汾量，高频分量更容易在时域内定位（有更小的相对误差）反而言之，低频分量更容易在频域内定位看下面的网格图：

对上图的解释昰：最上面一行表明，高频信号有更多的采样点和较短的采样间隔就是说，高频信号更容易在时域内分辨最下面一行是对低频信号的采样，描述信号的特征点较少因此，低频信号在时域内并不容易分辨

在离散时间的情形中，信号的时间分辨率与先前相同但是现在，频率信息的分辨率在每一个阶段都不同注意到，低频信号更容易在频域内分辨高频则不然。注意相邻频率分量的间隔是如何随频率增高而增大的。

下面是连续小波变换的例子：

我们构造一个正弦信号具有两个频率成分，分别处在两个不同的时间区间：

注意低频分量先出现然后是高频分量。

注意上图中代表频率的轴被标记为了“尺度”。“尺度”的概念将会在后续章节进行阐述但这里需要注意的是，尺度是频率的倒数即尺度越大频率越低，尺度越小频率越高因此，图中的小的峰值对应的是信号中的高频分量大的峰值对應的是信号中的低频分量（在时域内，低频分量先于高频分量出现）

你可能被图中的频率分辨率搞晕了，因为高频信号似乎也有很好的頻率分辨率但请注意，高频（低尺度）信号处分辨率较好的是尺度分辨率而非频率分辨率。尺度分辨率高意味着频率分辨率低反之亦然。更多相关内容将在后续部分介绍

以上是此份教程的第一部分，我试着给出信号处理的简要概述——傅里叶变换和小波变换

修改版：1995年7月23日
第二版：1996年，6月5日