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第十六届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及解答
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第十四届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答
试​题​一​、​(​满​分0​分​)​我​们​常​常​会​发​现​在​商​店​里​买​同​一​种​商​品​,​大​包​装​的​比​小​包​装​的​合​算​.​如​某​种​品​牌​的​牙​膏​,​质​量0​克​的​每​支.0​元​／​支​,​质​量2克​的​每​支.0​元​.​如​果​不​考​虑​运​输​成​本​,​假​设​一​支​牙​膏​的​价​格​=​(​牙​膏​的​生​产​成​本​+​包​装​成​本​)​(+​固​定​比​例​的​商​业​利​润​率​)​,​而​生​产​成​本​与​商​品​的​重​量​成​正​比​,​包​装​成​本​与​商​品​包​装​的​表​面​积​成​正​比​,​商​业​的​固​定​利​润​率​为0​%​.
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４６；数学通报；２０１２年第５ｌ卷第５期；第十五届北京高中数学知识应用；竞赛决赛试题和参考答案；２０１２年３月２５日；１．（满分１６分）２０１１年国庆期间，上海新世界；（１）请你算一算，当每一类商品的积点都是５００的；（２）有一位顾客，想买一双靴子、一件呢外套和一条；与积点的比率又有所增加，每一元折合积点的倍数分别；Ａ类商品：１×０．４―４折，Ｂ类商品：１．
４６数学通报２０１２年第５ｌ卷第５期第十五届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题和参考答案２０１２年３月２５日１．（满分１６分）２０１１年国庆期间，上海新世界购物中心策划出一套“积点购物”营销方案．即在活动期间，商品的售价按照一定的比率全部折算成积点，这次全场商品共分为Ａ、Ｂ、Ｃ三类，一件Ａ类商品的售价（元）与折算成的点数比是ｌ：１，一件Ｂ类商品的售价（元）与折算成的点数比是１：１．５，一件Ｃ类商品的售价（元）与折算成的点数比是１：１．９．顾客选定商品后，累计积点．顾客按每满５００个积点付２００元的方式付款．如果积点ａ不是５００的整数倍，口＝５００ｂ＋ｆ，其中ｂ为正整数，ｏ＜ｃ＜５００．这时有两种付款方式供选择．第一种付款方式是按ｂ＋１个５００点支付２００（ｂ＋１）元，剩余的５００一ｆ点可与再继续购物的积点合用；第二种付款方式是支付２００ｂ＋ｆ元．无论哪种付款方式，顾客均在积点购物中得到了优惠．（１）请你算一算，当每一类商品的积点都是５００的整数倍时，顾客分别从这三类商品中能得到相当于多少折的优惠？（２）有一位顾客，想买一双靴子、一件呢外套和一条牛仔裤，靴子原价１４９９元，是Ａ类商品；呢外套原价８９９元，是Ｂ类商品；牛仔裤原价６９９元，是Ｃ类商品．正当她要掏钱按第一种付款方式付款时，一位“黄牛”走过来说：“这样做，你还要绞尽脑汁处理剩余的积点，不如直接按Ａ类４．２折、Ｂ类６．２折，Ｃ类７．８折将货与积点的比率又有所增加，每一元折合积点的倍数分别为Ａ类：１倍，Ｂ类：１．５倍，Ｃ类：１．９倍．因此顾客购买各类商品时实际得到的优惠分别为Ａ类商品：１×０．４―４折，Ｂ类商品：１．５×０．４＝６折，Ｃ类商品：１．９Ｘ０．４―７．６折．（２）根据积点方案，顾客购物的积点是：１４９９＋８９９Ｘ１．５＋６９９×１．９―４１７５．６，而４１７５．６―５００×８＋１７５．６．方案一：付款２００×９―１８００（元），余点数为１２９．７６（元）．方案二：付款２００×８＋１７５．６―１７７５．６（元）．“黄牛”的方案：付款１４９９０．６２＋６９９×０．７８―１Ｘ５００―１７５．６―３２４．４（点），２００Ｘ３２４．４÷５００―余点数折合人民币０．４２＋８９９Ｘ７３２．１８（元）．１８００―１７７５．６―若顾客不再购物，比方案一节省１７３２．１８＝６７．８２（元）；比方案二节省１７３２．１８―４３．４２（元）．如果顾客为了不浪费“余点”继续购物，购得的东西不见得有用，最后也不见得不再出现舍不得的“余点数”，而且耗费体力和时间．“黄牛”懂得顾客的想法。给了不想继续购物者一定的实惠，而“黄牛”可以积累顾客的余点，从中牟取利益，他从这位顾客处可以赚得１２９．７６一（１８００―１７３２．１８）＝６１．９４（元）．款给我，没有积分的事了，由我为你去付款，将购货凭证给你，你又省钱又省事．”请你算一算，用数据说明“黄牛”的用意．解（１）当顾客购买积点时每２００元可以买５００个积点．他得到的折扣是２００／５００＝０．４，即四折的优惠．但是各类商品按积点出售时，售价２．（满分１６分）２月２０日，在新浪网看到，网站为网民提供了不少有趣和实用的生活应用程序，其中的“理财计算器”可以为网民呈现出最佳存款时间组合．下图是程序的一个截图，上图是存款利率表．２０１２年第５１卷第５期数学通报４７存款利率（１）请你根据截图内的信息，判断这个结论利率项目年是否正确，并给出说明．活期储蓄汛０（２）如果这个结论不正确，请你通过计算得三个月定期存款半年定期存款出最佳组合．一年定期存款３》３解答（１）这个结论是错误的．根据三年期二年定期存款４的利率５％，可以算出两个三年整存整取存款组三年定期存款五年定期存款曩瘁弧心勰弧“璐乳合的本利和为：１００００（１＋３×５％）２＝１３２２５．ｏｏ元．这个数值比程序给出的结果要好，这说明程序的结论是错误的．最佳存款时问组合?本计簋器可估簋产生利息最多的恨行储蓄方式．初始存入金额’………一卫盟元两年三年四年储蓄存期五年！六年ｏＩ七年八年九年十年计算结果■■目序号存款期限利率本息金额１１年３５０％１０３５０∞元２５年５５０％１３１９６２５元结论／建议：您可以考虑先存１年期定期存获，到期本息再转存５年期定期存款。到期本息总额为１３１９６，２５元ｏ（２）存款六年，有多种组合，几乎涉及到了及３年以上的任何存款组合的本利和．这样，只所有的存款利率项目，为此我们先探讨一下有规需比较ｆ（３，３）和，（５，１）的大小就可以了，而律性的大小关系．这已由（１）可知结果．所以，结论是：对于６年设Ａ为本金数，巩为存ｉ年，Ａ为相应的存期，最大收益是两个三年期组合．利率，ｆ（ａ。，ｑ，…，口。）为依次经历存入口。，３．（满分１６分）２月１８日至２２日第七届世口，，…，口。年之后的本利和．则界草莓大会在北京市昌平区召开，请你根据下面ｆ（ａｆ，ａｊ，…，口。）＝Ａ（１＋ｐｉｎｉ）（１＋岛口ｊ）?的地图推算出昌平区的面积．…?（１＋户。口。）．解答要点解法会是多样的，要给出明确的由此看出本利和只与经历的存期有关，与它方法，比如，分割求和的方法，按照度量，画出们的顺序无关．经计算可得：足够细的网格，通过计算网格数得到近似解答；，（１）＞，（０．５，０．５）＞ｆ（ｏ．５，０．２５，或者图形割补的方法，将这个不规则的图形通过０．２５）＞ｆ（ｏ．２５，０．２５，０．２５，０．２５），割补拼成近似规范的的图形，再按照度量计算得，（２）＞ｆ（１，１），厂（３）＞ｆ（２，１），ｆ（３，到近似解答．（昌平区的实际面积是１３４３平方公１）＞ｆ（２，２），里，在方法正确的基础上，与实际数值误差不超由此，可得ｆ（３，３）＞，（１，２，３），厂（３，过４０平方公里即可）３）＞ｆ（２，２，２），也知道，ｆ（３，３）大于不涉４８数学通报２０１２年第５１卷第５期４．（满分１６分）经观察，人们发现鲑鱼在河中逆流行进时，所消耗的能量为Ｅ＝ＣＶ３Ｔ，其中口为行进时相对于河水的速度，Ｔ为行进的时间（单位：小时），Ｃ为常数．如果水的流速为４ｋｍ／ｈ，鲑鱼在河中逆流行进２００ｋｍ，问它在怎样的速度下能使消耗的能量最少？解由已知，鲑鱼相对于河岸的速度百一５．（满分１８分）如果有三门高炮独立射击目标，用户，表示“第ｉ门高炮命中目标”的概率，那么“三门高炮都命中目标”的概率就是ｐ。?Ｐ：?Ｐ。，“三门高炮都不命中目标”的概率是（１一Ｐ－）（１一Ｐｚ）（１一Ｐａ）．请依据以上的概率计算法则，回答下列问题：如果每门高炮击中敌机的概率是十分之一．（１）用十门高炮一定能击中敌机吗？若认为一定能击中，请说明理由；若认为不一定能，请计算出击中敌机的概率．（２）要想能以不小于０．９的概率击中敌机，至少需设置多少门高炮？解答（１）用十门高炮不一定能击中敌机．２个ｏ＿幽ｏ，又可以表示为＠＝ｖ－－４，所以Ｔ－－旦兰．口一４』于是，Ｅ―ＣＶ３Ｅ：２００。掣：２００。立些墼磐型里一２００ｃｆ雷ｚ＋１２面＋４８＋罂１Ｔ＝２００ｃ』，＿（口＞４），即因为，Ｐ（用十门高炮击中敌机）＝Ｐ（十门高―２００ｃ［（。～２）２＋３２（詈＋吾）＋４４］．因为蚕一２既是（矛一２）２的最小值点，也是炮中至少有一门击中了敌机）一１一Ｐ（十门高炮都没有击中敌机）一１一［１一Ｐ（第一门高炮击中敌机）］?［１一（詈＋吾）的最小值点，所以当面一２时，即当口一６时，取得Ｅ量小＝２１６００ｃ．（或者通过求Ｅ的导数得结论，Ｆ＝４００ｃｖ２?Ｐ（第二门高炮击中敌机）］…??［１一Ｐ（第十门高炮击中敌机）］若三寺，令Ｅ７＝０，得铆２６，当ｕ＜６时，Ｅ７＜０，当口＞６时，Ｅ７＞０，所以础＝６时Ｅ取得最小值．）鲑鱼以每小时６ｋｍ的相对于河水的速度行进时所消耗的能量最少．＝?一（，一拼≈ｏ－６５１，．（２）设至少需要竹门高炮就能以不小于０．９的概率击中敌机，则０．９≤Ｐ（用竹门高炮击中敌机）＝Ｐ（起门高炮中至少有一门击中了敌机）＝１一Ｐ（ｎ门高炮都没有击中敌机）２０１２年第５ｌ卷第５期数学通报４９一?一１一南）“．即挖满足不等式０．９”≤１―０．９―０．１，解得竹≥２２．可得ｓＢ形ＡＤＢｃ―ｒ２［（丌一目）＋ｓｉｎＯｃｏｓＯ］，记作ＳＤ，Ｓ日形＾￡Ｂｃ＝ｒ２（口一ｓｉｎＯｃｏｓＯ），记作ＳＥ，则Ｓ―ｓＤ―ＳＥ―ｒ２［（丌一２０）＋２ｓｉｎＯｃｏｓＯ］．根据题意可知，弓形ＡＤＢＣ的重心Ｚ。，弓形ＡＥＢＣ的重心Ｚ，以及月牙的重心Ｚ都应位于直线ＣＤ上．如果记它们与圆心Ｏ点的距离分别为ｚＤ，ｚＥ和ｚ，则有ｚＥ＜ｚＤ＜工．且应用初赛时得到的结论可知一堑至少需要２２门高炮才能以不小于０．９的概率击中敌机．６．（满分１８分）初赛时，我们计算了“从密度均匀、薄厚一致、半径为ｒ的圆形纸板上剪下来的开角为２口的弓形纸板ＡＢＤ的重心位置”，这个位置是在弓形板的对称轴上距圆心０点的距离为ｚ。一孚萨＝詈朵篡面的点．＝堑３（羔ｓｉｎＯｃｏｓＯ＿３ｃ删），３０――ｓｉｎＯｃｏｓＯ！醴１＼口一…～／’一堑！丝！翌二盟ｓｉｎ３０ｎ‘｜０＼＼．ｋ一０＼Ｅ３（Ⅱ一疗）一ｓｉｎ（７ｒ一日）ｃ０８（Ⅱ一０）２ｒ＼３丌一口＋ｓｉｎＯｃｏｓＯ。Ｕ陟／。现在有两个半径均为ｒ的圆，圆心分别为点Ｏ和０７．Ａ、Ｂ为两个圆周的交点．则圆弧ＡＤＢ和圆弧ＡＥＢ围成了一个月牙儿的图形ＡＤＢＥ．若设计一种特殊的月牙儿，使得这个月牙儿的重心刚好位于月牙儿的内圆弧ＡＥＢ的中点Ｅ的位置上，这时么Ｂ０７０―０，如图所示．请你根据上面得到的弓形板重心的结论，求０满足的方程．解答由问题可知，四边形Ａ０７８０是一个则有可得注意到Ｓ。＝ＳＥ＋Ｓ，所以Ｓ（ｚ―ｚＤ）一ＳＥ（ｘＤ－－３Ｌ＂Ｅ）．由此可得ｚ一――＇一。ＳＤｚＤ―ＳＥｚＥ将前面分析的结果代入这个式子，化简后如果月牙的重心位于月牙的内圆弧的Ｅ点，３２＝ｒ－－ｒ２ｃｏｓＯ＝ｒ（１―２ｃｏｓＯ），一ｒｚ２ｃｏｓＯ（Ｏ－－ｓｉｎＯｃｏｓＯ），ｒ－－２（０－－ｓｉｎＯｃｏｓＯ）。，，、Ｌ１）或±一１―２ｃｏｓＯ．（２）边长为ｒ的菱形．么Ｅ０７Ｂ一０，／ＤＤＢ―Ｔｆ一良月牙的图形是由ＯＯ上的弓形ＡＤＢ中挖掉０ｄ上的弓形ＡＥＢ得到的图形，弓形ＡＤＢ上的么Ａ∞＝２（ｕ－－Ｏ），么ＡｄＢ＝２０，１０９＇ｉ＝２ｒｃｏｓＯ．Ｓ△＾０，Ｂ＝ｒ２ｓｉｎｏｃｏｓ０，Ｓ廓形ＡＤ肋＝ｒ２（丁ｃ―日），Ｓ扇形肛Ｂ０，一ｒ２０．联立（１）、（２），可得生成这个月牙的扇形的开角口满足的方程是１－－ｚｃｏｓ０一等筹器Ｓ１器．７【一‘Ｌ口一ｎ仃ＣＯＳＦ，（上接第４５页）（２ｔａｎ４５。－－５）（ｚ一２）一（５ｔａｎ４５。＋２）（ｙ一１）＝Ｏ．３ｚ＋７ｙ一１３―０．问题变得非常容易，只需一步就可以得到正确答案．由例题的求解可以看出，应用本文中所给出的定理解答过已知点与已知直线平行、垂直，特别是与已知直线夹角为任意定值的直线方程，使参考文献ｌ人民教育出版杜．普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２００４第十五届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题和参考答案刊名：英文刊名：年，卷(期)：数学通报Bulletin des Sciences Mathematics) 本文链接：http://d..cn/Periodical_sxtb.aspx包含各类专业文献、外语学习资料、高等教育、文学作品欣赏、行业资料、32第十五届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题和参考答案等内容。
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