线性矩阵不等式工具箱的简单介紹以及所用到的matlab仿真函数的用法
线性矩阵不等式的确定 工具箱可以处理具有以下一般形式的线性矩阵不等式: 其中 是具有一定结构的矩阵變量,左、右外因子和是具有相同维数的 给定矩阵,左、右內因子·和·是具有相冋块结构的对称块矩阵 注意在线性矩阵不等式的描述中,左边总是指不等式较小的一边,例如对线性矩阵不 等式> 称为是不等式的右边,称为是不等式的左边,常表小成< 要确定一个线性矩阵不等式系统,需要做以丅两步 给出每个矩阵变量 的维数和结构; 描述每一个线性矩阵不等式中各个项的内容。 这个过程产生所描述线性矩阵不等式系统的·个内部表示,它以个单向量的形式 储存在计算机内,通常用一个名字,例如来表示该内部表示 可以在后面处 理这个线性矩阵不等式时调用 下面将通过笁只箱中的一个例子来说明线性矩阵不等式系统的确定。运行 可以看到这个例子的完整措述 例:考虑一个具有个输入、个输出和个状态的稳萣传递函数 和一组具有以下块对角结构的输入输出尺度矩阵 则在具有时变不确定性系统的兽棒稳定性分析中提出了以下问题: 寻找一个只有結构()的尺度矩阵,使得 < 可以证明:这样一个问题可以转化成一个线性阵不等式系统的可行性问题,即寻找 两个对称矩阵∈和 ∈,使得 用命令 和 给出線性矩阵不等式系统()()的内部描述如下 其中:函数 定义了两个矩阵变量和 则摧述了每一个线性矩阵不等式 中各项的内容 回到了这个线性矩阵不等式系统的内部表示 也称为 是储存在机器内部的线性矩阵不等式系统的名称以下将详细介绍这几个函数的功能和用 法 和 个线性矩阵不等式系统的描述以 开始,以 结束。当要确定一个新的 系统时,输入: 如果需要将一个线性矩阵不笔式添加到一个名为 的现有的线性矩阵不等式系统Φ, 则输入: 当线性矩阵不等式系统被完仝确定好后,输入: 该命令返冋这个线性矩阵不等式系统的内部表示 函数用来描述出现在线性矩阵不等式系统中的矩阵变量,每·次只能描述亠个 矩阵变量矩阵变量的描述包括该矩阵变量的结构。该函数的一般表达式是: 这函数定义了个新的矩陣变量,是该矩阵变量的变量名函数中的第个输 入量确定了矩阵变量的类型,第二个输入量进一步根据变量的类型给出该 变量的结构。变量嘚类型分成三类 对称块对角结构这种结构对应」具有以下形式的矩阵变量 其中对角线上的每一个矩阵块是方阵,它可以是零矩阵、对称矩陣或数量矩阵。这种 结构也包含了通常意义的对称矩阵和数量矩阵(分别相当」只有一块)此时, 是 个×维的矩阵。如果该矩阵的第行是 则其中的表示对称矩阵块的阶 数,而只能取、或一,其中〓表小是一个满的对称矩阵(或无结构的对称矩 阵),=表示是一个数量矩阵, 表示是一个零矩阵。 :長方型结构这种结构对应」任意的长方矩阵。此时, 表示矩 阵的维数 其他结构这种结构用来描述更加复杂的矩阵,也可以用于描述矩阵变量 之间的一些关联。的每一个元或者是,或者是±,其中是第个决策变量相应 的 是一个和变量有相同维数的矩阵,其中的每一个元取值如下 如果 如果 如果 例:考虑具有三个矩阵变量 和的线性知阵不等式系统,其中 是个×维的对称矩阵; 是一个×维的长方矩阵 ,其中Δ是×维的对称矩阵,和δ是两个标量积怎么求,表示 维的单位矩阵。 可以应用定义这些矩阵变量: 在桷定了矩阵变量之后,还需要桷定每个线性矩阵不等式中各项的内嫆线性矩阵 不等式的项指构成这个线性矩阵不等式的块矩阵中的加项。这些项可以分成三类 常数项; 变量项,即包含了矩阵变量的项,例如()式Φ的和一般的变量 项具有形式,其中的是个变量,和是给定的矩阵,分别称为该变量项的左 系数和右系数; 外因子 在描述一个具有多个块的线性矩陣不等式时,工具箱提供了这样的功能,即只需 要确定对角线上和对角线上方的项的内容,或者只描述对角线上和对角线下方的项的内 容,其他部汾项的内容可以根据线性矩阵不等式的对称性得到 用命令 每次可以确定线性矩阵不等式的一个项的内容。例如,对线性矩阵不 等式 可以用鉯下组命令来描述: 这些命令依次描述了项 和-在每一条命令中,第项是 个四元向量,它刻画了所描述的项所在的位置和特征: 第个元表小所描述嘚项属于哪一个线性矩阵不等式。值表小第个不等式的 左边,表示第个不等式的右边 第和第个元表示所描述的项所在块的位置。例如,向量 表示所描述的 项位于第一个线性知阵不等式左边内因子的块(,)中第和第个元均取 零表示所描述的项在外因子中。 ●最后一个元表明了所描述的项是常数项还是变量顶如果是变量项,则进一步说 明涉及哪一个变量。表示常数项,表示所描述的项包含第个矩阵变量 则表示包含知阵變量的转置(在例中,是第个变量,是第个 变量,它们按确定的先后顺序排列) 的第项和第项包含了数据(常数项的值,外因子,变量项或 中的左、右系数)第项是可选择的,且只能是 在描述项的内容时,有些简化的方法 岺块可以省略描述; 可以通过在命令 中外加一个分量,使得可以只用一个命令 就能 描述·个变量项与该变量项的转置的和。例如,上面的第·个命令描述了 可以用一个标量积怎么求值来表示一个数量矩阵,即用a表示数量矩陣α,其中&是一个 标量积怎么求。如例中的第个不等式>被描述成 为了便于阋读,也可以用线性矩阵不等式和知阵变量的名称来表示对应的线性矩阵不 等式和矩阵变量矩阵变量的变量名可以用命令 来赋值,线性矩阵不等式的名称则 可以用函数 来确定。这些标识符可以用在命令 中以表示相应的线性矩阵不 等式或矩阵变量对例中的线性矩阵不等式系统,釆用名称的相应措述如下: 其中:和分别表示变量和,而 和则分别表示第、第和第 个线性矩阵不等式。 指的是第个线性矩阵不等式的右边,表示变量的转 线性矩阵不等式编辑器 是一个图形用户芥面,它可以按符号方式直接确定线 性矩阵不等式系统输入 出现个具有些可编辑文本区域和各种按钮的窗户。按以下步骤来桷定个线性矩阵不 等式系统 在文本區域的上半部分给出每一个矩阵变量的描述(名字和结构),其结构是通 过类型(表示对称块矩阵,表示无结构的长方矩阵,表示其他结构矩阵)和一个 “附加”的结构矩阵(类似于 中的)来刻画的在文本编辑区,使用一行描 述一个变量。 在文木区的下半部分,按 的表示方式给出要描述的线性矩陣不等式 例如,线性矩阵不等式 可以通过输入 来描述。其中是文木区上半部分描述矩阵变量的变量名一个线性矩阵不等式的描 述可能需偠几行,但一行中最多只能描述一个线性矩阵不等式 完成了线性矩阵不等式系统的描述后,可以通过按相应的按钮来完成以卜的任务 ●显示用於描述线性矩阵不等式的 命令串(按钮 反之,通过单击按钮 可以将用一串 命令定义的线性矩阵 不等式系统按 表小式显小。 将线性矩阵不等式的苻号描述存为一个 语句串(按钮)以后可以 通过按钮重新显小这种描述 ●可以从一个文件读一串 命令(按钮),然后通过单击 或 ”显示出由这些命囹确定 的线性矩阵不等式系统的符号表示。 写一串用于描述一个特殊线性矩阵不等式系统的 命令(按钮 ●通过按钮产生线性矩阵不等式系统嘚内部表示,结果用一个以线性矩阵不 等式命名的 变量记录(如果线性矩阵不等式系统名是 则其内部 表示用 变量 记录)内部表示 可以被线性矩陣不等式求 解器或任何其他的线性矩阵不等式函数调用。 如同命令 样,可以应用简捷的方法来输入线性矩阵不等式的表示式例如 零块可以簡单地输入,而不必定义其维数,类似地,单位矩阵只需输入数字等。 尽管很一般,但它没有 灵活以下是 的一些局限性: ●在矩阵变量的两边不能使用括号。例如当是一个变量名时, 是不允许的,而 贝是可以的 不允许出现循环和条件语句。 当把 命令转换成一个线性矩阵不等式的符号描述时,如果 的第 个分量不能确认就将出错使用由 天 提供的线性矩阵不等式和变量 标识符可以避免这样的问题。 图给出了用 描述例中的线性知阵不等式系统的窗口 name the Lvl suster c descrbe the matr x variable [2C:21] GuesLlLe l:I=LMIs a MATLAB ExplessirI C view u v creal close 的图形界面 信息提取 线性矩阵不等式系统的完整描述是以一个叫做内部表示的向量储存在机器内的 工具箱提供了彡个函数 和 它们可以从内部表示向量中提取线性矩 阵不等式的相关信息,并以用户可读的方式显示出来 是一种交互式工具,用以反映有关线性矩阵不等式系统的一些信息。这些信息 包括线性矩阵不等式的个数、矩阵变量的个数和它们的结构、每·个线性矩阵不等式块中 项的内容等。为了调用 ,输入 其中的 是由 产生的线性矩阵不等式系统的内部衣示 和 这两个函数给出了系统中线性矩阵不等式的个数和矩阵变量的个數。例如,为了得到 矩阵变量的个数,输入 线性矩阵不等式求解器 工具箱提供了用于求解以下三个问题的线性矩阵不等式求解器(其中表示决策 變量向量,即矩阵变量中的独立变元构成的向量) 可行性问题 寻找一个∈(或等价的:具有给定结构的矩阵 ),使得满足线性矩阵 不等式系统 相应的求解器是 具有线性矩阵不等式约束的一个线性目标函数的最小化问题 相应的求解器是 ●广义特征值的最小化问题 <1 相应的求解器是 以下详细介绍这三个求解器的功能和使用方法 求解器一般表达式如下