2011届高考数学导数综合复习题5
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2011届高考数学导数综合复习题5
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
2011届高考数学导数综合复习题5
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文 章来源莲山 课件 w w w.5Y k J.C om 第十三章　导数综合能力测试(Ⅰ)
本试卷分第Ⅰ卷()和第Ⅱ卷(非)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题　共60分)一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f ′(x0)的几何意义是&&&&&&(　　)A．在点(x0，f(x0))处与y＝f(x)的曲线只有一个交点的直线的斜率B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴的夹角的正切值C．点(x0，f(x0))与点(0,0)的连线的斜率D．在点(x0，f(x0))处的切线的倾斜角的正切值答案：D2．设f(x)在x0附近有定义，f(x0)是f(x)的极大值，则&&&&&&(　　)A．在x0附近的左侧，f(x)＜f(x0)；在x0附近的右侧，f(x)&f(x0)B．在x0附近的左侧，f(x)&f(x0)；在x0附近的右侧，f(x)&f(x0)C．在x0附近的左侧，f(x)&f(x0)；在x0附近的右侧，f(x)&f(x0)D．在x0附近的左侧，f(x)&f(x0)；在x0附近的右侧，f(x)&f(x0)答案：C3．(;郑州市高中毕业班第一次质量预测试卷)曲线y＝x3＋x－2在点A(1,0)处的切线方程是&&&&&&&&&&&&&&&&&(　　)A．4x－y＝0　　　　　&B．4x－y－2＝0C．4x－y－4＝0& &&D．4x＋y－4＝0答案：C解析：依题意得y′＝3x2＋1，因此曲线y＝x3＋x－2在点A(1,0)处的切线的斜率等于4，相应的切线方程是y＝4(x－1)，即4x－y－4＝0，选C.4．函数y＝x3－3x2－9x＋14的单调区间为&&&&&&&&(　　)A．在(－∞，－1)和(－1,3)内单调递增，在(3，＋∞)内单调递减B．在(－∞，－1)内单调递增，在(－1,3)和(3，＋∞)内单调递减C．在(－∞，－1)和(3，＋∞)内单调递增，在(－1,3)内单调递减D．以上都不对答案：C解析：y′＝3x2－6x－9＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)，令y′＞0得x＜－1或x＞3，故增区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．令y′＜0得－1＜x＜3，故减区间为(－1,3)．5．函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是&&&(　　)A．12，－15& B．－4，－15C．12，－4& D．5，－15答案：D解析：f ′(x)＝6x2－6x－12，令f ′(x)＝0得x＝－1或x＝2，∵f(0)＝1，f(2)＝－15，f(3)＝－4，∴f(x)max＝5，f(x)min＝－15，故选D.6．(;苏州四市高三调研)已知曲线y＝x24的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为(　　)A．1　　　　　　　　&&B．2C．3& &&&&&&D．4答案：A解析：∵y′＝x2＝12，∴x＝1.7．(;甘肃省河西五市联考)设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为&&&&&&&&&&&&& (　　)&A．－15　　　　　　&&&B．0C.15& &&&&&&D．5答案：B解析：可把f(x)的图象想象成下图．∴y′|x＝5＝0.8．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处均有极值，且f(－1)＝－1，则a，b，c的值为(　　)A．a＝－12，b＝0，c＝－32B．a＝12，b＝0，c＝－32C．a＝－12，b＝0，c＝32D．a＝12，b＝0，c＝32答案：C解析：f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题知3a＋2b＋c＝03a－2b＋c＝0－a＋b－c＝－1⇒3a＋c＝0b＝0－a＋b－c＝－1，∴a＝－12，b＝0，c＝32.9．已知函数f(x)是定义在R上的函数，如果函数f(x)在R上的导函数f ′(x)的图象如图，则有以下几个命题：(1)f(x)的单调递减区间是(－2,0)、(2，＋∞)，f(x)的单调递增区间是(－∞，－2)、(0,2)；(2)f(x)只在x＝－2处取得极大值；(3)f(x)在x＝－2与x＝2处取得极大值；(4)f(x)在x＝0处取得极小值．其中正确命题的个数为&&&&&&&&&&&&(　　)A．1& &&&&&&B．2C．3& &&&&&&D．4答案：C解析：由图知，当x＜－2或0＜x＜2时，f ′(x)＞0；当－2＜x＜0或x＞2时，f ′(x)＜0，所以(1)、(3)、(4)正确．10．(;北京师大附中)已知函数f(x)＝x2＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线斜率为3，数列{1f(n)}的前n项为Sn则S2011的值为&&&&&&&&&&(　　)A.& &&&&&&B.C.& &&&&&&D.答案：A解析：∵f ′(x)＝2x＋b，f ′(1)＝2＋b＝3，∴b＝1，∴f(x)＝x2＋x，∴1f(n)＝1n2＋n＝1n(n＋1)＝1n－1n＋1，∴S2011＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1)＝，故选A.11．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，其高应为&(　　)A.2033cm& &&&&&B．100cmC．20cm& &&&&&D.203cm答案：A解析：设高为h，则半径为202－h2，体积V＝13πr2h＝13π(202－h2)•h＝－13πh3＋2023πh(0＜h＜20)，V′＝－πh2＋2023π.令V′＝0，得h＝2033或h＝－2033(舍去)，即当h＝2033时，V为最大值．12．己知f(x)＝－x3－x，x ∈[m，n]，且f(m)•f(n)＜0，则方程f(x)＝0在区间[m，n]上(　　)A．至少有三个实数根B．至少有两个实根C．有且只有一个实数根D．无实根答案：C解析：∵f ′(x)＝－3x2－1＜0，∴f(x)在区间[m，n]上是减函数，又f(m)•f(n)＜0，故方程f(x)＝0在区间[m，n]上有且只有一个实数根．第Ⅱ卷(非选择题　共90分)二、题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。)13．(1)如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝________；(2)函数f(x)在x＝1处的导数f ′(1)＝________.&答案：(1)2　(2)－2解析：(1)由图及题中已知可得f(x)＝－2(x－2)，0≤x≤2x－2，2＜x≤6，f(0)＝4，则f(f(0))＝f(4)＝2.(2)f ′(1)＝－2.14．(;河北三市联测)曲线y＝x3＋x－2的一条切线平行于直线y＝4x－1，则切点P0的坐标为______________．答案：(1,0)或(－1，－4)解析：由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，由已知得3x2＋1＝4，解之得x＝±1.当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.∴切点P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．点评：利用导数研究函数的性质是导数的重要应用之一，导数的广泛应用为我们解决函数问题提供了有力的帮助．本小题主要考查利用导数求切点的坐标．15．已知f(x)＝x3＋3x2＋a(a为常数)，在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f(x)的最大值是________．答案：57解析：本题考查导数的应用f ′(x)＝3x2＋6x，令f ′(x)＝0，得3x(x＋2)＝0⇒x＝0，x＝－2.i)当0≤x≤3，或－3≤x≤－2时，f ′(x)≥0，f(x)单调递增，ii)当－2&x&0时，f(x)单调递减，由最小值为3知，最小为f(－3)或f(0)⇒f(－3)＝(－3)3＋3×(－3)2＋a＝a，f(0)＝a，则a＝3，∴f(x)＝x3＋3x2＋3，其最大值为f(－2)或f(3)，f(－2)＝(－2)3＋3×(－2)2＋3＝7，f(3)＝33＋3×32＋3＝57，则最大值为57.16．若函数f(x)＝x3－mx2＋2m2－5的单调递减区间为(－9,0)，则m＝________.答案：－272解析：f ′(x)＝3x2－2mx.法一：令f ′(x)＜0则3x2－2mx＜0.若m＞0，则0＜x＜2m3与单调递减区间为(－9,0)矛盾．若m＜0，则23m＜x＜0，∴－9＝23m，∴m＝－272.法二：令f ′(x)＜0，则3x2－2mx＜0，由题意得，不等式的解集为(－9,0)，∴－9,0是方程3x2－2mx＝0的两个根．∴－9＋0＝－－2 m3，∴m＝－272.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x3－3ax，(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a＝1时，求证：直线4x＋y＋m＝0不可能是函数f(x)图象的切线．解析：(1)∵f ′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a≤0时，f ′(x)＝3x2－3a≥0对x∈R恒成立，∴f(x)的递增区间为(－∞，＋∞)．当a＞0时，由f ′(x)＞0，得x＜－a或x＞a，由f ′(x)＜0，得－a＜x＜a.此时，f(x)的递增区间是(－∞，－a)和(a，＋∞)；递减区间是(－a，a)．(2)证明：∵a＝1，∴f ′(x)＝3x2－3.直线4x＋y＋m＝0的斜率为－4，假设f ′(x)＝－4，即3x2＋1＝0.此方程无实根，∴直线4x＋y＋m＝0不可能是函数f(x)图象的切线．18．(;山东青岛一模)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－3a(a∈R且a≠0)，试求函数f(x)的极大值与极小值．解析：由题设知a≠0，f ′(x)＝3ax2－6x＝3ax(x－2a)，令f ′(x)＝0得x＝0或x＝2a.当a＞0时，随x的变化，f ′(x)与f(x)的变化如下表：x&(－∞，0)&0&(0，2a)2a(2a，＋∞)
f ′(x)&＋&0&－&0&＋f(x)&&极大值&&极小值&∴f(x)极大值＝f(0)＝1－3a，f(x)极小值＝f(2a)＝－4a2－3a＋1.当a＜0时，随x的变化，f ′(x)与f(x)的变化如下表：x&(－∞，2a)2a(2a，0)0&(0，＋∞)f ′(x)&－&0&＋&0&－f(x)&&极小值&&极大值&∴f(x)极大值＝f(0)＝1－3a，f(x)极小值＝f(2a)＝－4a2－3a＋1.总之，当a＞0时，f(x)极大值＝f(0)＝1－3a，f(x)极小值＝f(2a)＝－4a2－3a＋1；当a＜0时，f(x)极大值＝f(0)＝1－3a，f(x)极小值＝f(2a)＝－4a2－3a＋1.19．(;北京市东城区高三示范学校质量检测)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－23与x＝1时都取得极值．(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间；(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)＜c2恒成立，求c的取值范围．解析：(1)∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，∴f ′(x)＝3x2＋2ax＋b.由f ′(－23)＝129－43a＋b＝0f ′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝－12b＝－2，∴f ′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，函数f(x)的单调区间如下表：x&(－∞，－23)－23(－23，1)1&(1，＋∞)f ′(x)&＋&0&－&0&＋f(x)&&极大值&&极小值&所以函数f(x)的递增区间是(－∞，－23)与(1，＋∞)，递减区间是(－23，1)．(2)由f(x)＝x3－12x2－2x＋c，x∈[－1,2]，当x＝－23时，f(x)＝2227＋c为极大值，而f(2)＝2＋c，所以f(2)＝2＋c为最大值．要使f(x)＜c2对x∈[－1,2]恒成立，须且只需c2＞f(2)＝2＋c.解得c＜－1或c＞2.20．(本小题满分12分)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，过曲线y＝f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y＝3x＋1.(1)若y＝f(x)在x＝－2时有极值，求f(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．解析：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，求导数得f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，过y＝f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为：y－f(1)＝f ′(1)(x－1)，即为：y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)，而过P(1，f(1))的切线方程是y＝3x＋1，∴3＋2a＋b＝3c－a－2＝1　①又y＝f(x)在x＝－2时有极值，∴f ′(－2)＝0，∴－4a＋b＝－12，　②联立方程组得：a＝2，b＝－4，c＝5，即f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.(2)f ′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，f(x)、 f ′(x)的变化如下表：x&[－3，－2)&－2&(－2，23)23(23，1]
f ′(x)&＋&0&－&0&＋f(x)&递增&极大&递减&极小&递增f(x)极大值＝f(－2)＝13，又f(1)＝4，∴f(x)在区间[－3,1]上的最大值是13.21．(;河南省实验中学期中试卷)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求证：对于区间[－1,1]上任意两个自变量x1、x2都有|f(x1)－f(x2)|≤4；(3)若过点A(1，m)(m≠－2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．解析：(1)∵f ′(x)＝3ax2＋2bx－3，依题意f ′(1)＝f ′(－1)＝0，即3a＋2b－3＝03a－2b－3＝0，解得a＝1，b＝0，∴f(x)＝x3－3x.(2)∵f(x)＝x3－3x，∴f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当－1＜x＜1时，f ′(x)＜0，故f(x)在区间[－1,1]上为减函数，fmax(x)＝f(－1)＝2，fmin(x)＝f(1)＝－2，∵对于区间[－1,1]上任意两个自变量x1、x2都有|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|即|f(x1)－f(x2)|≤|2－(－2)|＝4.(3)f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∵曲线方程为f(x)＝x3－3x，∴点A(1，m)不在曲线上，设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0＝x30－3x0，因f ′(x0)＝3(x20－1)，故切线的斜率为3(x20－1)＝x30－3x0－mx0－1，整理得2x30－3x20＋m＋3＝0.∵过点A(1，m)可作三条切线，∴关于x0的方程式2x30－3x20＋m＋3＝0有三个实根，设g(x0)＝2x30－3x20＋m＋3，则g′(x0)＝6x20－6x0由g′(x0)＝0得x0＝0或x0＝1，∴函数g(x0)＝2x30－3x20＋m＋3的极值点为x0＝0，x0＝1，∴关于x0的方程2x30－3x20＋m＋3＝0有三个实数根的充要条件是g(1)g(0)＜0即(m＋3)(m＋2)＜0，解得－3＜m＜－2，故所求实数a的取值范围是－3＜m＜－2.22．(;福建，21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝13x3＋ax2＋bx，且f ′(－1)＝0.(1)试用含a的代数式表示b；(2)求f(x)的单调区间；(3)令a＝－1，设函数f(x)在x1、x2(x1＜x2)处取得极值，记点M(x1，f(x1))，N(x2，f(x2))．证明：线段MN与曲线f(x)存在异于M，N的公共点．命题意图：本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．解析：解法一：(1)依题意，得f ′(x)＝x2＋2ax＋b.由f ′(－1)＝1－2a＋b＝0得b＝2a－1.(2)由(1)得f(x)＝13x3＋ax2＋(2a－1)x，故f ′(x)＝x2＋2ax＋2a－1＝(x＋1)(x＋2a－1)．令f ′(x)＝0，则x＝－1或x＝1－2a.①当a＞1时，1－2a＜－1.当x变化时，f ′(x)与f(x)的变化情况如下表：x&(－∞，1－2a)&(1－2a，－1)&(－1，＋∞)f ′(x)&＋&－&＋f(x)&单调递增&单调递减&单调递增由此得，函数f(x)的单调增区间为(－∞，1－2a)和(－1，＋∞)，单调减区间为(1－2a，－1)．②当a＝1时，1－2a＝－1.此时，f ′(x)≥0恒成立，且仅在x＝－1处f ′(x)＝0，故函数f(x)的单调增区间为R.③当a＜1时，1－2a＞－1，同理可得函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(1－2a，＋∞)，单调减区间为(－1,1－2a)．综上所述：当a＞1时，函数f(x)的单调增区间为(－∞，1－2a)和(－1，＋∞)，单调减区间为(1－2a，－1)；当a＝1时，函数f(x)的单调增区间为R；当a＜1时，函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(1－2a，＋∞)，单调减区间为(－1,1－2a)．(3)当a＝－1时，得f(x)＝13x3－x2－3x.由f ′(x)＝x2－2x－3＝0，得x1＝－1，x2＝3.由(2)得f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)，单调减区间为(－1,3)，所以函数f(x)在x1＝－1，x2＝3处取得极值．故M(－1，53)，N(3，－9)．所以直线MN的方程为y＝－83x－1.由y＝13x3－x2－3x，y＝－83x－1，得x3－3x2－x＋3＝0.令F(x)＝x3－3x2－x＋3.易得F(0)＝3＞0，F(2)＝－3＜0，而F(x)的图象在(0,2)内是一条连续不断的曲线，故F(x)在(0,2)内存在零点x0，这表明线段MN与曲线f(x)有异于M，N的公共点．解法二：(1)同解法一．(2)同解法一．(3)当a＝－1时，得f(x)＝13x3－x2－3x.由f ′(x)＝x2－2x－3＝0，得x1＝－1，x2＝3.由(2)得f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)，单调减区间为(－1,3)，所以函数f(x)在x1＝－1，x2＝3处取得极值，故M(－1，53)，N(3，－9)．所以直线MN的方程为y＝－83x－1.由y＝13x3－x2－3x，y＝－83x－1，得x3－3x2－x＋3＝0.解得x1＝－1，x2＝1，x3＝3.∴x1＝－1，y1＝53，x＝1，y2＝－113，x3＝3，y3＝－9.所以线段MN与曲线F(x)有异于M，N的公共点(1，－113)．文 章来源莲山 课件 w w w.5Y k J.C om
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导数综合能力测试
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