会昌小学--雪清工作室
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什么叫做“智慧课堂”？我查了资料，有很多描述性的解释，但是没有一个标准的定义。总的来说，人们将“智慧”与“知识”进行了区别。一个人知识多并不代表这个人智慧多，而智慧多的人也不一定知识多。学生不是知识的
上传: 洪玉芳 &&&&更新时间： 18:53:27
什么叫做&智慧课堂&？我查了资料，有很多描述性的解释，但是没有一个标准的定义。总的来说，人们将&智慧&与&知识&进行了区别。一个人知识多并不代表这个人智慧多，而智慧多的人也不一定知识多。学生不是知识的容器，我们的课堂教学要超越知识教育，从知识走向智慧，将学生培养成&智慧者&。
其实&智慧教育&也不是什么新鲜的事物，智慧教育，自古就有，自古就提倡了。中国有句古话叫&授人以鱼不如授人以渔。&&说的是传授给人既有知识，不如传授给人学习知识的方法。将&鱼&和&渔&这两个写法相近、读音相同的词语在意义上加以区别，道破了知识与智慧之间的辩证关系，真可谓一语中的，言简意赅。
有效的课堂一定处处体现了&智慧&，智慧课堂必然是有效课堂。如何构建&智慧&课堂，值得我们每个教师深入思考。
记得有一次，我指导学生怎样写一个人。就在强调写人要抓住特征来写时，发现一些学生提不起精神来，这时候，我可以去提醒他们，或是不指明地批评这种现象，但是那样做就缺少了教育的智慧，于是，我说：&你们放学回到家里，如果有人问起，你们的语文老师长什么模样？假如有个学生这样回答：&我们的语文老师嘛，有一个头，头上有头发，两只眼睛上面都有两道眉毛，脸的中间有鼻子，鼻子下面是嘴巴，头的两边各有两个耳朵，鼻子有两个鼻孔&&&&
我的话还没有说完，教室里已经笑声迭起了，学生纷纷举手发言：&他说的全是废话！&，&每个人都是这样的。&我肯定了学生的发言，&说得好，所以要介绍一个人的外貌，必须要抓住人物的特征来写。&
就这样，几句看似与课文内容无关的&闲言赘语&，却使语言趣味盎然，妙趣横生，不仅创造出了一种轻松活泼的课堂气氛，使学生发出了会心的笑，同时也在笑声中得到启迪，我在轻松愉悦中达到了教学目的。
可见，只要我们善于思考，勤于总结，勇于创新，那么在我们的课堂里，智慧的光芒就会时时闪烁。
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言情小说她是贵族校园内最不起眼的学生,她的同桌是最吸引女生的王子。 这样的组合势必要引起风波。 然而夜晚她却是另一种身份,她是神秘组织的高级特工,她是道上有名的神,她治好了他的伤,让他从此将她铭记。 然而爱慕者的挑拨离间,师门的危险处境,将她逼到绝望的边缘.虐恋场景:“是不是你让她变成这个样子 ” “不是。” “不是你是谁,除了你谁还会制造出这么厉害的药 。” “我看错你了” 转身抱起身边脸上布满青筋的女孩,消失在雨幕中。 而她一口鲜血喷薄而出 孤零零的倒在了夜晚无人的大街上……
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一、关于给小学数学教师进行学科知识及其拓展的培训意见
1、培训内容
（1）帮助教师们系统地掌握小学数学知识体系及其结构，包括能够解答教科书（如人教版12册）所有的练习题和复习题。
（2）帮助教师们正确理解小学数学知识中容易误解的数学概念与有关知识，使他们的小学数学知识得到横向拓展。
（3）立足于教学的需要，帮助教师们开阔知识视野，使他们的小学数学知识得到一定的纵向延伸。
例如一些数学史知识。如数学王子高斯巧算1+2+…+100的故事；哥德巴赫猜想；祖冲之与圆周率等等。
特别是，市场经济要求人们掌握更多有用的数学，成本、利润、投入、产出、货款、效益、市场预测、风险评估等一系列经济名词将成为人们社会生活中使用最为频繁的词汇，与这一系列经济活动相关的数学，如估算、比和比例、利息与利率、运筹与优化以及统计与概率等，理应成为数学课程中的组成部分，要求教师要有所掌握。
2、培训方式
（1）集中培训辅导：可根据实际情况，分段分块进行辅导，帮助教师们解决小学数学知识体系中的疑难问题。
（2）校本培训学习：布置学习任务和作业任务，让教师们各自完成学习任务，自我提高。
3、评价与考核建议
小学数学教师的学科知识拓展培训的评价可分为：
第一、学习态度和完成作业情况评价，占一定比例；
第二、小学数学知识过关考试（卷面考试），占比例大些。
考试内容：以小学数学新课程的内容标准所涉及的小学数学知识作为考试基本内容。
试题设计：（1）基本数学概念及计算题，（2）综合题（中等难度），（3）知识拓展题。
二、关于小学数学教师的学科专业知识及其拓展的认识
1、小学教师的知识结构：教育知识、学科知识、学科教学知识三大部分。
教育知识包括教育学、心理学、学生思想工作（班主任）等方面的知识。它是教师在职前教育学习和平时工作实践学习积累而成的；
学科知识是指本学科专业知识，包括了本学科知识体系及其思想方法，也是教师的学科专业功底涵养所在。它主要来源于教师的在接受教育期间学习和职前教学学习打下基础，以及平时教学实践学习的充实提高；
学科教学知识体现了教师的专业独特性,是本专业教学实践性的知识。从数学专业的角度看，数学家不一定具有这种知识；从教学经验来看，高中语文教师也不具有小学数学教学的这种知识。这是教师将特定的学科知识与学生思维、学习特点等教学法的知识融合起来而形成的教学实践性知识。
2、小学数学教师的学科专业知识
我们在林崇德（北京师范大学教授，博士生导师）和申继亮（申继亮教授现任北师大心理学院党委书记、教育部人文社科重点研究基地发展心理研究所所长，中国心理学会常务理事、中国心理学会教育心理专业委员会主任，博士生导师）关于教师知识结构划分的基础上，结合新课程改革的发展及数学学科的特点，把数学教师的知识结构分为“教什么”的本体性知识，“如何教”的条件性知识和在教育教学实践中大量积累起来的实践性知识三个主要方面：
（1）本体性知识，即学科专业知识。小学数学教师应具有的学科知识是特定的数学知识，主要包括教学所需要的数学理论知识、 数学应用性知识 、数学思想方法知识和数学史知识。
（2）条件性知识，指个体在何种条件下，为什么传授数学知识以及如何更好地传授数学知识的一种知识类型，主要包括教育学和心理学的知识， 其中教育学知识包括教育理论知识、 教育技术知识 、数学课程知识 、数学教学知识；心理学知识包括教师心理知识和学生心理知识，教师心理知识又分为教学监控知识教学效能感 、教学风格知识 、教师品德知识；学生心理知识又分为数学认知的知识、数学学习的元认知知识、数学学习的非认知知识 、学习风格知识。
（3）实践性知识，指关于数学课堂情景及与之相关的知识，主要包括数学课堂教学管理知识和教材处理知识。
教师要在自己的教学工作中不断增长自己的学科知识，也包括对已有知识的不断改进或必要重组。
从另一角度说，数学学科知识主要包括：知识的内涵及多重表示、知识的发生和发展过程、知识之间的联系、知识所蕴含的数学思想和思维方式。
小学数学教师要具有丰厚的数学知识、扎实的数学技能和成熟的数学思想。
三、小学数学教师的学科专业知识及其拓展
（一）小学数学知识体系中“数与代数”的知识及其拓展
1、小学数学中的“数的认识及其运算”
20以内数的认识
20以内加减法、进位加法
求和应用题
求差应用题
图示加减两步应用题
100以内数的认识
20以内的退位减法
100以内的加法与减法
图文应用题
表格应用题（在练习中）
加减、比多少应用题
100以内的加法和减法
几个几的乘法应用题
求一个数的几倍的
万以内数的认识
整百、整千数加减法
万以内数的加法和减法（一）
分数的初步认识
万以内数的加法和减法（二）
有余数的除法
多位数乘一位数
分数的简单计算
有余数除法的应用题
巩固两步应用题
小数的初步认识
除数是一位数的除法
两位数乘两位数
简单的小数加减法
巩固除法应用题
连乘应用题
大数的认识
三位数乘两位数
除数是两位数的除法
小数的意义和性质
小数的加法和减法
相应的两三步应用题
每一种方程对应一种应用题
因数和倍数
分数的意义和性质
分数的加法和减法
&分数两三步应用题
倒数的认识
按比例分配
用百分数解决问题
用比例解决问题
关于数的认识的知识要点：
十进制计数法：一（个）、十、百、千、万……都叫做计数单位。其中“一”是计数的基本单位。10个1是10，10个10是100……每相邻两个计数单位之间的进率都是十。这种计数方法叫做十进制计数法
整数的读法：从高位一级一级读，读出级名（亿、万），每级末尾0都不读。其他数位一个或连续几个0都只读一个“零”。
整数的写法：从高位一级一级写，哪一位一个单位也没有就写0。
四舍五入法：求近似数，看要求近似到哪一位数，再看其后一位的数是几，比5小就舍去，是5或大于5舍去尾数向前一位进1。这种求近似数的方法就叫做四舍五入法。
整数大小的比较：位数多的数较大，数位相同最高位上数大的就大，最高位相同比看第二位较大就大，以此类推。
&& （2）小数
小数表示：把整数1平均分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份是十分之几、百分之几、千分之几……这些分数可以用小数表示。如1/10记作0.1,6/100记作0.06。
小数计数：小数点右边第一位叫十分位，计数单位是十分之一（0.1）；第二位叫百分位，计数单位是百分之一（0.01）……小数部分最大的计数单位是十分之一，没有最小的计数单位。小数部分有几个数位，就叫做几位小数。如0.56是两位小数，4.067是三位小数。数位顺序表：
小数的读法：整数部分整数读，小数点读点，小数部分顺序读。
小数的写法：小数点写在个位右下角。
小数的性质：小数末尾添0去0大小不变。化简
小数点位置移动引起大小变化：右移扩大左缩小，1十2百3千倍。
小数大小比较：整数部分大就大；整数相同看十分位大就大；以此类推。
（3）分数和百分数
①分数和百分数的意义
分数的意义：把单位“　1”　平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数，叫做分数。在分数里，表示把单位“　1”　平均分成多少份的数，叫做分数的分母；表示取了多少份的数，叫做分数的分子；其中的一份，叫做分数单位。
百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。也叫百分率或百分比。百分数通常不写成分数的形式，而用特定的“%”来表示。百分数一般只表示两个数量关系之间的倍数关系，后面不能带单位名称。
百分数表示两个数量之间的倍比关系，它的后面不能写计量单位。
成数：几成就是十分之几。
②分数的种类
按照分子、分母和整数部分的不同情况，可以分成：真分数、假分数、带分数
③分数和除法的关系及分数的基本性质
除法是一种运算，有运算符号；分数是一种数。因此，一般应叙述为被除数相当于分子，而不能说成被除数就是分子。
由于分数和除法有密切的关系，根据除法中“商不变”的性质可得出分数的基本性质。
分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质，它是约分和通分的依据。
④约分和通分
分子、分母是互质数的分数，叫做最简分数。
把一个分数化成同它相等但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。
约分的方法：用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
通分的方法：先求出原来几个分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
乘积是1的两个数互为倒数。
求一个数（0除外）的倒数，只要把这个数的分子、分母调换位置。
1的倒数是1，0没有倒数。
⑥分数的大小比较
分母相同的分数，分子大的那个分数就大。
分子相同的分数，分母小的那个分数就大。
分母和分子都不同的分数，通常是先通分，转化成通分母的分数，再比较大小。
如果被比较的分数是带分数，先要比较它们的整数部分，整数部分大的那个带分数就大；如果整数部分相同，再比较它们的分数部分，分数部分大的那个带分数就大。
⑦百分数与折数、成数的互化：
例如：三折就是30％，七五折就是75％，成数就是十分之几，如一成就是10%，则六成五就是65%。
⑧纳税和利息：
税率：应纳税额与各种收入的比率。
利率：利息与本金的百分率。由银行规定按年或按月计算。
利息的计算公式：利息=本金×利率×时间
⑨百分数与分数的区别主要有以下三点：
意义不同。百分数是“表示一个数是另一个数的百分之几的数。”它只能表示两数之间的倍数关系，不能表示某一具体数量。如：可以说1米是5米的 20％，不可以说“一段绳子长为20％米。”因此，百分数后面不能带单位名称。分数是“把单位‘1’平均分成若干份，表示这样一份或几份的数”。分数不仅可以表示两数之间的倍数关系，如：甲数是3，乙数是4，甲数是乙数的?；还可以表示一定的数量。
应用范围不同。百分数在生产、工作和生活中，常用于调查、统计、分析与比较。而分数常常是在测量、计算中，得不到整数结果时使用。
书写形式不同。百分数通常不写成分数形式，而采用百分号“％”来表示。如：百分之四十五，写作：45％；百分数的分母固定为100，因此，不论百分数的分子、分母之间有多少个公约数，都不约分；百分数的分子可以是自然数，也可以是小数。而分数的分子只能是自然数，它的表示形式有：真分数、假分数、带分数，计算结果不是最简分数的一般要通过约分化成最简分数，是假分数的要化成带分数。
（4）数的整除
①整除的意义
整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）
除尽的意义 甲数除以乙数，所得的商是整数或有限小数而余数也为0时，我们就说甲数能被乙数除尽，（或者说乙数能除尽甲数）这里的甲数、乙数可以是自然数，也可以是小数（乙数不能为0）。
②约数和倍数
如果数a能被数b整除，a就叫b的倍数，b就叫a的约数。
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的是它本身，它没有最大的倍数。
③奇数和偶数
能被2整除的数叫偶数。例如：0、2、4、6、8、10……注：0也是偶数 2、不能被2整除的数叫奇数。例如：1、3、5、7、9……
④整除的特征
能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8。
能被5整除的数的特征：个位上是0或5。
能被3整除的数的特征：一个数的各个数位上的数之和能被3整除，这个数就能被3 整除。
⑤质数和合数
在正整数集合里分为质数、合数和1。
一个数只有1和它本身两个约数，这个数叫做质数（素数）。质数有无穷多个。
一个数除了1和它本身外，还有别的约数，这个数叫做合数。合数有无穷多个。
1既不是质数，也不是合数。
自然数按约数的个数可分为：质数、合数
自然数按能否被2整除分为：奇数、偶数
⑥分解质因数
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。例如：18=3×3×2，3和2叫做18的质因数。
把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法来分解质因数。
几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫这几个数的最大公因数。公因数只有1的两个数，叫做互质数。几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。其中最大的一个叫这几个数的最大公倍数。
特殊情况下几个数的最大公约数和最小公倍数。（1）如果几个数中，较大数是较小数的倍数，较小数是较大数的约数，则较大数是它们的最小公倍数，较小数是它们的最大公约数。（2）如果几个数两两互质，则它们的最大公约数是1，小公倍数是这几个数连乘的积。
⑦奇数和偶数的运算性质
相邻两个自然数之和是奇数，之积是偶数。
奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数，偶数+偶数=偶数；
奇数-奇数=偶数，奇数-偶数=奇数，偶数-奇数=奇数，偶数-偶数=偶数；
奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数。
关于数的四则运算的知识要点：
（1）四则运算的法则 　　
加法：整数和小数：相同数位对齐，从低位加起，满十进一。同分母分数：分母不变，分子相加；异分母分数：先通分，再相加　　
减法：整数和小数：相同数位对齐，从低位减起，哪一位不够减，退一当十再减。同分母分数：分母不变，分子相减；异分母分数：先通分，再相减　　
乘法：整数和小数：用乘数每一位上的数去乘被乘数，用哪一位上的数去乘，得数的末位就和哪一位对起，最后把积相加，因数是小数的，积的小数位数与两位因数的小数位数相同。分数：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。能约分的先约分，结果要化简　　
除法：整数和小数：除数有几位，先看被除数的前几位，（不够就多看一位），除到被除数的哪一位，商就写到哪一位上。除数是小数是，先化成整数再除，商中的小数点与被除数的小数点对齐b、甲数除以乙数（0除外），等于甲数除以乙数的倒数 　　
（2）运算定律
加法交换律 a＋b=b＋a 　　
&&& 结合律 （a＋b）＋c=a＋（b＋c） 　　
减法性质 a－b－c=a－（b＋c）　　
&&&& && a－（b－c）=a－b＋c　　
乘法交换律 a×b=b×a 　　
&&& 结合律 （a×b）×c=a×（b×c） 　　
&&& 分配律 （a＋b）×c=a×c＋b×c 　　
除法性质&& a÷（b×c）=a÷b÷c　　
&&&&&&&&&& a÷（b÷c）=a÷b×c&& 　　
&&&&&&&&& （a＋b）÷c=a÷c＋b÷c　　
&&&&&&&&& （a－b）÷c=a÷c－b÷c
&&& 商不变性质m≠0&&&& a÷b=（a×m）÷（b×m） =（a÷m）÷（b÷m） 　　
积的变化规律：在乘法中，一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）若干倍，积也扩大（或缩小）相同的倍数。　　
推广：一个因数扩大A倍，另一个因数扩大B倍，积扩大AB倍。
一个因数缩小A倍，另一个因数缩小B倍，积缩小AB倍。　　
商不变规律：在除法中，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。　　
推广：被除数扩大（或缩小）A倍，除数不变，商也扩大（或缩小）A倍。
被除数不变，除数扩大（或缩小）A倍，商反而缩小（或扩大）A倍。　　
利用积的变化规律和商不变规律性质可以使一些计算简便。但在有余数的除法中要注意余数。　　
如：=& 可以把被除数、除数同时缩小100倍来除，即85÷2=42（余1），商不变，但此时的余数1是被缩小100被后的，所以还原成原来的余数应该是100，即……100。　　
关于简易方程的知识要点：　
（1）用字母表示数 　　
用字母表示数是代数的基本特点。既简单明了，又能表达数量关系的一般规律。　　
用字母表示数的注意事项 ：
①数字与字母、字母和字母相乘时，乘号可以简写成“·“或省略不写。数与数相乘，乘号不能省略。
②当1和任何字母相乘时，“1”　省略不写。
③数字和字母相乘时，将数字写在字母前面。　　
（2）含有字母的式子及求值
求含有字母的式子的值或利用公式求值，应注意书写格式 　　
（3）等式与方程
表示相等关系的式子叫等式。
含有未知数的等式叫方程。
判断一个式子是不是方程应具备两个条件：一是含有未知数；二是等式。所以，方程一定是等式，但等式不一定是方程。　　
（4）方程的解和解方程
使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。
求方程的解的过程叫解方程。　　
在列方程解文字题时，如果题中要求的未知数已经用字母表示，解答时就不需要写设，否则首先演将所求的未知数设为x。　　
（5）解方程的方法
①直接运用四则运算中各部分之间的关系去解。如x-8=12
加数+加数=和&&&&& 一个加数 = 和－ 另一个加数
被减数－减数=差&& 减数=被减数－差&& 被减数=差＋减数
被乘数×乘数=积&& 一个因数=积÷另一个因数
被除数÷除数=商&& 除数=被除数÷商&& 被除数=除数×商
②先把含有未知数x的项看作一个数，然后再解。如3x+20=41
先把3x看作一个数，然后再解。
③按四则运算顺序先计算，使方程变形，然后再解。如2.5×4-x=4.2，
要先求出2.5×4的积，使方程变形为10-x=4.2，然后再解。
④利用运算定律或性质，使方程变形，然后再解。如：２.２x＋７.８x＝２０
先利用运算定律或性质使方程变形为（２.２＋７.８）x＝２０，然后计算括号里面使方程变形为１０x＝２０，最后再解。　　
2、小学数学中数的结构；
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
无理数：无限不循环小数。如π， 等
有限小数和无限循环小数都能化为分数。
在自然数的基础上负数概念引进后，“整数集”完整地形成了，并使“加法、减法、乘法”在整数集内永远实施。
在自然数的基础上分数概念的引进，首先形成了“非负理数集”，使除法（0不作除数）在这个数集内永远实施；再引进负数后，有理数集就完整地形成，使“加、减、乘、除”四则运算在有理数集内永远实施。
也可理解为：加法和乘法的实施使“非0自然数集”扩充为“自然数集”；再实施减法，使“自然数集”扩充为“整数集”，也即“负整数”加入；又再实施除法（0不作除数），使“整数集”扩充为“有理数集”，也即“分数”的加入。
3、小学数学中对于数及其运算的几点深入理解
（1）对“自然数”的理解——0为什么规定为自然数
上世纪90年代以前人们习惯的自然数不包括0，1993年《中华人民共和国国家标准》颁布，规定了0属于自然数。
因为，自然数有三大功能，一是基数，二是序数，三是能加法和乘法运算。缺少了0就不完善了。在基数上，0表示没有，是“空集”这个有限集合的元素个数；在顺序上，有时当着起点，如尺子的0厘米；在加乘运算上，如果没有0的自然数，不能运算。
在小学数学中所指的整数就是自然数。
（2）对于分数的理解&
小学数学中分数的定义是：把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数。因此，分数的分子、分母都是非0自然数，并且分母不能是1。
在小学数学中，像0/3，2/1，0.1/3，4/0.2等的数都不是分数。
但是，有时在计算中会出现分子是0的分数，就叫零分数，或分母是1的分数是整数。所以，分数补充定义：当分数m/n的 n=1时,m/n=m/1=m；当分数m/n的m=0时，m/n=0/n=0。
另一方面，在过去的小学数学里，有繁分数这个概念，可把0.1/3或4/0.2等看成是繁分数。繁分数可化成整数或分数。
（3）分数和小数的关系&
任何一个分数都可化为小数，即是化成有限小数或无限循环小数。但是，并非任何小数都能化成分子、分母都是整数的分数，如无限不循环小数不能化成分数。
（4）关于0为什么不能做除数&
整数除法定义：如果bq=a，那么a÷b=q& 。这说明除法是乘法的逆运算，已知积和一个因数，求另一个因数。当a=0，b≠0时，∵b &#，∴0÷b=0。
如果除数b=0，那么：①当被除数a不为零时，由于任何数乘0都不可能等于a，所以a÷0的商是不存在的；②当被除数a为零时，因为任何数乘0都等于0，所以a÷b的商是不能确定的。
因此，规定除法中，除数不能为零。
（5）对小学数学整除性的理解&
①因数和倍数。小学数学是在非0整数（自然数）范围内研究因数和倍数的。
在小学数学中的非0自然里，a×b=c,a和b都是c的因数，c是a和b的倍数；
从数的整理除性来看，0能被任何非0自然数整除，故0是任何非0自然数整除的倍数，任何非0自然数也都是0的因数，所以在研究因数和倍数时，把0包括在内就没有什么实际意义，因此，小学数学中的0不作为因数、倍数的研究范围。（学习负数后，一个数的倍数可以是负整数）
因0不能当除数，任何整数都不是0的倍数，故0没有倍数。
②奇数和偶数。小学数学是在自然数中定义奇数和偶数的，所以0是偶数。
奇数性质：两个奇数的和或差是偶数；两个奇数的积是奇数；一奇一偶的和或差是奇数；一奇一偶的积是偶数。
偶数性质：两偶的和、差、积是偶数。
在自然数中，最小的偶数的0，最小的奇数的1。数扩充到全体整数时，就没有最小的整数，也没有最小的奇数（偶数）。
人教版五下P22练习题11﹡奇数与偶数的和是奇数还是偶数？奇数与奇数的和是奇数还是偶数？偶数与偶数的和呢？（设奇数为2n-1，n∈N，设偶数为2n-1，n∈N，可以证明）
③质数和合数
一个数除了1和它本身外，还有其他的因数，这样的数叫合数，合数至少有3个因数。一个数除了1和它本身外，不再有别的因数，这样的数叫质数，质数都有2个因数。0虽然能被1整除，但不能被它本身整除（0÷0无意义），故O不是质数也不是合数。1不是质数也不是合数。
（6）为什么要引进负数？
一是人们在生产生活中经常会遇到各种相反意义的量，二是使减法运算永远可以实施。
负数的引进，是中国古代数学家对数学的一个巨大贡献。在《九章算术》中，除了引进正负数的概念外，还完整地记载了正负数的运算法则，实际上是正负数加减法的运算法则。如负数出现在方程的系数和常数项中，把“卖（收入钱）”作为正，则“买（付出钱）”作为负，把“余钱”作为正，则“不足钱”作为负。刘徽第一次给出了正负区分正负数的方法。他说：“正算赤，负算黑；否则以邪正为异”意思是说，用红色的小棍摆出的数表示正数，用黑色的小棍摆出的数表示负数；也可以用斜摆的小棍表示负数，用正摆的小棍表示正数。
在国外，负数出现得很晚，直至公元1150年（比《九章算术》成书晚l千多年），印度人巴土卡洛首先提到了负数，而且在公元17世纪以前，许多数学家一直采取不承认的态度。如法国大数学家韦达，尽管在代数方面作出了巨大贡献，但他在解方程时却极力回避负数，并把负根统统舍去。有许多数学家由于把零看作“没有”，他们不能理解比“没有”还要“少”的现象，因而认为负数是“荒谬的”。直到17世纪，笛卡儿创立了坐标系，负数获得了几何解释和实际意义，才逐渐得到了公认。
从上面可以看出，负数的引进，是我国古代数学家贡献给世界数学的一份宝贵财富。
（7）对近似数和近似值的理解
与实际数相接近的数称为近似数。如海南省人口860万，是个近似数。
近似等于精确值的数值称为近似值。如除法运算时，求到某一位数上四舍五入所得的数值，是商的近似值。
近似数和近似值不是一回事的。
（8）关于估算（从二上P31开始有“加减法估算”）。
小学数学的估算有三类；一是对大数目的估算，如254×196大约是多少？；二是对日常口算、笔算的验算；三是对日常生活中一些最简单的推算，如100万张纸有多厚？
对大数目的估算：通常用四舍五入方法保留最高位或次高位，用“凑整”的方法口算出近似数。如上式254×196可看成大约250×200=50000。
具有现实生活背景的估算问题：依据实际情况而定，有时估大些或估小些。如某人要去商店买热水瓶29元，水壶44元，水杯24元，他需要大约带多少钱？
4、对小学数学中的解决问题理解（解决问题与传统的应用题的区别）
（1）重视过程的教学。应用题更多的强调尽快获得答案，而解决问题强调一个过程，就是寻求解决问题方式方法的过程。重视解决问题的过程，寻求解决问题的方法和策略比获得一个结论本身来得更重要。
（2）不仅仅依附一个知识点。应用题往往是结合某一个具体的知识点，例如今天讲加法，就是加法应用题，明天学乘法是乘法应用题，应用题常常是依附在某一个知识点的背景下；而解决问题是强调针对一个具体的真实的情境，它更多地强调综合解决问题的过程。例如今天讲完加法后，解决问题的情境可能不局限于用加法，也不局限于用减法，它要调动学生已有的知识来解决问题。它是不仅仅依附于某一个知识点的。
（3）具体问题具体分析。应用题教学把应用题归成类，集中一类问题进行思考，强调速度和技巧；而解决问题强调的是具体问题具体分析，换句话说就是在一种新的情境中如何运用所学知识解决问题，使问题更具挑战性，可能是一个问题接着一个问题。学生面临的具体情境不同，问题就不同，学生要具体问题具体分析。要寻求解决这个问题的方法，它更具有挑战性，更具有新意。
（4）问题的开放性和多元性。应用问题强调广泛性，即从生活中、从儿童已有的经验出发、从现在的科技和社会发展的过程中发现问题和提炼问题。问题本身的开放性和多元性也是其很重要一个特征。
5、常见的量
钟表的认识（时针、分针）
认识人民币； 认识时间
毫米、分米、千米的认识； 吨的认识； 时、分、秒
年、月、日； 24时计时法
（1）关于量与计量及的计算　　
■事物的多少、长短、大小、轻重、快慢等，这些可以测定的客观事物的特征叫做量。把一个要测定的量同一个作为标准的量相比较叫做计量。用来作为计量标准的量叫做计量单位。
■数+单位名称=名数
只带有一个单位名称的叫做单名数。
带有两个或两个以上单位名称的叫做复名数
高级单位的数如把米改成厘米 低级单位的数如把厘米改成米
■只带有一个单位名称的数叫做单名数。如：5小时， 3千克（只有一个单位的）
带有两个或两个以上单位名称的叫做复名数。如：5小时6分，3千克500克（有两个单位的）
56平方分米=(0.56)平方米 就是单名数转化成单名数
560平方分米=(5)平方米(60平方分米) 就是单名数转化成复名数的例子.
■高级单位与低级单位是相对的.比如,"米"相对于分米,就是高级单位,相对于千米就是低级单位.
■1年12个月(31天的月份有1、3、5、7、8、10、12月份，30天的月份有4、6、9、11．月份，平年2月28天，闰年2月29天
■闰年年份是4的倍数，整百年份须是400的倍数。
■平年一年365天，闰年一年366天。
■公元1年—100年是第一世纪，公元是第二十世纪。
（2）对北京时间的理解
格林尼治时间也称为“世界时”。 格林尼治是英国伦敦南郊原格林尼治天文台的所在地，它又是世界上地理经度的起始点。对于世界上发生的重大事件，都以格林尼治的地方时间记录下来。一旦知道了格林尼治时间，人们就很容易推算出相当的本地时间。例如，某事件发生在格林尼治时间上午8 时，我国在英国东面，北京时间比格林尼治时同要早8小时，我们就立刻知道这次事情发生在相当于北京时间16时，也就是北京时间下午4时。
国际上把地球表面按经线分为24时区，规定每一时区内使用它的中央子午线的地方时为该区的“标准时间”。
各国的标准时间一般以首都所处的时区来确定。我国采用首都北京所在的东八时区的区时作为标准时间，称为北京时间。就是东8区的中央子午线东经120°的地方时，相当于山海关以东的地方时，并非北京市的地方时。北京城中心大约在东经116°25′，其地方时比北京时间晚14分17秒左右。我国有些城市处在东经120°位置，如山东胶县、江苏常州、福建霞浦，它们的地方时和北京时间一致。
&&&&北京时间=世界时+8小时。
（3）质量和重量的区别
质量是物体所含物质的多少。是物体的一种属性，质量不随物体的形状、温度、状态而改变，质量也不随物体的位置而改变。质量没有方向。
重量是物体受到地心引力作用，而具有向下的力，这个力的大小叫做这个物体的重量。重量在各地区因地心引力的不同而有微小的差别，在地球两极比在赤道大些，高处比低处小些。
一个物体的重力与质量有如下关系：重力=质量×g（g是重力加速度），在不同地点g略有变化，所以同一个物体，在不同的地点的重力略有差异。质量的单位有吨（t）、千克（kg）克（g）、毫克等，重力与质量有如下关系：重力=质量×g。测量质量的工具有天平，磅秤等。
（4）名数与不名数
在书的后面富有数量单位名称的数叫做名数。例如:3米,8元,10张,100千克等.；4角5分、15分30秒等叫做复名数。
在数的后面没有数量单位名称的数,叫做不名数。例如:45，3/4，3．2 等；在8加5乘以6的积是多少,这里的三个数都是不名数。
6、比和比例
知识内容分布：小学数学六上学期学习：比；六下学习：比例，正、反比例、比例尺， 图形的放大与缩小。
（1)关于比和比例的知识要点　　
①表示两个比相等的式子叫做比例。
②在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。
③应用比例的基本性质可以解比例、组比例，还可以求两个数的比。
④图上距离和实际距离的比，叫做比例尺。
⑤两种相关联的量。若比值一定，则成正比例；若积一定，则成反比例。若比值和积都不一定，则不成比例。
⑥应用比例知识解答应用题，要先判断两种相关联的量成什么比例，找出这两种相关联的量的对应数值，再根据正、反比例的意义列方程解答。
(2)比和比例应用题
在工业生产和日常生活中，常常要把一个数量按照一定的比例来进行分配，这种分配方法通常叫“按比例分配”。
(3)比例的解题策略
按比例分配的有关习题，在解答时，要善于找准分配的总量和分配的比，然后把分配的比转化成分数或份数来进行解答
(4)正、反比例应用题的解题策略
第一、审题，找出题中相关联的两个量 ；第二、分析，判断题中相关联的两个量是成正比例关系还是成反比例关系；第三、设未知数，列比例式；第四、解比例式；第五、检验，写答语。
（5）分数、除法和比三者之间的联系和区别
联系：在分数中，分子相当于除法算式中的被除数,分母相当于除数, 分数线相当于除号,分数值相当于商；把分数放在“比”中,分子相当 于前项，分母相于后项，分数线相当于比号，分数值相当于比值；比 的前项相当于除法中的被除数，比的后项相当于除法中的除数，比号相当于除法中的除号，比值相当于除法中的商。
区别：分数是一种数；除法是数与数之间运算；比是一种关系。
（6）对相关联的量一定成正比例或反比例的理解
有些量是相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，但它们却不成正比例也不成反比例。例如，圆的面积随着半径的变化而变化，变化的方向相同，好象是正比例关系，而它们实际上是不成正比例的。又如，一要绳子长度一定，剪去的长度与剩下的长度也不成反比例关系。正比例：x：y=k（常数），即y= k x。&& 反比例：xy=k（常数），即y= k /x。
7、探索规律
第一学段（1～3年级）
发现给定的事物中隐含的简单规律（一年级下册、二年级下册《找规律》单元）
第二学段（4～6年级）
探求给定事物中隐含的规律或变化趋势
&小学数学探索规律有四种情况：
算式中的规律
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 算式规律：如一个数乘11，101的计算。
数列中的规律
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 123×11=×101=5932134
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 数列规律：考虑相邻两项的关系，或一组数，的关系，找到规律。
“式”的规律
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 式的规律：几个算式排列在一起，从中发现规律。
数形结合的规律
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 数形结合的规律从图形对称或排列找规律
（1）电话联系人的问题（五下打电话）
每增加一分钟新接到通知的队员数正好是前面所有接到通知的队员和老师的总数，也就是第n分钟新接到通知的队员数等于前（n-1）分钟内接到通知的队员和老师的总数。因而到第n分钟所有接到通知的队员和老师的总数就是一个等比数列，通项公式为an=2n，到第n分钟所有接到通知的队员总数就是（2n-1）人。
随着时间的增加，所有接到通知的队员数分别为1，3，7，15，31……因此要通知完15个队员，只需要4分钟。根据这个规律算一算5分钟最多可以通知多少人，以及如果一个合唱团有50人，最少花多少时间就能通知到每个人。这些问题利用发现的规律都能轻松地解决。
（2）因数是11，101的规律
123×11=1353&&&&&&& 532134(双交叉)
（二）小学数学知识体系中“空间与图形”知识的拓展
1、内容介绍
（1）几何形体内容分布与说明
详& 细& 内& 容
认识物体和图形（立体图形、平面图形名称认识）
1.长方体、正方体
2.圆柱、球
3.长方形、正方形
4.三角形、圆
1.先立体后平面的认识顺序，直观的认识方法
2.涂色、数个数、分类等
角的初步认识
1.角的顶点和边
2.直角，和画法
1.在认识长度单位的时候认识线段并与曲线区别
2.名称，和画法
锐角和钝角
锐角比直角小，钝角比直角大。
平行四边形
周长的概念
长方形和正方形的周长
1.画、剪等活动
2.封闭图形一周的长度，是它的周长
3.教材没有呈现“长”“宽”的概念。没有呈现计算公式，只有算式。
4.估计长度
面积的概念
长方形和正方形的面积计算
1.物体表面或封闭图形的大小，就是它们的面积
2.有归纳公式，、出现先求面积再求别的的两步计算应用题
直线、射线、和角
1．一束的光线近似看成射线，一端无限延伸。
2.下面两条是直线，可以向两端无限延伸。
3.从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。“∠”，“度°”
4.平角、周角和相应度数。
平行四边形和梯形
垂直和平行，距离
平行四边形和梯形的概念
韦恩图（从属关系）
1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
三角形的特性
三角形的分类
三角形的内角和
三角形的三边关系
1由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形
2底、高，稳定性
3按角分，按边分在练习中出现
多边形的面积
平行四边形的面积
三角形的面积
梯形的面积
组合图形的面积
&验证推导平行四边形面积、三角形面积、梯形面积的计算公式。
长方体和正方体
2.体积、容积、表面积的概念
3.计算体积表面
5.排水法求圆球的体积
物体所占空间的大小
在练习中出现六联方和用排水法求体积的题目。
圆心、半径、直径
圆柱和圆锥
圆柱的认识、表面积、体积
圆锥的认识、体积
&验证推导圆柱、圆锥体积计算公式
（2）图形与变换内容分布及说明
图形的拼组
剪一剪、摆一摆、拼一拼。初步感知数学的美。
平移和旋转&
向上、下、左、右、平移（ ）格子。
认识旋转现象，如：风车。区别旋转和平移。
图形的拼组
用三角形摆图形
图形的变换&
画对称轴的另一半
绕“O”旋转30°到A点，或其他角度，如90°等。
（3）图形与位置内容分布及说明
内& 容& 分& 布
在什么的上面，在什么的下面。
在什么的前面，在什么的后面。
左手、右手
第几组第几个
1.观察的人
2.对称，对称轴
1.看恐龙，说出是谁看的？
2.没有说到对称图形
3.认识，会剪，会画对称轴
4.倒影，镜子，区别镜像
位置与方向
东、南、西、北
1.在教学楼的东面
2.向东走200米，在向北走100米等
位置与方向
东偏北35°，距离100米等
从不同角度看物体
用（2，3）表示第二列第三排的同学
（4）测量的内容分布
长度单位（厘米、米）
测量（毫米、分米、千米的认识，长方形、正方形等图形的周长）
面积（面积的含义、面积单位及进率、单位换算、长、正方形的面积公式）
多边形的面积（探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式）
长方体和正方体（体积的意义及度量单位、简单的单位换算、长方体和正方体的表面积、体积等）
2、平面图形认识和计算的知识要点　　
①三角形是由三条线段围成的图形。它具有稳定性。从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。一个三角形有三条高。
②三角形的内角和是180度
③三角形按角分，可以分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
④三角形按边分，可以分为：等腰三角形、等边三角形、不等边三角形
①四边形是由四条线段围成的图形。
②任意四边形的内角和是360度。
③只有一组对边平行的四边形叫梯形。
④两组对边分别平行的四边形叫平行四边形，它容易变形。长方形、正方形是特殊的平行四边形；正方形是特殊的长方形。
圆是平面上的一种曲线图形。同圆或等圆的直径都相等，直径等于半径的2倍。圆有无数条对称轴。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
■扇形 由圆心角的两条半径和它所对的弧围成的图形。扇形是轴对称图形。
■轴对称图形
①如果一个图形沿着一条直线对折，两边的图形能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形；这条窒息那叫做对称轴。
②线段、角、等腰三角形、长方形、正方形等都是轴对称图形，他们的对称轴条数不等。
■周长和面积
①平面图形一周的长度叫做周长。
②平面图形或物体表面的大小叫做面积。
③常见图形的周长和面积计算公式如下：
(1)长方形面积=长×宽，计算公式s=a ×b
(2)正方形面积=边长×边长，计算公式s=a × a
(3)长方形周长：(长+宽)× 2，计算公式s=(a+b)× 2
(4)正方形周长=边长× 4，计算公式s=　4 ×a　
(5)平形四边形面积=底×高，计算公式s=a × h．
(6)三角形面积=底×高÷2，计算公式s=a×h÷2
(7)梯形面积=(上底+下底)×高÷2，计算公式s=(a+b)×h÷2
（8）圆：直径 ：d = 2r ，半径 ：r = d÷2，圆的周长：C圆= πd&， d = C÷π
C圆= 2πr&&& r = C÷π÷2
圆的面积 ：S圆 = πr &&&&& 圆环的面积：S圆环 = π×（R –r ）
■组合图形的面积
①由两个或两个以上的简单图形组合而成的比较复杂的图形，叫做组合图形。
②解题方法：合并求和法，去空求差法
3、对小学数学空间与图形的几点深入理解
（1）对直线、射线和线段的理解。
直线在小学数学教材中是通过实例（双手拉紧的线）说明的，不是定义的概念。直线没有端点，没有方向，可以向两方无限延伸，无头无尾来可度量。
射线：在直线上某一点一旁的部分叫做射线。射线有一个端点，可向一个方向无限延伸，不可度量。
线段；直线上任意两点间的部分叫做线段。线段有长短，可度量。
这三者的区别：从端点的情况来区分。它们的联系：线段是直线或射线的一部分，射线又是直线的一部分。
（2）对数学中的点、线、面的理解
点只有位置，没有大小；线只有长短，没有粗细；面只有长、宽，没有厚薄。
（3）对确定左右位置的理解
第一要了解确定左、右的标准。一是“向谁说”、“问谁”就以谁为判断主体，如叫学生向“左”转；二是没有明确谁是判断主体时，应指谁观察就应以谁为判断主体，如路牌。第二注意左、右是相对性。
（4）对位置的理解——有序数对（ａ，ｂ）
有序数对：用含有两个数的词表示一个确定的位置，其中各个数表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a,b）。
常见的确定平面上的点位置常用的方法：一是以某一点为原点（0，0）将平面分成若干个小正方形的方格，利用点所在的行和列的位置来确定点的位置。二是以某一点为观察点，用方位角、目标到这个点的距离这两个数来确定目标所在的位置。
（三）小学数学知识体系中“统计与概率”的知识及其拓展
1、统计知识分布
分物体、分图形
1.统计数量
2.比较多少
1.用“正”法统计数量
2.比较多少
每格代表（ ）人
&用统计表收集数据
&用统计表收集数据
简单的数据分析
完成统计图
平均数能较好的反映一组数据的总体情况。
（14+12+11+15）÷4=13（个）
完成条形统计图
单式、复式条形统计图
条形统计图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直条按一定的顺序排列起来。
折线统计图
&折线统计图
&折线统计图的作法
&在一数据中，数量上处于中间的数是这组数据的中位数。
复式折线统计图
复式折线统计图
&在一组数据中，出现次数最多的数据是这组数据的众数；
对复式折线图所统计的数据进行比较，找出变化规律。
各种统计图的特点
&条形、折线和扇形统计图
&通过比较，认识条形、折线和扇形统计图表示的意义及特点。
统计图的要点
&折线统计图和扇形统计图
&从统计图的数据进行比较和判断，得出结论。
三年级上册
初步体验有些事件的发生是确定的，有些则不确定
五年级上册
不但能用恰当的词语来描述时间发生的可能性大小，还要学会通过量化的方式，用分数描述事件发生的概率
3、统计与概率知识结构图
4、对统计与概率的几点深入理解
（1）统计的基本思想
研究如何从样本的统计性质去推测相应总体的统计性质,即如何根据样本去探求有关总体的规律性。
统计过程：提出问题、收集数据、整理数据、作出决策、进行交流、评价与改进。
统计观念主要表现在下述三个方面：一是能够从统计的角度思考与数据有关的问题。二是能通过收集、描述、分析数据的过程，做出合理的决策，并认识统计对决策的作用。三是能对数据的来源、收集和描述数据的方法、由数据得到的结论进行合理的质疑。
（2）对可能性和概率的理解
①数学中的可能性：
　　必然事件（100%， 即一定会发生的事件，如：在常温常压下水的沸点100度C）。
　　不确定事件（X%，即在主观或客观条件下都不能确定是否会发生的事件，如：扔一枚硬币，落地后正面朝上）。
　　（0% ，即在逻辑思维下不会发生的事件，如：太阳从南方升起）
　　我们这个世界中，可能性不会超过1（100%），如同机械效率不能超过1一样。
如果一件事，你不确定它发不发生，可以说可能发生，意思是有一半的机率（50%），增加准确性。
②事件发生的可能性
　　在生活中，有些事件一定会发生，有些事件不可能发生，有些事件则可能发生。事件发生的可能性有大有小，在计算事件发生的可能性大小时，可利用枚举的方法将每种可能发生的情况一一列举出来。
　　③游戏的公平性
　　在玩游戏时，游戏规则必须保证事件发生的可能性相同，也就是等可能性才公平。确定一个游戏是否公平，要先找出事件发生的所有可能，然后看对于游戏双方发生的可能性是否相同，若相同，游戏公平，否则，游戏就不公平。
　　④分辨可能性
　　在涉及可能性大小的问题中，枚举法是最基本、最常用的方法，即将所有可能的情况都列举出来，哪种情况出现次数越多，其发生的可能性就较大。
　⑤判断公平性
　　判断游戏的公平性，关键是看参与游戏的各方获胜的机会是否均等。
　⑥设计公平游戏
设计公平的游戏方案应考虑两各个方面：一是要让可能出现的结果是有限的；二是出现各种结果的可能性相等。
概率:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件A发生的次数总是接近于某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P(A)。
概率的是一个数。在古典型的随机试验中，如果基本事件总数是n，随机事件A所包括的基本事件数为m，用m/n来描述事件A发生的可能性大小，即概率P(A)= m/n。
概率的性质：（1）任意事件A的概率P(A)，都0≤P(A) ≤1；（2）必然事件U的概率P（U）=1；（3）不可能事件V的概率P（V）=0。
（3）概率与统计的关系
概率论与统计都是用数学方法研究大量随机现象的统计规律的科学，但统计与概率论又有所不同。大体来说，概率论着重对客观的随机现象提出各种不同的理想化的数学模型，并研究其内在的性质与相互联系。而统计是以概率为基础，着重对统计资料进行分析、研究、验证它是否符合某种数学模型，从而作出有用的推断。
教学时，必须让学生亲自经历对随机现象的探索过程，引导他们亲自动手实验收集实验数据，分析实验结果，并将所得结果与自己的猜测进行比较，真正树立正确的概率直觉。
引导学生把概率与统计联系起来看问题，数据的统计与处理不应只是纯数字的运算，它们与概率是密不可分的、同时，很多的概率模型是建立在大量数据统计的基础上。例如，天气预报中降雨的概率，防洪标准的设立等。因此，要使学生在随机实验中统计相关的数据，并了解这些数据的概率含义，在数据统计时了解其中所蕴涵的随机性，切忌将概率与统计分割处理。
（4）确定事件、必然事件和随机事件
必然事件和不可能事件同属于确定性范畴，统称为确定事件，这是区别于随机事件。不能说确定事件就是必然事件，它们内涵不一样。
在一次试验是可能发生或可能不发生的事件，称为随机事件。
随机事件的特性：①虽然某一事件的结果无法预先确定，但各种可能的结果是已知的；②事件是可以重复进行的；③事件的结果的有限个。
（四）小学数学知识体系中“实践与综合应用”的知识拓展
人教版教材中“数学广角”教学内容整理成如下表：
数学思想方法
搭配问题& 逻辑推理
排列 组合 推理
重叠问题& 等量代换
集合 等量代换
烙饼、沏茶、等候、田忌赛马
鸡兔同笼问题
1、排列、组合
排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关．如231与213是两个排列，2＋3＋1的和与2＋1＋3的和是一个组合．
　　两个基本原理是排列和组合的基础
　　①加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法．
②乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法．
排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序必须完全相同。排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列 P = n(n－1)(n－2) …（m-n+1）,
当m＝n时，为全排列P =n(n－1)(n－2)…3·2·1＝n！
组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从 n个不同元素中取出m个元素的一个组合．如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．C =P / m！
2、集合思想
德国数学家康尔创立的集合论，其主要思想方法可归结为概括原则、外延原则和一一对应原则。
任意给出一个性质P，满足性质P的所有对象，也仅仅是这些对象汇集在一起可以构成一个集合。这种造集的原则称为概括原则。
任意给定的两个集合A和B，如果对于任意一个a∈A能推出a∈B，反之对于任意一个b∈B能推出b∈A，则称集合A等于集合B，记作A=B。这就是外延原则。
任意给定的两个集合A和B，如果存在规则f，根据f，对于每一个a∈A，都有唯一确定的b∈B与之对应；反之，对于每一个b∈B，都有唯一确定的a∈A与之对应，则称集合A与集合B元素之间在f之下建立了一一对应关系。或称A与B是等价集合，简称A与B等价（等势），记作A~B。
若A~B，则称A与B有相同的基数。
3、等量代换
用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量（或另一种量的一部分）。“等量代换”是指一个量用与它相等的量去代替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础，狭义的等量代换思想用等式的性质来体现就是等式的传递性：如果a=b,b=c,那么a=c。
4、运筹思想和对策论都是比较系统、抽象的数学思想方法。
学生只要能从解决问题的多种方案中寻找出最优的方案，初步体会优化思想的应用就可以了，并不要求学生一看到问题就能从优化的角度给出最优的方案。
华罗庚的统筹方法，是一种安排工作进程的数学方法。它的实用范围极广泛，在企业管理和基本建设中，以及关系复杂的科研项目的组织与管理中，都可以应用。
①烙饼的策略（四上P112）
（规则：1．每次只能烙2张；2．两面都要烙；3．每面烙需时间3分。）
饼数（张）1　 2　 3　& 4　& 5 　… 　10 　…
时间（分）6 　6 　9 　12 　15 　… 　30 …
简单的优化问题渗透简单的优化思想。在相同的资源下，改变做事的顺序，充分利用现有资源，可以节省时间。最好的方法是：先烙1，2号饼的正面，接着烙1号饼的反面和3号饼的正面，最后烙2，3号饼的反面。这种方法只需9分钟。如果要烙的是4张饼，5张饼……10张饼呢？
②沏茶问题（四上P113）
工序：烧水（8分钟），洗水壶（1分钟），洗茶杯（2分钟），接水（1分钟），找茶叶（1分钟），沏茶（1分钟）
第一组& 洗水壶→接水→烧水→洗茶杯→找茶叶→沏茶
第二组& 洗水壶→接水→洗茶杯→找茶叶→烧水→沏茶
第三组& 洗水壶→接水→烧水→沏茶→洗茶杯→找茶叶
第四组& 洗水壶→接水→烧水（同时洗茶杯，找茶叶）→沏茶
第一组与第四组，第四组最明确，用的时间较短11分钟，其他两组需要经过14分钟。
③解决排队等候的问题（P115三船等待卸货），应依次从需要时间最短的事情开始，才能保证等候时间的总和最少。
5、极限思想与小学数学
认识直线、射线的无限延长。小学生认识到图形的无限性是有一定难度的，这里面隐含有极限思想的图形概念。所以，要在教师的引领下，让小学生走出有限的几何观念，形成无限的几何观念，极限思想在图形概念形成初期起了渗透作用。
圆面积公式和圆柱体积公式的推导：推导过程中从“分的份数越来越多”到“这样一直分下去”的过程就是“无限”的过程，“图形就真的变成了长方形”就是获得的结果。学生经历了从无限到极限的过程，感悟了极限思想的巨大价值。
采用“化圆为方”、“变曲为直”极限分割思路。在“观察有限分割”的基础上，“想象无限细分”，根据图形分割拼合的变化趋势，想象它们的终极状态。这样不仅使学生掌握了圆的面积和圆柱体的体积的计算公式，而且非常自然地在“曲”与“直”的矛盾转化中萌发了无限逼近的极限思想。
6、抽屉原理
把 m个物体任意分放进n 个空抽屉里（m＞ n， n是非0自然数），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体；把多于 kn个物体任意分放进 n个空抽屉里（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（k+1）个物体；
7、数学建模
数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。
数学建模的几个过程：
模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。
模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。
模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。（尽量用简单的数学工具）
模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。
模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。
模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，再次重复建模过程。
模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异。
8、植树问题
植树问题（人教版第八册数学广角）的三种情况:两端都栽的情况，棵数&=&间隔数& + 1；只栽一端的情况，棵数&=&间隔数；两端都不栽的情况，棵数&=&间隔数 - 1&。“三种情况”的区分以及相应的计算法则(“加一”“不加不减”“减一”)看成一种“规律”要求学生牢固地掌握，从而能在面对新的类似问题时不假思索地直接加以应用。
9、鸡兔同笼问题（六上数学广角）：假设法的应用
（五）数学小资料
1、推理（三上P126）
比较上层和下层，可知1瓶中的等于2瓶小的，即中瓶是400克；再比较中层和下层，知1大瓶等于2中瓶，故大瓶等于800克。
2、排列（三下P98）
用5、0、7、6排成（1）小于1的三位小数；（2）大于7而小数部分是三位数的小数。
（1）P =3×2×1=6，（2）P -P =6-2=4。
3、填数题（四上P48）
将10、15、20、30、40、60排成等边三角形，每边的积相等。要找出三组数，尝试它们有相同的积是1200。应是20、15、40，20、60、10，40、30、10。
4、格子乘法（四上P57）
5、神奇的莫比乌斯带（四上P77）
6、找百宝箱密码（四上P95）
用不定方程解，设六位数为
在0≤x≤9,0≤y≤9的情况下，（800+10Y）÷（10X+4）= 35，即Y=35X－66，
当X=2时，Y=4，所求的六位数是840242。
另，可用不定方程求四下P47的3个数。
7、数字推理（四下P119）
1号第3名，2号第4名，3号第2名，4号第1名。
8、“数字黑洞”（五上P31）&
任取一个四位数，只要四个数字不全相同，按数字递减顺序排列，构成最大数作为被减数；按数字递增顺序排列，构成最小数作为减数，其差就会得6174；如不是6174，则按上述方法再作减法，至多不过7步（含0可排在首位）就必然得到6174。
9、哥德巴赫猜想（五下P26）
每个不小于6的偶数都可以表示为两个之和，如12 = 5 + 7；每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和，如77=53+17+7。
陈氏定理（1966年证明）：任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积（简称1+2）。
10、找次品（五下P137）
观察可知，3的指数就是找次品需要测的次数。
11、排列组合问题（五下P143）
用1、2、3、4数字卡组成多少个两位的偶数。
12、比（六上P48）
a/6=b/4& &∴a:b=6:4=3:2
13、黄金分割（六上P51）：
如果线段AB=a,那么黄金分割点C有两个AC=（
五角星是非常美丽的，我们的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。黄金分割点约等于0．6181 是指分一线段为两部分，使得原来线段的长跟较长的那部分的比为黄金分割的点。线段上有两个这样的点。 利用线段上的两黄金分割点，可作出正五角星，正五边形。
证：由勾股定理得 AD
，AB=2BD，即AD
BD，又AD=BD+AC，故AC=
所以AC/AB=（ -1）BD/2BD=（ -1）/2
15、周长一定时，围成的长方形、正方开、圆，哪个面积最大。（六上P74）
设周长为C，正方形面积是C/16，圆的面积是C/4∏，即C/16﹤C/4∏。
16、一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁。（六上P117）
把1个大僧和3个小僧分成1组，1组吃馒头4个，100÷4=25（组），即大和尚25（人），小和尚3×25=75（人）。还有其他解法。
17、斐波那契数列（六下P65）：斐波那契首先研究的一种， 它的每一项都等于前两项之和。 此数列的前几项为1，1，2，3，5等等。 在生物数学中（如兔子繁殖等），许多生物现象都会呈现出斐波那契数列的规律。斐波那契数列相邻两项的比值趋近于黄金分割数。斐波契数列1，1，2，3，5，8，13，21，...后二数之比2/3,3/5,4/8,8/13,13/21,...近似值的。
18、七桥问题（六下P95）
18世纪初普鲁士的柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来。当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥。这就是柯尼斯堡七桥问题。
欧拉注意到，如果一个图能一笔画成，那么一定有一个起点开始画，也有一个终点。图上其它的点是“过路点”——画的时候要经过它。
现在看“过路点”具有什么性质。它应该是“有进有出”的点，有一条边进这点，那么就要有一条边出这点，不可能是有进无出，如果有进无出，它就是终点，也不可能有出无进，如果有出无进，它就是起点。因此，在“过路点”进出的边总数应该是偶数，即“过路点”是偶点。如果起点和终点是同一点，那么它也是属于“有进有出”的点，因此必须是偶点，这样图上全体点都是偶点。如果起点和终点不是同一点，那么它们必须是奇点，因此这个图最多只能有二个奇点。现在对照七桥问题的图，所有的顶点都是奇点，共有四个，所以这个图肯定不能一笔画成。
1736年，欧拉在交给彼得堡科学院的《哥尼斯堡7座桥》的论文报告中，阐述了他的解题方法。他的巧解，为后来的数学新分支——拓扑学的建立奠定了基础。
&(欧拉定理)&如果一个网络是连通的并且奇顶点的个数等于0或2，那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。
19、储蓄与纳税
（1）储蓄：利率——在一定存期（年、月或日）内的利息与本金的比。
利息=本金×利率×存期，& 本利和=本金×（1+利率×存期）。
例如：金融机构一年期存款基准利率上调0.27个百分点。由于此次加息，居民存款利息收入在一定程度上增加。以一万元一年期定期存款为例，具体影响如下：加息前，10000×2.25%×80%(扣除20%利息税)＝180元；加息后，10000×2.52%×80%(扣除20%利息税)＝201.6元；1万元一年期定期存款一年的利息收入(税后)将增加21.6元。
（2）纳税：纳税的种类较多，一般的计法：应纳税额＝需纳税的款项额×征收率
如，小规模纳税人销售货物或者应税劳务，实行简单办法计算应纳税额。按照销售额（不包括应纳税额）和规定的6%和4%计算应纳税额，不得抵扣进项税额、不得开具增值税专用发票。其计算公式为：应纳税额＝销售额×征收率。
20、九章算术
《九章算术》和《周髀算经》几乎同时，还有一部数学专著，科学史上称它为《九章算术》，这是我国第一部最重要的数学专著。
《九章算术》大约成书于东汉初年，书中载有246个应用题目的解法，涉及到算术、初等代数、初等几何等多方面内容。 其中所载述的分数四则运算、比例算法、用勾股定理解决一些测量中的问题等，都是当时世界最高科学水平的工作。而关于负数的概念和正负数加减法则的记载，也是世界数学科学史中最早的。
书中还讲述了开平方、开立方、一元二次方程的数值解法、联立一次方程解法等许多问题。《九章算术》在我国古代数学史上有很大影响，在世界数学史上也占有重要地位。
《九章算术》大致可分为9个方面内容：
（1）土地测量。书中列有直角三角形、梯形、三角形、圆、弧与环形等，并给出计算这些形状面积的方法。
（2）百分法和比例，根据比例关系来求问题答案。
（3）算术级数和几何级数。
（4）当图形面积及一边长度已知时，求其他边长的问题。还有求平方根、立方根等问题。
（5）立体图形体积的测量和计算，实际计算的有墙、城墙、堤防、水道和河流等。
（6）解决征收税收中的数学问题。像人们从产地运送谷物到京城交税所需的时间等有关问题，还有按人口征税的问题。
（7）过剩与不足的问题。也就是解决ax+b=0的问题。
（8）解方程和不定方程。
（9）直角三角形的性质。
刘徽，他是三国时代魏国人。刘徽自幼熟读《九章算术》，在魏陈留王景元四年（263）前后，为我国古代数学经典著作《九章算术》作注，做了许多创造性的数学理论工作，对我国古代数学体系的形成和发展影响很大，在数学史上占有突出的地位。
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