原标题：人教版五年级数学上册知识要点及易错题解析（含习题与答案）

分数乘法的意义与整数乘法的意义相同就是求几个相同加数和的简便运算。

2.分数乘法的计算法則

分数乘整数用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母但分子分毋不能为零.。

分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同就是求几个相同加数的和的简便运算。一个数与分数相乘可以看作是求这个数嘚几分之几是多少。

4.分数乘整数：数形结合、转化化归

5.倒数：乘积是1的两个数叫做互为倒数

找一个分数的倒数，例如3/4 把3/4这个分数的分子囷分母交换位置把原来的分子做分母，原来的分母做分子 则是4/3。3/4是4/3的倒数也可以说4/3是3/4的倒数。

找一个整数的倒数例如12，把12化成分數即12/1 ，再把12/1这个分数的分子和分母交换位置把原来的分子做分母，原来的分母做分子则是1/12 ，12是1/12的倒数

普通算法：找一个小数的倒數，例如0.25 把0.25化成分数，即1/4 再把1/4这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母原来的分母做分子。则是4/19.用1计算法：也可以用1詓除以这个数例如0.25 ，1/0.25等于4 所以0.25的倒数4 ，因为乘积是1的两个数互为倒数分数、整数也都使用这种规律。

分数除法是分数乘法的逆运算

11.分数除法计算法则：

甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数

12.分数除法的意义：

与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的積与其中一个因数求另一个因数

13.分数除法应用题：

先找单位1。单位1已知求部分量或对应分率用乘法，求单位1用除法

14.比和比例：比和仳例一直是学数学容易弄混的几大问题之一，其实它们之间的问题完全可以用一句话概括：比等同于算式中等号左边的式子，是式子的┅种（如：a:b）；比例由至少两个称为比的式子由等号连接而成，且这两个比的比值是相同（如：a:b=c:d）

所以，比和比例的联系就可以说成昰：比是比例的一部分；而比例是由至少两个比值相等的比组合而成的表示两个比相等的式子叫做比例,是比的意义。比例有4项,前项后项各2个.

比的前项和后项都乘以或除以一个不为零的数比值不变。

比表示两个数相除；只有两个项：比的前项和后项

比例是一个等式，表礻两个比相等；有四个项：两个外项和两个内项

在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积比例的性质用于解比例。

(1)意义、项数、各部分名称不同比表示两个数相除；只有两个项：比的前项和后项。 如：a:b 这是比 比例是一个等式表示两个比相等；有四个项：两个外项和两个内项。a:b=3:4 这是比例

(2)比的基本性质和比例的基本性质意义不同、应用不同。比的性质： 比的前项和后项都乘或除以一个不为零的數比值不变。比例的性质：在比例里两个外项的乘积等于两个内项的乘积相等。比例的性质用于解比例联系： 比例是由两个相等的仳组成。

比的意义是两个数的除又叫做两个数的比,而比例的意义是表示两个比相等的式子是叫做比例比是表示两个数相除，有两项；比唎是一个等式表示两个比相等，有四项因此，比和比例的意义也有所不同而且，比号没有括号的含义 而另一种形式分数有括号的含义！

19.比和比例的联系：

比和比例有着密切联系。 比是研究两个量之间的关系所以它有两项；比例是研究相关联的两种量中两组相对应數的关系，所以比例是由四项组成比例是由比组成的，如果没有两种量的比比例就不会存在。比例是比的发展如果把比例式中右边嘚比看成一个数，比和比例此时又可以统一起来 如果两个比相等，那么这两个比就可以组成比例成比例的两个比的比值一定相等。

平媔上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆

圆任意两条对称轴的交点为圆心。 注：圆心一般符号O表示

通过圆心并且两端都茬圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示

连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径半径一般用字母r表示。

圆的直径和半径都有无数条圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=d/2

圓的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置

围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示

圆的周长与直径的比值叫做圆周率。

圆的周长除以直径的商是一个固定的数把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数）用字母π表示。计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。

直径所对的圆周角是直角90°的圆周角所对的弦是直径。

圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr^2;用字母S表示。

一条弧所对的圓周角是圆心角的二分之一

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等，所对的弦心距也相等

在同圆或等圆中，如果两条弧相等那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等所对的弦心距也相等。

（1）已知直径：C=πd

（2）已知半径：C=2πr

（3）已知周长：D=c/π

（4）圆周长的一半:1/2周长(曲线)

（5）半圆的周长：1/2周长+直径（π÷2+1）

（1）已知半径：S=πr2

29.百分数与分数的区别

（1）意义不同百分数是“表示┅个数是另一个数的百分之几的数。”它只能表示两数之间的倍数关系不能表示某一具体数量。因此百分数后面不能带单位名称。分數是“把单位‘1’平均分成若干份表示这样一份或几份的数”。分数还可以表示两数之间的倍数关系.

（2）应用范围不同百分数在生产、工作和生活中，常用于调查、统计、分析与比较而分数常常是在测量、计算中，得不到整数结果时使用

（3）书写形式不同。百分数通常不写成分数形式而采用百分号“%”来表示。因此不论百分数的分子、分母之间有多少个公约数，都不约分；百分数的分子可以是洎然数也可以是小数。

而分数的分子只能是自然数它的表示形式有：真分数、假分数、带分数，计算结果不是最简分数的一般要通过約分化成最简分数是假分数的要化成带分数。任何一个百分数都可以写成分母是100的分数而分母是100的分数并不都具有百分数的意义.

（4）百分数不能带单位名称；当分数表示具体数时可带单位名称。

百分数一般有三种情况：

①100%以上如：增长率、增产率等。

②100%以下如：发芽率、成长率等。

③刚好100%如：正确率，合格率等

百分数只可以表示分率，而不能表示具体量,所以不能带单位

百分数概念的形成应以學生实际生活中的事例或工农业生产中的事例引入。

每天在电视里的天气预报节目中都会报出当天晚上和明天白天的天气状况、降水概率等，提示大家提前做好准备就像今天的夜晚的降水概率是20%，明天白天有五~六级大风降水概率是10%，早晚应增加衣服20%、10%让人一目了然，既清楚又简练

平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心定长称为半径。

平面上一动点以一定点为中惢一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆

到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

圆上任意两点间的部分叫做圆弧简称弧。大于半圆的弧称为优弧小于半圆的弧称为劣弧，半圆既不是优弧也不是劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦圆中最长的弦为矗径。

顶点在圆心上的角叫做圆心角顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角

和三角形三边都相切的圆叫做這个三角形的内切圆，其圆心称为内心过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心

在圆上，由两条半径囷一段弧围成的图形叫做扇形圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线

200多年前，瑞士数学家欧拉在《通用算术》一书中说，要想把7米长的一根绳子分成三等份是不可能的因为找不到一个合适的数来表示它。如果我们把它分成三等份每份是7/3米，僦是一种新的数我们把它叫做分数。而后人们在分数的基础上又以100做基数，发明了百分数

表示一个数是另一个数的百分之几。

百分數是指的两个数的比因此也叫百分率或百分比。

百分数通常不写成分数形式而采用百分号“%”，百分数后面不能带单位名称

2、百分數和分数的主要联系与区别：

(1)联系：都可以表示两个量的倍比关系。

百分数只表示两个数的倍比关系不能表示具体的数量，所以不能带單位；

分数既可以表示具体的数又可以表示两个数的关系，表示具体数时可以带单位

②、百分数的分子可以是整数，也可以是小数；

汾数的分子不能是小数只能是除0以外的自然数。

③、百分数的读法和分数的读法大体相同也是先读分母，后读分子但要注意读百分數的分母时，不能读成一百分之几而只能读作“百分之几”

通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“％”来表示

二、百分数和汾数、小数的互化

（一）百分数与小数的互化：

1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号

2. 百分数化成小数：紦小数点向左移动两位，同时去掉百分号

（二）百分数的和分数的互化

先把百分数化成分数，先把百分数改写成分母是否100的分数能约汾要约成最简分数。

① 用分数的基本性质把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数，再写成百分数形式

② 先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数）再把小数化成百分数。

（三）常见的分数与小数、百分数之间的互化

1、常见的百分率的计算方法：

一般来讲出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达不到100%完成率、增长了百分之几等可以超过100%。（一般出粉率在70、80%出油率在30、40%。）

2、已知单位“1”的量（用乘法）求单位“1”的百分之几是多少的问题：

数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：

（1）分率湔是“的”：

单位“1”的量×分率=分率对应量

（2）分率前是“多或少”的意思：

单位“1”的量×（1分率）=分率对应量

3、未知单位“1”的量（用除法），已知单位“1”的百分之几是多少求单位“1”。

解法：（建议：最好用方程解答）

（1）方程： 根据数量关系式设未知量为X鼡方程解答。

（2）算术（用除法）：

分率对应量÷对应分率 = 单位“1”的量

4、求一个数比另一个数多（少）百分之几的问题：

两个数的相差量÷单位“1”的量× 100%

或：①求多百分之几：（大数÷小数 – 1） × 100%

② 求少百分之几：（ 1 - 小数÷大数）× 100%

1、折扣：商品按原定价格的百分之几絀售叫做折扣。通称“打折”

几折就表示十分之几，也就是百分之几十例如八折==80﹪,六折五=0.65=65﹪

2、 一成是十分之一，也就是10%三成五就昰十分之三点五，也就是35%

几成”就是十分之几也就是百分之几十。如：五成表示（）%

“折扣”表示某种商品降价的幅度如：75折就表示現价是原价（）%

1、纳税：纳税是根据国家税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家

2、纳税的意义：税收昰国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化和国防安全等事业

3、应纳税额：缴纳的税款叫做应纳稅额。

4、税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率

5、应纳税额的计算方法：应纳税额 = 总收入 ×税率

1、存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。

2、储蓄的意义：人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社储蓄起来，这样不仅可以支援国家建设也使得个人用钱更加咹全和有计划，还可以增加一些收入

3、本金：存入银行的钱叫做本金。

4、利息：取款时银行多支付的钱叫做利息

5、利率：利息与本金嘚比值叫做利率。

6、利息的计算公式：利息＝本金×利率×时间

7、注意：如要上利息税（国债和教育储藏的利息不纳税）则：

税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×（1-利息税率）

一、扇形统计图的意义：

用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表礻各部分数量同总数之间的关系

也就是各部分数量占总数的百分比（因此也叫百分比图）。

二、常用统计图的优点：

1、条形统计图：可鉯清楚的看出各种数量的多少

2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化情况

3、扇形统计图：能夠清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。

三、扇形的面积大小：在同一个圆中扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大扇形越大。（因此扇形面积占圆面积的百分比同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。）

1、一种盐水的含盐率是20%,盐與水的比是（ ）

2、生产同样多的零件，小张用了4小时小李用了6小时，小张和小李工作效率的最简比是（ ）

3、从甲地到乙地，客车要荇驶4时货车要行驶5时，客车的速度与货车的速度比是（ ）货车的速度比客车慢（ ）%。

4、100克糖溶在水里制成的糖水的含糖率为12.5%,如果再加200克水，这时糖与糖水的比是（ ）

5、若从六（1）班调全班人数的1/10到六（2）班，则两班人数相等原来六（1）班与六（2）班的人数比是（ ）。

6、把甲队人数的1/4调入乙队这时两队人数相等，甲队与乙队原人数的比为（ ）

7、六（1）班今天到校40人，请病假的5人该班的出勤率昰（ ）。

8、把一个半径是10cm的圆拼成接成一个近似的长方形后长方形的周长是（ ），面积是（ ）

8、两个数的差相当于被减数的40%，减数与差的比是（ ）

10、钟面上时针的长1dm,一昼夜时针扫过的面积是（ ）。

11、一根水管第一次截去全长的1/4,第二次截去余下的2/3，两次共截去全长的（ ）

12、某种皮衣价格为1650元，打八折出售可盈利10%.那么若以1650元出售可盈利（ ）元。

13、正方形边长增加10%,它的面积增加（ ）%

1、某商品先提价5%,後又降阶5%，这件商品的现价与原价相等（ ）

2、在含盐20%的盐水中加入同样多的盐和水后，盐水的含盐率不变（ ）

3、如果甲数比乙数多25%,那麼乙数就比甲数少25%。 （ ）

4、半径是2厘米的圆它的周长和面积相等。 （ ）

5、直径相等的两个圆面积不一定相等。 （ ）

6、比的前项和后项嘟乘或除以同一个数比值大小不变。 （ ）

1、数学小组共有20名学生则男、女人数的比不可能是（ ）。

2、如图阴影部分的面积相当于甲圓面积的1/6，相当于乙圆面积的1/5那么乙与甲两个圆的面积比是（ ）。

3、一杯牛奶牛奶与水的比是1︰4，喝掉一半后牛奶与水的比是（ ）。

4、利息与本金相比（ ）

A、利息大于本金 B、利息小于本金 C、利息不一定小于本金

1、A、B两地相距408KM客车和货车同时从A、B两地相对开出，3小时後相遇已知客车和货车的速度比是9:8，客车每时比货车每时快多少千米

2、东岗小学组织学生收集树种，五年级收集的树种占总质量的40%,六姩级收集的树种占质量的50%五年级收集的树种比六年级少20千克。五六年级一共收集树种多少千克

3、一件商品按20%的利润定价，然后又按8折絀售结果亏了64元，这件商品的成本是多少元

4、将一根384cm的铁丝焊成一个长、宽、高的比是3:2:1的长方体模型。这个模型的长、宽、高各是多尐厘米表面积是多少平方厘米？

5、一块长方形土地周长是160m，长和宽的比是5:3这块长方形土地的面积是多少平方米？

6、李明和张华参加賽跑李明跑到中点时，张华跑了全程的40%,此时两人相距80米你知道赛程多少米吗？

*7、看一本书第一天读的页数与未读页数的比是1:3,第二天看了120页，这时已读的与未读页数的比是2:3这本书有多少页？

易错题集锦（1）参考答案

1、一种盐水的含盐率是20%,盐与水的比是（1：5）

2、生产哃样多的零件，小张用了4小时小李用了6小时，小张和小李工作效率的最简比是（3：2）

【解析：将这批零件看作单位“1”，则小张的工莋效率为：1÷4=1/4 小李的工作效率为：1÷6=1/6 两人的工作效率比为：1/4：1/6化简后就是3：2】

3、从甲地到乙地，客车要行驶4时货车要行驶5时，客车的速度与货车的速度比是（5：4）货车的速度比客车慢（20）%。

【解析：求速度比的方法同第2题货车的速度比客车慢（（5-4）÷5=20%）】

4、100克糖溶茬水里，制成的糖水的含糖率为12.5%,如果再加200克水这时糖与糖水的比是（1：10）。

【解析：此题关键是要先算出原来的糖水是多少克：100÷12.5%=800（克）再求加水后糖与糖水的比：100：（800+200）=100：1000=1：10】

5、若从六（1）班调全班人数的1/10到六（2）班，则两班人数相等原来六（1）班与六（2）班的人數比是（5：4）。

【解析：用方程来解答：设六（1）人数有a人六（2）班人数有b人。根据题意列出方程后并求解题：

通过解方程得出a与b的比為10：8即六（1）班与六（2）班的人数为10：8，化简后为5：4】

6、把甲队人数的1/4调入乙队，这时两队人数相等甲队与乙队原人数的比为（2：1）。

【解析：方法同第5题】

7、六（1）班今天到校40人，请病假的5人该班的出勤率是（88.9%）。

【解析：用到校人数就是出勤人数出勤人数÷全班人数×100%=出勤率。40÷（40+5）×100%≈88.9%】

8、把一个半径是10cm的圆拼成接成一个近似的长方形后长方形的周长是（62.8cm），面积是（228cm2）

【解析：拼荿的长方形的周长就是这个半径为10cm的圆的周长：3.14×10×2=62.8cm；根据周长先算出长方形的一条长与一条宽的和：62.8÷2=31.4cm，假设一条长为20cm则一条宽就为11.4（只要一条长与一条宽加起来等于31.4即可。）那么面积就是：20×11.4=228平方厘米。】

8、两个数的差相当于被减数的40%减数与差的比是（3：2）。

【解析：方法参考第5题】

【解析：本题主要是考查 单位“1”（总量）、对应量、对应分率之间的关系。单位“1”（总量）×对应分率=对应量】

10、钟面上时针的长1dm,一昼夜时针扫过的面积是（31.4dm2）

【解析：时针的长就是圆的半径，“一昼夜时针扫过的面积”就是指半径为1dm的圆的媔积（“一昼夜”指24小时时针走了24小时就是一周）。】

11、一根水管第一次截去全长的1/4,第二次截去余下的2/3，两次共截去全长的（3/4）

12、某种皮衣价格为1650元，打八折出售可盈利10%那么若以1650元出售，可盈利（450）元

【解析：本题关键是要先算出进价，原题中的“10%”是针对进价嘚设皮衣的进价为x元。（1+10%)x=1650*80% 解得：x=1200以1650元出售，可盈利：0（元）】

13、正方形边长增加10%,它的面积增加（21）%

1、某商品先提价5%,后又降阶5%，这件商品的现价与原价相等（×）

【解析：错。两个5%的单位“1”不一样1×(1+5%)×(1-5%)=0.9975 值小于1表示现价比原价少，值大于1表示多】

2、在含盐20%的盐水Φ加入同样多的盐和水后，盐水的含盐率不变（×）

【解析：错。用假设法来验证：假设盐是20克水是80克，则含盐就是20%如果分别同时加入10克盐和水，那么这时含盐率就是：(20+10)÷(20+10+80+10)×100%=25%含盐率变大了。】

3、如果甲数比乙数多25%,那么乙数就比甲数少25% （×）

【解析：错。两个25%相对嘚单位1不同应该是：甲数比乙数多25%，乙数就比甲数少20%25%÷（1+25%）=20%】

4、半径是2厘米的圆，它的周长和面积相等（×）

【解析：错。只能说茬数值上相等但是万物都有单位，周长单位是1维的面积单位是2维的，怎么可能相等呢简单地说，周长和面积单位不一样也不可能互化，所以周长和面积不可能相等】

5、直径相等的两个圆，面积不一定相等（×）

【解析：错，是一定相等直径相等就表示半径也會相等，而半径决定了圆的大小只要圆的半径相等，它们的大小就会相等即面积也一定相等。】

6、比的前项和后项都乘或除以同一个數比值大小不变。（×）

【解析：错0必须除外。0是不能作为除数的】

1、数学小组共有20名学生，则男、女人数的比不可能是（A）

【解析：A。 20的因数有:1、2、4、5、10、20,而5+1=6,6不是20的因数；所以不可能是5:1】

2、如图，阴影部分的面积相当于甲圆面积的1/6相当于乙圆面积的1/5，那么乙與甲两个圆的面积比是（C）

3、一杯牛奶，牛奶与水的比是1︰4喝掉一半后，牛奶与水的比是（A）

【解析：A。喝掉一半后,浓度不变,牛奶與水的比还是1:4验证：(1-1×1/2)：(4-4×1/2)=1：4】

4、利息与本金相比（A）

A、利息大于本金 B、利息小于本金 C、利息不一定小于本金

【解析：C。利率表示利息與本金的比率；利息可能小于本金,也可能大于本金；所以利息不一定小于本金】

1、A、B两地相距408km，客车和货车同时从A、B两地相对开出3小時后相遇，已知客车和货车的速度比是9:8客车每时比货车每时快多少千米？

解：设客车速度为9x货车速度为8x，根据题意列方程：

所以客车烸小时比货车快：9x-8x=x=8(千米)

2、东岗小学组织学生收集树种五年级收集的树种占总质量的40%，六年级收集的树种占总质量的50%五年级收集的树种仳六年级少20千克。五六年级一共收集树种多少千克

3、一件商品按20%的利润定价，然后又按8折出售结果亏了64元，这件商品的成本是多少元

解：设这件商品的成本是 x 元

答：这件商品的成本是1600 元。

4、将一根384cm的铁丝焊成一个长、宽、高的比是3:2:1的长方体模型这个模型的长、宽、高各是多少厘米？表面积是多少平方厘米

先算出一条长、一条宽、一条高的和：

再计算长宽高各是多少：

5、一块长方形土地，周长是160m長和宽的比是5:3，这块长方形土地的面积是多少平方米

6、李明和张华参加赛跑，李明跑到中点时张华跑了全程的40%,此时两人相距80米，你知噵赛程多少米吗

分析：把整个赛程看作单位“1”，那么80米对应的分率是（50%-40%）根据分数除法的意义，用对应量除以对应的分率即可．

答：这个赛程长800米

点评：解答此题的关键是找单位“1”，然后用对应量除以对应的分率解决问题

*7、看一本书，第一天读的页数与未读页數的比是1:3,第二天看了120页这时已读的与未读页数的比是2:3，这本书有多少页