最全金融工程习题及答案69-第4页
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最全金融工程习题及答案69-4
和规模分布作任何假设，减少了参数预测的问题，也没；11.一个深度虚值期权价值很低；1.如何理解二叉树数值定价方法？；2.一个无红利股票的美式看跌期权，有效期为3个月；3.如何构造有红利情况下的二叉树图？；4.一个两个月期基于某股票指数的美式看涨期权，执；6.假设无红利股票价格运动服从对数正态分布，股票；7.假设用蒙特卡罗模拟方法为一个波动率是随机的无；9.一
和规模分布作任何假设，减少了参数预测的问题，也没有使用预期的概念。因而能够更有效的考察巨幅变动发生的情景。11. 一个深度虚值期权价值很低。波动率的降低进一步降低了它的价值。然而，这个下降程度很小，因为期权价值不可能小于零。另一方面，波动率的提高可能导致期权价值的大幅（百分比）上升。因此，这样的期权和基于波动率的期权具有一些相同的性质。
习题1. 如何理解二叉树数值定价方法？2. 一个无红利股票的美式看跌期权，有效期为3个月，目前股票价格和执行价格均为50美元，无风险利率为每年10％，波动率为每年30％，请按时间间隔为一个月来构造二叉树模型，为期权定价。并应用控制方差技术对这一估计进行修正。3. 如何构造有红利情况下的二叉树图？4. 一个两个月期基于某股票指数的美式看涨期权，执行价格为500，目前指数为495，无风险利率为年率10％，指数红利率为每年4％，波动率为每年25％。构造一个四步（每步为半个月）的二叉树图，为期权定价。 5. 如何理解蒙特卡罗模拟方法？其主要优缺点是什么？6. 假设无红利股票价格运动服从对数正态分布，股票当前价格为100美元，执行价格为105美元，波动率为20％，无风险利率为5％，一年后到期。时间步长选择为0.01，运用Excel软件计算出股票价格的一条模拟路径。7. 假设用蒙特卡罗模拟方法为一个波动率是随机的无红利欧式看涨期权定价？这时如何用控制方差法和对偶变量技术提高蒙特卡罗方法的效率？ 8. 有限差分方法的主要特点是什么？9. 一个无红利股票的美式看涨期权还有四个月到期，执行价为21美元，股票现价为20美元，无风险利率为10％，波动率为30％。运用显性有限差分法为该期权定价。股票价格区间为4美元，时间区间为1个月。 10. 有红利的情况下，如何应用有限差分法？答案：1. 二叉树图模型的基本出发点在于：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动可能遵循的路径。同时运用风险中性定价原理获得每个结点的期权价值，从而为期权定价。其中，模型中的隐含概率p是风险中性世界中的概率。当二叉树模型相继两步之间的时间长度趋于零的时候，该模型将会收敛到连续的对数正态分布模型，即布莱克－舒尔斯定价偏微分方程。 2.运用二叉树方法得到欧式看跌期权f?E为2.62美元，由布莱克－舒尔斯公式??f?f??2.47计算可得fE?2.38，因此美式看跌期权的更优估计值为fA?fAEE美元。3.（1）连续红利率的情形：e(r?q)?t?d将风险中性概率修正为p?，其他条件不变，应用倒推法为期u?d权定价。（2）已知红利率?的情形：只要调整除权日之后各结点处的证券价格为：S(1??)ujdi?j
j?0,1,??,i其他条件不变。（3）确定数额红利的情形：假设有效期内只有一次红利，除权日为?。把i?t时刻证券价格S分为两个部分：一部分是不确定的S*，而另一部分是期权有效期内所有未来红利D的现值。用通常的方法构造出S*的二叉树（其中使用的波动率??为S*的标准差），之后应用S*(i?t)?S(i?t)
当i?t??时S*(i?t)?S(i?t)?De?r(??i?t)
当i?t??时把S*的二叉树图转化为S的二叉树。4.5. 蒙特卡罗方法的实质是模拟标的资产价格的随机运动，预测期权的平均回报，并由此得到期权价格的一个概率解。蒙特卡罗模拟的主要优点包括：易于应用；适用广泛，尤其适用于复杂随机过程和复杂终值的计算，如路径依赖期权，多个标的变量的期权等。同时，在运算过程中蒙特卡罗模拟还能给出估计值的标准差。蒙特卡罗模拟的缺点主要是：只能为欧式期权定价，难以处理提前执行的情形；为了达到一定的精确度，一般需要大量的模拟运算。???2?6. 使用的公式为S?t??t??S?t?exp??r?q???t?，注意从Excel2???软件中可以得到取标准正态分布随机数的函数。7.在波动率是随机的情况下，一次模拟过程需要两组标准正态分布的随机数，一组用于模拟波动率的运动过程，一组则用于在波动率已知的条件下产生资产价格的运动过程。当使用控制方差法时，f?A表示波动率随机情况下进行模拟得到的期权价值，f?B表示波动率为常数时运用相同的随机数流获得的期权价格估计，用fB代表波动率为常数时的应用布莱克－舒尔斯公式得到的期权价值，期权的较优估计值?。 ??f?f为：fA?fBBA当使用对偶变量技术时，每个波动率和资产价格还要分别采用两组对称的随机数。用?V1?和?V2?来表示用于估计波动率时的两组随机数，?V1?中的每个数正好与?V2?中的每个数关于零对称，同样关于零对称的?S1?和?S2?则表示估计股票价格时的随机数。这样需要平行地进行六次模拟：模拟1：波动率为常数条件下用?S1?进行； 模拟2：波动率为常数条件下用?S2?进行； 模拟3：用?S1?和?V1?进行模拟； 模拟4：用?S1?和?V2?进行模拟； 模拟5：用?S2?和?V1?进行模拟； 模拟5：用?S2?和?V2?进行模拟；用fi表示第i次模拟得到的价格，则0.5?f3?f4?得到一个?S1?条件下的期权价格，0.5?f5?f6?则得到?S2?条件下的期权价格，总的期权价格估计为0.5??0.5?f3?f4??0.5?f5?f6???。如果再结合控制方差技术，则期权价格估计为0.5??0.5?f3?f4??f1?fB?0.5?f5?f6??f2?fB??。 8. 有限差分方法和树图方法是相当类似的。实际上很多人认为树图方法就是解出一个偏微分方程的一种数值方法，而有限差分方法其实是这个概念的一个扩展和一般化。这两种方法都用离散的模型模拟资产价格的连续运动，主要差异在于树图方法中包含了资产价格的扩散和波动率情形，而有限差分方法中的格点则是固定均匀的，相应地参数进行了相应的变化，以反映改变了的扩散情形。其中三叉树方法和显性有限差分法就非常类似。
9.根据题意，，，r?0.10?t?0.0833?S?4,??0.30,S?20,X?21,T?t?0.3333股票价格
到期时间（美元） 40 36 32 28 24 20 16 12 8 4 04 0.00 0.00 0.01 0.07 0.38 1.56 5.00 9.00 13.00 17.00 21.00 3 0.00 0.00 0.00 0.04 0.30 1.44 5.00 9.00 13.00 17.00 21.00 2 0.00 0.00 0.00 0.02 0.21 1.31 5.00 9.00 13.00 17.00 21.00 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.11 1.17 5.00 9.00 13.00 17.00 21.00 0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 5.00 9.00 13.00 17.00 21.0010. 类似于有红利的二叉树模型。将股票价格减去未来股利的现值得到S*，为其建立格点，注意应使用S*的波动率。九．习题1. 奇异期权的主要类型有哪些？2. 分别为弱式路径依赖期权、强式路径依赖期权、多维期权、高阶期权举出数例。3. 分析障碍期权的性质。4. 为以下障碍期权写出对应的偏微分定价方程和相应的边界条件：期权分别有上部障碍Su和下部障碍Sd，如果资产价格在到期前触及任何一个障碍，期权敲出，并获得一个即时回报??T?t?，否则到期时期权回报为max?S?X,0?。5. 基于某个资产价格的欧式向下敲出期权的价值与基于该资产期货价格的欧式向下敲出期权价值相等吗（该期货合约到期日与期权到期日相同）？ 6. 解释为什么几何平均有一个精确公式而算术平均无法得到精确定价。7. 某个基于不付红利股票的欧式几何平均资产价的刚推出的看涨期权（连续观测），有效期限为6个月，初始股票价格为30美元，执行价格为30美元，无风险利率为每年5％，波动率为年30％，求该期权的价值。8. 某个基于不付红利股票的欧式算术平均资产价的刚推出的看涨期权（离散观测），有效期限为6个月，初始股票价格为30美元，执行价格为30美元，无风险利率为每年5％，波动率为年30％，求该期权的价值。 9. 为什么亚式期权比障碍期权更易保值？10. 利用如图9.3中的三个时间步长的树图估计某货币美式浮动执行价回溯看涨期权的价值，其中初始汇率为1.6，国内无风险利率为年5％，国外无风险利率为年8％，汇率波动率为15％，有效期18个月。11. 某个衍生证券，如果六个月内某股票价格大于60，则支付100美元，否则为零。假设目前价格为45，无风险利率为年8％，红利率3％，波动率20％，求期权价值。12. 考虑一个欧式折扣看跌期权（European Rebate Put），其特征如下：如果股票价格在期权到期前下跌超过10％，期权到期时支付max?X?S,0?，否则到期时支付期权最初成本的20％。这个期权合约可以如何进行分解？ 答案：1. （1）分拆与组合： 最基本的奇异期权是对常规期权和其他一些金融资产的分拆和组合，从而得到我们所需要的回报。（2）路径依赖：期权的价值会受到标的变量所遵循路径的影响，它又可以分为弱式路径依赖和强式路径依赖两种。强式路径依赖期权模型中必须增加考虑路径变量而弱式路径依赖则无需增加这样的变量。（3）时间依赖：期权模型中的一些变量会随时间而变化。（4）多维期权：存在多个独立变量的期权。（5）高阶期权：即标的资产本身包括期权。 2.（1）弱式路径依赖：美式期权、障碍期权； （2）强式路径依赖：亚式期权、回溯期权； （3）多维期权：彩虹期权、资产交换期权； （4）高阶期权：复合期权、选择者期权。3. 障碍期权是路径依赖期权，它们的回报以及它们的价值要受到资产到期前遵循的路径的影响。但是障碍期权的路径依赖的性质是较弱的，因为我们只需要知道这个障碍是否被触发，而并不需要关于路径的其他任何信息，关于路径的信息不会成为我们定价模型中的一个新增独立变量，如果障碍水平没有被触发，障碍期权到期时的损益情况仍然和常规期权是相同的。因此障碍期权是属于弱式路径依赖。障碍期权通常比常规期权便宜，购买者可以使用它们来为某些非常特定的具有类似性质的现金流保值。 4. 偏微分方程为：?f?f122?2f?rS??S?rf 2?t?S2?S边界条件为：f?S,T??max?ST?X,0? 和f?Sd,t??f?Su,t????T?t?5. 不相等，如果在期权有效期内，期货价格高于现货价格，可能现货价格会触及障碍水平而被敲出，但期货价格则可能不会触及障碍水平。6. 这是因为一系列对数正态分布变量的几何平均值仍为对数正态分布。但是它们的算术平均值则不然。这样，对几何平均期权，可以通过转换波动率和红利率，仍然利用布莱克－舒尔斯公式得到解析解，而算术平均则只能使用近似方法或是数值方法求解。7. ?*?0.17，q?0.0325，c?1.54 8. 运用二阶矩近似法计算，M1?e?0.05?0.5?1??300.05?0.5?30.378，M2?936.9，则包含各类专业文献、文学作品欣赏、幼儿教育、小学教育、外语学习资料、应用写作文书、行业资料、生活休闲娱乐、最全金融工程习题及答案69等内容。　
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某不分红的欧式期权执行价格40美元，股价45美元，无风险利率4%，股票波动率30%，到期日为三个月，
如果是看涨期权，则C？如果是看跌期权，则P？
我有更好的答案
我觉得。。乃也是08安农财管强大的小抄后备军之一。。。
用BS模型计算，c=6.0908;p=0.6928
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金融工程模拟试卷1（含答案及评分标准）；不定项选择（各3分，共30分）；1、下列关于远期价格和期货价格关系的说法中，不正；A．当无风险利率恒定，且对所有到期日都不变时，交；B．当利率变化无法预测时，如果标的资产价格与利率；C．当利率变化无法预测时，如果标的资产价格与利率；D．远期价格和期货价格的差异幅度取决于合约有效期；2、期货合约的空头有权选择具体的交割品
金融工程模拟试卷1（含答案及评分标准） 不定项选择（各3分，共30分）1、下列关于远期价格和期货价格关系的说法中，不正确的有：（BC ）A．当无风险利率恒定，且对所有到期日都不变时，交割日相同的远期价格和期货价格应相等。B．当利率变化无法预测时，如果标的资产价格与利率呈正相关，那么远期价格高于期货价格。C．当利率变化无法预测时，如果标的资产价格与利率呈负相关，那么期货价格高于远期价格。D．远期价格和期货价格的差异幅度取决于合约有效期的长短、税收、交易费用、违约风险等因素的影响。 2、期货合约的空头有权选择具体的交割品种、交割地点、交割时间等，这些权利将对期货价格产生怎样的影响？（B
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）A．维持保证金是当期货交易者买卖一份期货合约时存入经纪人帐户的一定数量的资金 B．维持保证金是最低保证金，低于这一水平期货合约的持有者将收到要求追加保证金的通知C．期货交易中的保证金只能用现金支付 D．所有的期货合约都要求同样多的保证金 4、假设当前市场上长期国债期货的报价为93-08，下列债券中交割最便宜的债券为：（D
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B ） A．115元 B．105元 C．109.52元D．以上答案都不正确 6、下列因素中，与股票欧式期权价格呈负相关的是：（
BD ） A．标的股票市场价格 B．期权执行价格C．标的股票价格波动率D．期权有效期内标的股票发放的红利 7、已知某种标的资产为股票的欧式看跌期权的执行价格为50美元，期权到期日为3个月，股票目前的市场价格为49美元，预计股票会在1个月后派发0.5美元的红利，连续复利的无风险年利率为10%，那么该看跌期权的内在价值为：（ C
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AC ） A．该看涨期权的价值为0.31元 B．该看涨期权的价值为0.32元C．该股票在风险中性世界中上涨的概率为62.66% D．该股票在风险中性世界中上涨的概率为61.46% 10、下列期权的组合中，可以构成牛市差价组合的是：（ AB
） A．一份看涨期权多头与一份同一期限较高协议价格的看涨期权空头 B．一份看跌期权多头与一份同一期限较高协议价格的看跌期权空头 C．一份看涨期权多头与一份同一期限较低协议价格的看涨期权空头 D．一份看跌期权多头与一份同一期限较低协议价格的看跌期权空头一、 计算分析题（共50分）1、某无红利支付股票的欧式期权执行价格为29美元，股票现价为30美元，无风险年利率为5%，股票年波动率为25%，期权到期日为4个月。（1）如果该期权为欧式看涨期权，计算其价格；（2）如果该期权为欧式看跌期权，计算其价格；（3）验证看涨看跌期权平价关系是否成立。(20分) 1、解答：在本题中，S0?30,K?29,r?0.05,??0.25,T?0.3333 所以： d1?d2?ln(30/29)?(0.05?0.25/2)0.333322?0.4225 ?0.2782N(0.7,N(0.6N(?0.3,N(?0.4 因此：（1）欧式看涨期权的价格为：30?0..05?0.6?2.52 （2）欧式看跌期权的价格为：29e?0.05?0.4?30?0. （3）欧式看涨看跌期权平价关系为：p?S0?c?Ke?r(T?t)将c?2.52,S0?30,K?29,p?1.05,e?r(T?t)?0.9835带入上式，可以发现计算出的欧式看涨看跌期权的价格满足欧式看涨看跌期权平价关系。 2、一家金融机构与A公司签订了一份5年期的利率互换协议，收取10%的固定年利率，支付6个月期的LIBOR，本金为$10,000,000，每6个月支付一次。假设A公司未能进行第六次支付（即在第3年末违约），当时的利率期限结构是平坦的，都为8%（按半年计一次复利计），而第3年年中的6个月期的LIBOR为年利率9%。请问，该金融机构的损失是多少？（15分） 2、解答：解法一：V?Bfix?Bfl?0.5?0.51?4%?0.52?1?4%??0.5?1?4%?3?10.5?1?4%?4?10.45?0.413百万美元解法二：V?S3?S3.5?S4?S4.5?S5?0.05?0.1?1?4%??1?4%??0.12?0.1?1?4%?3?0.1?1?4%?4?0.413百万美元 3、假设无风险利率是常数r，股票价格满足dS?uSdt??Sdz，以该股票为标的的期货的理论价格为F，假设股票不支付红利，试证明：dF??u?r?Fdt??Fdz。（15分） 3、解答：?Fr?T?t?证明：因为F?Se，?S?er?T?t?,?F?S22?0,?F?t??rSer?T?t?，根据Ito引理，有r?T?t?r?T?t??dt?er?T?t??SdzdF??euS?rSe??，所以dF??u?r?Fdt??Fdz。包含各类专业文献、高等教育、幼儿教育、小学教育、中学教育、生活休闲娱乐、金融工程模拟试卷1(含答案及评分标准)19等内容。
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&>&&>&香港股票期权等衍生品的定价模型、
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报告时间：日
金融工程：期权研究
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敏杰在北京出席证监会新闻发布会时表示，上交所今年将推出个股期权。本文以香港汇丰控股为标的现货探讨个股期权、衍生权证、牛熊证的定价模型、风险管理、套利策略。 ? 美式期权定价模型研究。港交所的个股期权是美式期权。文中使用二叉树模型、三叉树模型、差分法、二次逼近法、蒙特卡洛模拟对汇丰控股4月期和6月期期权定价。定价结果相对最好的是Crank-Nicholson差分，这些模型对深度实值期权的定价结果较好，而执行价在现价附近的期权定价结果均偏小，原因可能是股票的历史波动率较小。
? 衍生权证和牛熊证交易活跃。牛熊证的定价方式是追踪现货价格而较少考虑其它因素，对投资者来讲，这种简单的设计使得牛熊证比期权更容易明白。若投资者预计股票价格上涨，就买入牛证；反之就买入熊证。他们像买卖股票一样买卖牛熊证，在付出很小成本的情况下使用杠杆撬动暴富的可能性。 ? 期权的希腊字母衡量投资组合对股票价格、波动率等的风险敞口。5个参数中，对期权影响最大的参数是股票价格和波动率，其次是时间和无风险利率。与股票价格相关的字母是Delta和Gamma，与波动率相关的是vega
。Delta中性是常用的风险管理工具。
? 期权套利的三类方法：欧式期权平价理论套利、期权组合套利、跨商品套利。期货的收益和风险是线性的，而期权是非线性的，因此投资者可以根据自己的风险偏好设计各种各样的期权组合套利策略。通常的期权组合套利策略分为三类：垂直套利、水平套利、对角套利。另外，还有跨式套利和比率套利。·
股票期权、衍生权证、牛熊证 .................................................................................................... 3 定价研究 .......................................................................................................................................... 4 2.1 个股期权定价 ..................................................................................................................... 4
2.1.1 美式期权的提前执行条件 ................................................................................... 4 2.1.2 汇丰控股股票期权定价 ....................................................................................... 6 2.1.3 定价模型简述........................................................................................................ 9 2.2 衍生权证定价 ................................................................................................................... 12 2.3
牛熊证定价 ....................................................................................................................... 13
2.3.1 牛熊证的内在价值和财务费用 ........................................................................13 2.3.2 与现货资产的关系 .............................................................................................14
希腊字母 ........................................................................................................................................ 15 3.1 Delta ................................................................................................................................... 16 3.2 Gamma ............................................................................................................................... 18 3.3 3.4 3.5
Theta .................................................................................................................................. 19 Vega .................................................................................................................................... 20 Rho ..................................................................................................................................... 20
套利策略 ........................................................................................................................................ 21 4.1 买权和卖权的平价公式套利 .......................................................................................... 21 4.2 期权组合套利 ................................................................................................................... 22
4.2.2 4.2.3
垂直套利 ..............................................................................................................23 水平套利 ..............................................................................................................24 对角套利 ..............................................................................................................24
4.2.4 跨式套利 ..............................................................................................................25 4.2.5 比率套利 ..............................................................................................................26 4.3 跨品种套利 ....................................................................................................................... 27
图1：港交所个股期权、权证、牛熊证的历史成交额 ............................... 5 图2：港交所个股期权的历史成交量和未平仓合约 ................................. 5 图3：汇丰控股股票价格和牛证价格的走势 ...................................... 15 图3：执行价=82.5的欧式看涨、看跌期权的Delta ............................... 18 图4：执行价=82.5的欧式看涨、看跌期权的Gamma ............................... 19 图5：执行价=82.5的欧式看涨、看跌期权的Theta ............................... 19 图6：执行价=82.5的欧式看涨、看跌期权的Vega ................................ 21
表 1：4月29日到期的汇丰控股看涨期权定价结果 ................................ 7 表 2：4月29日到期的汇丰控股看跌期权定价结果 ................................ 7 表 3：6月27日到期的汇丰控股看涨期权定价结果 ................................ 8 表 4：6月27日到期的汇丰控股看跌期权定价结果 ................................ 8 表 5：模拟T=31/365和T=1/365看涨期权、看跌期权的Delta ..................... 17 表 6：不同执行价的汇丰控股组合A和组合B的价值 .............................. 22
日，上海证券交易所正式启动个股期权模拟交易，标的资产是工商银行和上证50ETF。日上交所理事长桂敏杰在北京出席证监会新闻发布会时表示，上交所今年将推出个股期权。个股期权的推出有利于完善A股市场的交易机制，使投资者能够针对某一只股票运用杠杆做多或做空。之前，A股市场也交易过衍生权证，受到投资者爆炒，交易量巨大。
本文以香港汇丰控股为标的股票解析个股期权、衍生权证、牛熊证的交易情况、定价、风险管理、套利策略。汇丰控股是港交所第一支个股期权之标的，总市值约1.2万亿人民币，2012年全年日收盘价对数收益率的标准差为1.24%；上交所期权模拟交易的标的工商银行总市值约1.4万亿人民币，2012年全年价格对数收益率的标准差为0.91%。两支股票的波动率都较稳定，研究工商银行期权可以汇丰控股衍生品为借鉴。
1. 股票期权、衍生权证、牛熊证
股票期权是在交易所买卖及由结算所结算的一种以个别股票为标的股票（正股）的金融合约，该合约赋予买方（期权持有人）在到期日（对应欧式期权）或到期日之前（对应美式期权）向卖方（期权的立权者）买进（对应看涨期权）或者卖出（对应看跌期权）标的股票（正股）的权利。香港交易所挂牌的股票期权均为美式期权，持有人在到期日之前均可要求立权人履约。
衍生权证又称为备兑权证，即发行人需将标的证券或资产作抵押来换取发行资格。衍生权证与期权的定义类似，港交所挂牌的二者在如下一些细节上不同。1.股票期权由交易所推出并由结算所担保，在香港交易所衍生产品市场的电子交易系统（HKATS）进行配对后传至期权结算所的结算系统（DCASS）成交；衍生权证由合格发行商发行，作为现货市场的结构化产品在现货交易时段内，透过第三代自动对盘及成交系统（AMS/3）买卖。2.股票期权投资者可以买入期权，也可以卖出期权；衍生权证的投资者只可以做买方买入认购权证或者认沽权证。3.股票期权通常设有多个执行价格，在平价期权上下至少有两个价格供选择；每一个衍生权证由发行商决定一个执行价格。4.股票期权共有6个到期月份，包括：即月、随后两个历月、随后三
个季月；衍生权证由发行商决定一个到期期限，存续期从六个月到两年不等。5. 个股期权是实物交收；衍生权证通常是现金交收。
除衍生权证外，港交所还有股本权证。二者的主要区别是发行目的不同。股本权证通常是上市公司集资或股权激励之用，发行主体是上市公司，行权时，发行主体通过发行新股来履约，自然会摊薄上市公司的每股收益，衍生权证通常由合格发行商发行，其目的不是为了筹资，而是收取费用或者对冲组合风险。2012年股本权证成交金额不到8000万港元，而衍生权证成交金额超过16464万亿港元，可见股本权证交易清淡。
牛熊证的运作方式与衍生权证很相似，是一种带有强制收回机制的更灵活的现货结构性产品，本质上是敲出障碍期权。强制收回机制是指：在牛熊证有效期内，如果标的资产触及之前确定的价格（收回价），发行商会即时收回有关牛熊证，并提早终止牛熊证买卖，上市文件原定的到期日不再生效。牛熊证发行的有效期由3个月到5年不等，并只会以现金结算。对投资者来说，买入牛证则看多，买入熊证则看空。港交所牛熊证标的资产包括：在交易所上市的高流通量股票、两只港股指数（恒生指数及恒生中国企业指数）、海外股份及海外股份指数、货币、商品。
港交所1995年9月推出个股期权，2006年推出牛熊证。图1是个股期权、权证、牛熊证的历史成交额。权证和牛熊证的成交额巨大，共占主板市场的24%。牛熊证推出后分流了权证一部分投资者，因为牛熊证定价简单，更像使用杠杆直接投资现货。另外，个股期权作为牛熊证的良好对冲工具，在牛熊证推出以后的成交额也有所增加，图2显示从年股票期权的成交量呈爆发式增长。
2. 定价研究
2.1 个股期权定价
2.1.1 美式期权的提前执行条件
港交所的个股期权是美式期权。不分红的美式看涨期权在到期
日之前不会提前执行。可以通过如下的例子说明之。
假设投资者持有的美式看涨期权的股票现价120元，执行价100
图1：港交所个股期权、权证、牛熊证的历史成交额
数据来源：山西证券研究所，香港交易所
注：权证和牛熊证的成交额包括以指数为标的现货
图2：港交所个股期权的历史成交量和未平仓合约
80 70 60 50 40 30
年年年年年年年年2012年0
数据来源：山西证券研究所，香港交易所
元，离最后到期日还有1个月。投资者银行账户存有100元准备随时执行该期权。首先，如果该投资者打算在到期日之后持有该股票，若现在执行该期权，则不能获得银行付给的利息，另外，如果1个月后，价格跌到100元以下，投资者会损失执行价与到期日市场价之差。其次，如果该投资者不打算在1个月后持有股票，而是认为
当前股票价格被高估了，这个时候，投资者直接转手期权收益会更大一点，因为在期权交易市场上总会有人愿意以略高的价格买入。理由如下：如果股票市场上没有哪个参与者认为该股票的价格应该高于120元，即所有人都认为120元的价格对这只股票来说被高估了，那么必将有许多人在股票价格还没有达到120元时卖出，因而股价不可能到120元，反之，既然股票现价已经是120元，则市场中必定有人认为120元不是最高价，自然地，这样的人愿意以略高于20元的价格买进看涨期权。
当然，以上分析建立在不分红的前提之下，如果期间分红足够大，投资者在除息日之前执行期权收益会更高。假设在t时刻支付股息D，到期日T，执行价K，无风险利率r。看涨期权的买方若行权，获得收益S(t)?K；若不行权，股票价格下跌到S(t)?D，期权的价值也下跌到
S(t)?D?Ke?r(T?t)，如果
S(t)?D?Ke?r(T?t)?S(t)?K，即：D?K[1?e?r(T?t)]成立，立
即执行期权收益更大。
对于美式看跌期权，即使不分红，只要期权足够实值，就会提前执行。假设美式看跌期权的价格P(t)?K?S(t)，持有人执行期权立即获益K?S(t)。分析行权以后的情况：若股票价格回升，意味着原期权的价值减少，提前行权显然是有利的；若股票价格继续下跌，那么原期权价值增加，但是由于期权已经处于深度实值状态， 进一步下跌空间十分有限，因此原期权价值增加缓慢，而持有人行权所得可以获得无风险收益，这个无风险收益通常大于原期权价值增加部分。
如果股票在期权存续期支付股息，对看跌期权持有人是有利的，若满足提前执行的条件，持有人自然也会提前执行。
2.1.2 汇丰控股股票期权定价
取无风险利率r为12个月的香港银行同业拆息0.86%。汇丰控股公司从2004年开始保持着每年支付4次股息，支付时间一般在3月、5月、8月、11月中下旬。最近两年的前三次股息为每股0.09美元，第四次通常比前三次高，2012年第四次支付股息0.18美元，因此2012年汇丰控股公司总计支付股息0.45美元，即3.49港币，
2012年该公司股价的平均值是69.77港币，因此年股息收益率为5%，远高于无风险收益率0.86%。表1—表4列出对4月到期和6月到期期权进行的定价结果，该公司在四月没有分红，而在5月预计每股股息0.09美元，股票价格取3月份的平均股价84.08港元，因此股息率为0.83%。
还有一个重要的输入参数“股票价格的波动率”需要计算。通常选取股票价格的对数收益率之标准差作为历史波动率的度量。取最近一个月的价格数据来计算之，通过换算后得到年标准差为0.0337。
选定的日期是日（3月的最后一个交易日），这一天股票收盘价为82，这一天挂牌的汇丰控股个股期权到期日有2013年4月、5月、6月、9月、12月、2014年3月。
从表1—表4的定价结果中可知：定价结果相对最好的是Crank-Nicholson差分，这些模型对深度实值期权的定价结果较好，而执行价在现价附近的期权定价结果均偏小，原因可能是股票的历史波动率较小。隐式有限差分法的定价结果即使是在深度实值状态仍然偏小，因此在对6月份的期权定价中，剔除了该方法。 表 1：4月29日到期的汇丰控股看涨期权定价结果
执行价 二叉树模型 三叉树
70 12.05 12.05 72.5 9.55 9.55 75 7.05 7.05 77.5 4.56 4.56 80 2.06 2.06 82.5 0.15 0.15 85 0.00 0.00 87.5 0.00 0.00 90 0.00 0.00 92.5 0.00 0.00 95 0.00 0.00 97.5 0.00 0.00 100 0.00 0.00 数据来源：山西证券研究所，Bloomberg
FD 8.89 6.39 3.89 1.43 0.11 0.04 0.17 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 C-N 12.05 9.55 7.06 4.57 2.49 0.85 0.05 0.02 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 BAW 12.05 9.55 7.05 4.56 2.06 0.15 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 蒙特卡洛 实际值 12.06 12.03 9.55 9.54 7.04 7.09 4.56 4.84 2.06 2.71 0.15 1.31 0.00 0.53 0.00 0.19 0.00 0.07 0.00 0.03 0.00 0.01 0.00 0.01 0.00 0.01
表 2：4月29日到期的汇丰控股看跌期权定价结果
执行价 二叉树模型 三叉树
70 0.00 0.00 72.5 0.00 0.00 FD
0.00 0.00 C-N 0.00 0.00 BAW 0.00 0.00 蒙特卡洛 实际值 0.00 0.01 0.00 0.02
75 77.5 80 82.5 85 87.5 90 92.5 95 97.5 100
0.00 0.00 0.00 0.60 3.00 5.50 8.00 10.50 13.00 15.50 18.00
0.00 0.00 0.00 0.60 3.00 5.50 8.00 10.50 13.00 15.50 18.00
0.00 0.04 1.22 2.70 0.40 4.88 9.88 7.88 13.48 11.68 17.88
0.00 0.01 0.43 1.29 3.00 5.50 8.00 10.50 13.00 15.50 18.00
0.00 0.00 0.00 0.60 2.94 5.44 7.93 10.43 12.93 15.43 17.93
0.00 0.00 0.00 0.68 3.12 5.63 8.12 10.62 13.12 15.62 18.12
0.08 0.26 0.75 1.79 3.45 5.66 8.05 10.51 13 15.5 18
数据来源：山西证券研究所，Bloomberg
表 3：6月27日到期的汇丰控股看涨期权定价结果
执行价 二叉树模型 三叉树 60 22.00 22.00 62.5 19.50 19.50 65 17.00 17.00 67.5 14.50 14.50 70 12.00 12.00 72.5 9.50 9.50 75 7.00 7.00 77.5 4.50 4.50 80 2.04 2.04 82.5 0.34 0.34 85 0.01 0.01 87.5 0.00 0.00 90 0.00 0.00 92.5 0.00 0.00 95 0.00 0.00 97.5 0.00 0.00 100 0.00 0.00 102.5 0.00 0.00 105 0.00 0.00 数据来源：山西证券研究所，Bloomberg
C-N 22.00 19.50 17.00 14.50 12.00 9.50 7.01 4.54 2.50 0.90 0.09 0.04 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 BAW 21.96 19.47 16.97 14.48 11.98 9.49 6.99 4.50 2.04 0.34 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 蒙特卡洛 22.03 19.53 17.02 14.53 12.00 9.52 7.02 4.50 2.05 0.33 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 RGW 22.07 19.57 17.08 14.58 12.08 9.59 7.09 4.59 2.10 0.26 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 实际值 22.03 19.53 17.04 14.56 12.11 9.73 7.49 5.52 3.68 2.39 1.45 0.83 0.47 0.24 0.12 0.06 0.02 0.01 0.01
表 4：6月27日到期的汇丰控股看跌期权定价结果
执行价 60 62.5 65 67.5 70 72.5 75 二叉树模型 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 三叉树 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 C-N 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 BAW 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 蒙特卡洛 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 实际值 0.01 0.02 0.05 0.1 0.22 0.44 0.83
0.00 0.04 0.83 3.00 5.50 8.00 10.50 13.00 15.50 18.00 20.50 23.00
数据来源：山西证券研究所，Bloomberg 77.5 80 82.5 85 87.5 90 92.5 95 97.5 100 102.5 105
0.00 0.04 0.83 3.00 5.50 8.00 10.50 13.00 15.50 18.00 20.50 23.00
0.05 0.50 1.39 3.09 5.54 8.00 10.50 13.00 15.50 18.00 20.50 23.00
0.00 0.04 0.83 3.00 5.48 7.98 10.47 12.97 15.46 17.96 20.45 22.95
0.00 0.00 0.83 3.01 5.52 8.00 10.51 13.00 15.52 18.00 20.51 23.01
1.4 2.27 3.5 5.05 7.07 9.15 11.44 13.82 16.26 18.73 21.22 23.72
2.1.3 定价模型简述
期权定价理论的发展基石是风险中性的无套利原理，在这块基石之上屹立着一块里程碑：BS模型。BS模型和世界上第一家场内期权交易所CBOE同年诞生，两者相互促进，使得期权定价不仅从理论上受到关注，还在实践中得到应用。在BS模型之上，许多学者通过放松BS模型的假定而衍生出各种各样复杂的期权定价模型。美式期权的定价问题是一个重要研究方向，它很少有解析解。常用的美式期权定价方法有CRR二叉树法、三叉树法，这一类方法放松了BS模型中对标的资产服从对数正态分布的假定，该方法简单明了且实用，是用得最多的美式期权定价方法；数值差分方法，该类方法主要分隐式差分和显示差分，以及介于之间的C—N差分，这些方法都是近似求解BS偏微分方程；二次逼近法，这类方法认为美式期权等于欧式期权价格加提前执行的溢价，BS方程是所有衍生品满足的微分方程，因此溢价也满足BS方程，对溢价使用二次逼近法求得其通解；蒙特卡洛模拟方法，通过模拟资产价格的所有可能路径求得期权价格的平均值，最常使用的是Longstaff和Schwartz提出的最小二乘蒙特卡洛模拟方法。
1973年，布莱克和斯科尔斯利用风险中性定价原理和伊藤引理推导出布莱克斯科尔斯微分方程：
?f?f122?2f?rS??S?rf?0
该方程适用于其价格取决于标的证券价格的所有衍生品的定价，通过求解该方程，布莱克和斯科尔斯得到著名的BS公式：
C(t,T,S0,?)?S0N(d1)?Ke?rTN(d2)
d2?d1?B-S模型对期权定价有7个假设条件：1.标的资产价格的对数收益率服从均值?，标准差?正态分布，?、?为常数；2.允许卖空；3.无交易成本；4.在期权的有效期内无分红；5.没有无风险套利机会；6.证券交易是连续的；7.对所有到期日的期权，无风险利率r为一相同的常数。
CRR二叉树：
BS模型只适用欧式期权，对于更加复杂的美式期权，往往很难得到像BS公式那样的解析解。1979年，Cox、Ross、Rubinstein提出二项式期权定价模型，相比于BS模型假定价格服从对数正态分布，该模型对价格变动的假设很简单，因此更易用来对美式期权等复杂期权定价。它假设每一时间间隔，1元股价要么上升至u?e要么下降至d?e
e(r?D)(T?t)?d
下降概率是1?p。如果将时间间隔取得很小，二项式模型的股票价格对数收益率趋进正态分布，与BS模型的假设一致。
CRR定价公式如下：
Ci,j?max{S0ujdi?j?X,e?r(T?t)[pCi?1,j?1?(1?p)Ci?1,j]}
P,e?r(T?t)[pPi?1,j?1?(1?p)Pi?1,j]} i,j?max{X?S0ud
三叉树的定价原理和二叉树基本相同，所不同的是，三叉树模型假定价格向上、向下、保持不变。
有限差分：
有限差分是求解偏微分方程的一种数值解法，即是通过差分的方式来求解BS方程。通常有显式、隐式、Crank-Nicholson三类差分
格式。隐式差分是收敛的，稳健性好，但耗时较长，显式差分快速但稳定性不好，误差大，C-N差分则是综合了二者的优点，通常效果较好。下面重点介绍前文使用到的隐式差分。
以时间为横轴、股票价格为纵轴，得到离散化点阵(i,j)表示横轴为i?t，纵轴为j?S，使用fi,j表示期权在(i,j)的值。
f?f?f?i,j?1i,j?1， ?S2?S
f?f?f?i?1,ji,j， ?t?t
fi,j?1?fi,j?1?2fi,j?2f?。 22?S?S
带入BS方程可以得到差分方程：
ajfi,j?1?bjfi,j?cjfi,j?1?fi?1,j
其中： 11aj?(r?q)j?t??2j2?t 22
bj?1??2j2?t?r?t
?(r?q)j?t??2j2?t 22
1987年，Barone-Adesi和Whaley给出了定价美式期权期权的二次逼近公式，它是欧式期权加上提前执行的升水。美式看涨期权的定价公式如下： 若St?S*，则：Ct?ct?A(Stm)； S*
若St?S*，则：Ct?St?X
S*[1?eq(T?t)N(d1)]A? m? 2(r?q)2rn?,k? ?2?2(1?e?r(T?t))
临界值S满足如下等式： *
S*?X?ct(S*,X,T?t)?[1?e?q(T?t)N(d1)](S*/m)
蒙特卡洛模拟：
蒙特卡洛模拟适用于难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用时的情况。由于分红的美式期权有提前执行的可能，因此定价模型复杂，可使用蒙特卡洛方法模拟标的资产的若干样本路径，并利用Longstaff和Schwartz提出的线性最小二乘回归计算继续持有期权的期望收益，并和立即执行期权的收益比较来判断是否提前执行。
2.2 衍生权证定价
衍生权证投资者有权在指定期间以预定价格买入或卖出标的资产，可于到期前在香港交易所现货市场交易。通常分作认购权证（看涨期权）和认沽权证（看跌期权），衍生权证价格影响因素和期权的影响因素相同，其定价方法也相同。我们通过“汇丰摩通三六购B”说明之。
汇丰控股认购欧式期权现金结算发行序号到期年月
该认购权证是摩根大通于日发行，到期日日，最后交易日是日，执行价88.88港元，日的前一个交易日汇丰控股的收盘价是80.75港元。发行份额2亿份，行权比率是10:1，每一手4000份，即是可以兑换400股，相当于1手股票。日的收盘价是0.073，考虑分红的二叉树模型推得的隐含波动率是0.109，而我们之前采用的历史波动率是0.034。隐含波动率明显大于历史波动率表明权证投资者并不认同历史波动率，认为汇丰控股在接下来两个月有一波强劲上涨。由于当前价小于执行价，因此该权证没有内涵价值，只有时间价值，时间价值会随到期日临近趋于零。
值得注意的是，6月到期期权执行价=87.5的期权价格是0.83，隐含波动率是0.164；执行价=90的期权价格是0.47，隐含波动率是0.168，而“汇丰摩通三六购B”权证的价格0.073（转股比例是10），
等价于换一股股票的权证价格是0.73，隐含波动率是0.109。对比二者的隐含波动率可以发现衍生权证的价格相对股票期权价格来讲更小。
2.3 牛熊证定价
根据执行价与收回价是否相等，牛熊证分为N类和R类，N类牛熊证的执行价等于收回价；R类牛证的收回价大于执行价，熊证的收回价小于执行价（确保牛熊证在价内时收回，否则收回意义不大）。港交所发行的牛熊证是R类的，我们通过“汇丰瑞银三六牛B”牛证说明之。
汇丰控股R类牛证到期年月
该牛证是瑞银集团于日发行，到期日是日，最后交易日是5月31日，执行价77，收回价80，日汇丰控股股票的收盘价是82.75。发行份额1亿份，行权比率100比1（即是100份牛证兑换1股股票），每一手是4000份，即1手牛证换40股股票。
2.3.1 牛熊证的内在价值和财务费用
牛熊证的价值由内在价值和财务费用两部份组成，内在价值是股票价格与执行价格差的绝对值除以兑换比率。财务费用的计算复杂，没有统一公式。财务费用包括发行商的借贷成本、预期正股普通股息的调整及发行商的收益等。在牛熊证的发行价中可以估算出财务费用。例如，上述牛证的发行价是0.25港元/份，发行价=（现货价-执行价+财务费用）/行权比率。计算可得该牛证发行的财务费用是19.25港元，这个19.25港元就包括发行商的借贷成本和发行商的收益等。同时，财务费用实际上包含在投资者持有的牛熊证的价格中，因此投资者其实是财务费用的负担方，只是通常来讲，财务费用相较于内在价值要小很多，而没有被重视。
以UB#HSBC RC 1306B牛证来说明之。
日，汇丰控股股票是82港元，该牛熊证的价格是0.051港元/份，100份（转换成1股股票）价值5.1港元，内在价值是5港元，因此财务费用是0.1元，占牛证价格的1.96%。同时，采用二项式模型定价执行价77，离到期日60天的美式期权，不考虑分红时的定价结果是5.11港元，考虑分红时定价结果是5港元。
牛熊证的内在价值定义和期权内涵价值基本相同，然而：由于牛熊证有“突然死亡”（强制收回）的可能性，对投资者不利，因此本文认为牛熊证的内在价值应该在期权内涵价值的基础上打个折扣，也即是说牛熊证的内在价值应该低于现行的计算方式，从而财务费用的占比应该提高。理由如下简述：
若UB#HSBC RC 1306B牛证的价格低于80港元，牛证立即被收回，投资者获得剩余价值3港元左右，从牛证价格和期权价格来看，投资者没有对强制收回要求溢价。强制收回规则未必对投资者和发行商都一样公平，有人认为强制收回规则相当于给投资者设立了止损线，但是强制收回之后的结算价显然对投资者不利，对发行商有利；令一方面很显然的是，相比于期权投资者，牛熊证的投资者在股票价格触及收回价之后，没有自主选择行权与否的权利；还有，财务费用通常来讲在牛熊证存续期内变化不大，而投资者在交易牛证时就支付了整期的财务费用，若牛证被提前强制收回，发行商是不会退回余下的财务费用的。因此，投资者对于发行商来讲是弱势的。所以，牛熊证的内在价值应该低于条件相同的期权的内涵价值。
2.3.2 与现货资产的关系
香港联合交易所交易的牛熊证是作为现货的结构化产品出现的，具有确定的流通数量，如牛证UB#HSBC RC 1306B的最新份额是1亿份；同时，它也具有衍生品的杠杆效应，日，杠杆比率是16.08倍（现货价格82港元，等比例换股的牛证价格5.1港元），具有高风险高收益特征。
牛熊证与期权、衍生权证的另一显著不同是牛熊证的价格一般不受引申波幅影响，其价格与现货股票价格变动比例为1:1，即是现货股票本身的波动影响牛熊证的价格，而不是引申波幅。从图3可
以看出，牛证UB#HSBC RC 1306B的走势趋向于贴近股票价格的走势，两者的相关系数在0.95以上。另外，牛熊证基本不受时间耗损的影响，其价值主要体现的是内在价值和财务费用，这一点和期权、衍生权证不同。
牛熊证在香港交易所十分活跃，2012年新上市的牛熊证数目为6056支，总成交金额为15332亿港元，占主板所有上市证券全年总成交金额的12%。成交火爆的原因可能在于：牛熊证的定价方式是追踪现货价格而较少考虑其它因素，对投资者来讲，这种简单的设计使得牛熊证比期权更容易明白。若投资者预计股票价格上涨，就买入牛证；反之就买入熊证。他们像买卖股票一样买卖牛熊证，在付出很小成本的情况下使用杠杆撬动暴富的可能性。
图3：汇丰控股股票价格和牛证价格的走势
数据来源：山西证券研究所，Wind
3. 希腊字母
追求稳健的投资者交易期权是因为期权有保险功能，能够有效地规避风险敞口。希腊字母是衡量组合保险风险的常用指标，用于期权头寸的风险管理。我们知道，在BS模型中有五个输入参数：股票价格、执行价格、无风险利率、到期日、波动率。执行价格是立权之前就确定的，希腊字母与其余四个参数有关。其中Delta表示期权价格对股票价格的偏导数，Gamma表示Delta对股票价格的偏导
数，Theta是期权价格对时间的偏导数、Vega是期权价格对股票收益率之波动率的偏导数，Rho是期权价格对无风险利率的偏导数。
Delta又叫做套保比率，衡量期权价格变化对股票价格变化的敏感性。期权越实值，Delta的绝对值越大，表示期权对股票价格变化越敏感。欧式期权有BS公式，因此可以很容易得到希腊字母的具体等式。
DeltaCall??C?N(d1) ?S
欧式看涨期权的Delta是关于股票价格的概率函数，介于（0，1）。理论上，期权处于平价状态（股票价格等于执行价格）等价于股价对数收益率的密度函数（标准正态分布）的横轴=0时的情况，因此Delta=0.5。事实上，平价看涨期权的Delta一般比0.5高，而看跌期权的Delta一般比0.5低。一种解释是股票价格下跌最多到零而上涨没有上界，即是说在一段较长的时间里，价格向上的可能性要大于50%，而平价期权的Delta也反映了这一事实。图3描绘了执行价=82.5，当前价格从80到85，四月到期的不分红汇丰控股欧式期权的希腊字母，左图是看涨期权，右图是看跌期权。从图中可以看到：平价看涨期权的Delta值在0.5附近，期权越实值，Delta越靠近1，越虚值，Delta越靠近0；平价看跌期权的Delta值在-0.5附近，期权越实值，Delta越靠近-1，越虚值，Delta越靠近0。对于执行价相同、到期日相同的看涨期权和看跌期权通常有如下关系：Deltaput?Deltacall?1，这个公式从第四节中的期权平价公式很容易得到。
图3也反映这一事实：如果投资者预测未来有较小涨幅，那么买入平价看涨期权比买入深度实值期权的收益大，因为Delta在平价附近的变化更大。
如前所述，Delta是固定时间参数不变，期权价格对股票价格的偏导数，实际上，时间也会影响Delta。从Delta定义（数学公式）上看是显然的。下表模拟了股票价格等于82，4月到期期权（到期日=31天和到期日=1天）的Delta值（汇丰控股的波动率0.033708太小，为了方便说明问题，将波动率放大至0.33708，无风险利率不变）。表5显示其余条件相同，只有到期日不同的Delta值也有明显
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区别。实际意义也很容易解释：对较深度的实值期权而言，临近到期日，价格变化1个单位，期权也变化一个单位；对于较深度的虚值而言，临近到期日，价格变化1个单位，期权仍是虚值（期权没有价值），Delta等于零。
表 5：模拟T=31/365和T=1/365看涨期权、看跌期权的Delta
T=31/365 T=1/365
70 0.9523 1
72.5 0.9049 1
75 0.8327 1
77.5 0.736 0.9993
90 0.1864 0
92.5 0.121 0
95 0.0747 0
97.5 0.044 0
100 0.0248 0
数据来源：山西证券研究所 执行价
注：为了便于说明问题，波动率取0.33708，即原波动率的10倍。 看跌期权 T=31/365 T=1/365 -0....264 -0.1 -0.1 -0.631 -0.6 -0.9 -0..879 -1 -0..956 -1 -0.9752 -1
Delta是投资组合保险中最常用的指标。所谓投资组合保险是指通过同时持有多头和空头头寸来对冲风险敞口，使得不管股票价格上升还是下降，组合的收益不变（中性，组合收益对价格的敏感性等于0）。譬如投资者以82港元价格卖出1手（400股）汇丰控股股票，并买入执行价为82.5港元看涨期权（1手也是400股），价格为
1.31元，若Delta=0.5，则股票价格变化1元，期权价格变化0.5元，因此需要两手期权来对冲1手股票。若临近到期日股票价格是85元，投资者在股票上亏损3元，但期权价格上涨1.5元（Delta=0.5），两手期权在市场上转让可获利3元，盈亏相抵；若临近到期日股票价格是80元，投资者赚2元，同时因买入的两手期权作废亏损2.62元（由于没有执行价为82元的期权做对冲，因此有风险敞口），共亏损0.61元。前述分析是假定Delta不变时得出的，实际上Delta是不断变化的，尤其是当股票价格变化较大时，Delta的变化也较大，有必要采用动态调整Delta值来控制风险敞口。
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：执行价=82.5的欧式看涨、看跌期权的Delta
数据来源：山西证券研究所
Gamma是期权价格与股票价格关系曲线的曲度度量值，通俗地讲是股票价格变化1单位时，Delta的变化值。图5中可以看出当股票价格在执行价附近时，Gamma的值大，即是说Delta对股票价格的变化敏感。若股票价格是80港元时，Gamma是0.0048，即是说股票价格上涨1单位，Delta增加0.0048；若股票价格是82元时，Gamma是0.428，即是说股票价格上涨1单位，Delta增加0.428。因此，在平价期权附近价格的较大波动必须及时调整组合的Delta值。
Gamma风险是期权特有的风险（期货的收益与风险呈线性关系，曲度Gamma为0）。设计Gamma中性策略是为了规避Gamma风险。假设原组合的Gamma值为?，引入某个可交易期权，Gamma值等于?，期权数量是N，那么新组合的Gamma是：??N?。Gamma中性可得可交易期权的头寸???。引入新期权以后会改变原组合的Delta中性，要使Delta和Gamma同时中性，需要不断调整标的资产。
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图5：执行价=82.5的欧式看涨、看跌期权的Gamma
数据来源：山西证券研究所
Theta表示随着距离到期日的变化而导致的期权价格变化量。图6表示期权买方的theta值和股票价格的关系，左图为看涨期权，右图为看跌期权。Theta值为负是因为对期权持有人来讲期权的时间价值随到期日临近而减少。同时，平价期权的Theta值小，因为平价期权的价值与内涵值接近。
图6：执行价=82.5的欧式看涨、看跌期权的Theta
数据来源：山西证券研究所
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金融工程/期权研究
Vega表示因标的资产波动率变化导致的期权价格变化量，通常用百分比衡量。图7显示标的资产价格和Vega的关系。当期权处于平价时，Vega最大，也即是说构造的对冲组合对波动率最敏感；当期权处于深度实值和深度虚值时Vega值较小，也即是说构造的对冲组合对波动率敏感度低。图7还显示对于条件相同的欧式涨和看跌期权，Vega是相同的，这一点从期权平价公式看是显然的。
也可以像构造Gamma中性一样，通过引入新期权来设计Vega中性的组合。要使Vega中性和Gamma中性同时满足需要引入两个可交易期权。
隐含波动率
期权定价研究章节中使用的波动率是历史波动率，它是通过计算历史数据的标准差得到的，由此得到期权的理论价格。我们可以看到，理论价格比实际价格小。除历史波动率之外，根据期权的实际价格反推得到的波动率称为隐含波动率。Vega实际衡量的是隐含波动率的变化对期权价格的影响。
期权定价有5个参数，除波动率（即隐含波动率）之外，其他四个参数都很容易确定，因此，研究隐含波动率对研究期权价格变化十分重要。隐含波动率与期权价格正相关，有时候有助于识别内幕消息。如果有人有某公司的利好内幕，他就会积极买进这个公司的期权，从而使得期权的隐含波动率增加。
国外的实证研究已经证实存在“波动率微笑曲线”。以执行价为横轴，隐含波动率为纵轴画出的波动率曲线呈“两头高、中间低”的形状，即是执行价格向两边延伸时，隐含波动率将增加，而不是BS模型中假定的常数。波动率越大，期权的价格越大。“波动率微笑”说明市场中有人愿意以高价格购买深度虚值期权，因为该投资者认为价格会暴跌，或者该投资者通过购买深度虚值期权来回避价格暴跌的风险。
Rho表示因无风险利率变化导致的期权价格变化，它衡量期权价格对无风险利率的敏感性。通常无风险利率不变或者变化不大，因此由无风险利率变化导致的风险敞口相对其他四个希腊字母的影响来讲要小。
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金融工程/期权研究 图7
：执行价=82.5的欧式看涨、看跌期权的Vega
数据来源：山西证券研究所
4. 套利策略
4.1 买权和卖权的平价公式套利
根据“到期日价值相等的投资组合在当前价格应该相等”这一理论基础可以推导欧式看涨期权和看跌期权的平价关系：c?Ke?rT?p?S0。为了证明平价公式，构造以下两个组合，它们在到期日有相同的价值max{ST,K}：
组合A：买入一手执行价K的看涨期权，同时借入现金Ke?rT； 组合B：买入一手执行价K的看跌期权，同是买入1手股票。 美式看跌期权有提前执行的可能，因此价格比欧式看跌期权更贵一些，因此平价公式变成不等式：C?Ke?rT?P?S0。如果美式期权期间有分红，比如汇丰控股公司，以往两季度在5月份都分红0.09美元（0.7港元，在5月下旬分红，离6月到期期权的时间设定为40天）。组合B由于持有股票，会得到分红，为了平衡组合A和组合B的价值，我们需要在期初时多借入0.7e
现金。因此分红的美式期权不等式：
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21 ?0.)/365港元的
C?Ke?rT?D?P?S0
其中D是折现到期初的分红。
由此公式，我们可以轻易地检验汇丰控股期权上是否存在组合价值的相对偏差。
表 6：不同执行价的汇丰控股组合A和组合B的价值
105 四月到期 组合A 组合B
82.01 82.02 82.08 82.26 82.75 83.79 85.45 87.66 90.05 92.51 95 97.5 100
数据来源：山西证券研究所
六月到期 组合A 组合B 82.60
四月期的组合A和组合B在执行价=77.5和执行价=85时不满足美式期权的平价关系，其余执行价都满足。二者的偏离很小，考虑交易成本的话，二者之间没有套利机会。六月期的期权在执行价小于80之前都不满足期权平价关系，倘若汇丰控股延续之前的分红数额，那么组合A相比于组合B来讲定价偏高。6月到期的看涨和看跌期权（执行价从70到80）在3月28日的成交量都超过1000手，流动性不是很差，存在一定套利空间。
4.2 期权组合套利
期权组合套利策略可以分为：垂直套利、水平套利、对角套利、
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跨式套利、比率套利。
4.2.1 垂直套利
垂直套利是指同时买入和卖出到期日相同但执行价不同的看涨期权或者看跌期权。牛市套利和熊市套利是两种基本的垂直套利方式。牛市套利在投资者中非常流行，买进一手看涨期权，同时卖出一手执行价更高的看涨期权，两者到期日相同。通常，执行价较高的看涨期权价格较便宜。比如买进4月到期，执行价80的汇丰控股看涨期权，同时卖出执行价82.5的看涨期权，下图是看涨期权牛市套利示意图，实线是策略随标的资产价格变化的损益线。构建这种策略的成本是买入的权利金减去卖出的权利金，同时这个成本也是牛市套利潜在的最大损失，因此向下的风险可控制，但是该策略同时限制了最大盈利。在建立牛市套利时应该如下分析该策略：投资者之所以会采取牛市套利，是因为看多后市，但同时并不认为标的价格会有剧烈波动。如果标的物当前价格接近或者低于较低的执行价，投资者会认为潜在盈利比潜在亏损大许多倍；如果当前价格在两个执行价之间，那么潜在的盈利和潜在的亏损就大致相等；如果当前价格等于或者高于较高执行价，那么风险就比潜在收益更大（即是说投资者放弃了价格剧烈变化的收益），但是盈利的可能性更高。牛市套利也可以通过看跌期权构建，即买进一个执行价较低的看跌期权，同时卖出一个到期日相同、执行价较高的看跌期权。
到期日股票价格
熊市看跌期权套利是卖出执行价较低的看跌期权同时买入执行价较高的看跌期权，两者到期日相同。熊市看涨期权套利是卖出执
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行价较低的看涨期权，同时买入到期日相同，执行价格较高的看涨期权。熊市套利是通过采用牛市套利的相反头寸建立的，在标的资产价格下行时会有盈利。牛市套利与熊市套利还能够衍生出许多复杂套利策略，如盒式套利、蝶式套利等。
事实上，投资者还可以通过其他组合得到同牛市套利相同的收益曲线。譬如，构造一个这样的策略：买进标的股票，买入一手虚值看跌期权（执行价小于当前价），卖出一手虚值看涨期权（执行价大于当前价）。股票的收益是一条斜向上的直线，看跌期权限制了下行风险，看涨期权限制了上行盈利，这样得到的收益曲线与牛市套利相似。因此，牛市套利是一种保护性策略，尽管牛市中买入看跌期权来保护股票的盈利有时会显得多此一举，但它能使投资者面对市场暴跌时有更多机会盈利。
4.2.2 水平套利
水平套利又叫日历套利，是卖出到期日较近的期权同时买入到期日较远的期权，两者的执行价相同。期权价格包扩期权的内涵价值和时间价值。内涵价值等于标的期货价格与执行价之间的价值，时间价值等于期权价格减去内涵价值。通常，时间价值随着到期日临近会衰减至零。随着时间临近近月期权到期日，近月期权的时间价值衰减速度比远月期权更快。比如下图是卖出4月期，执行价82.5，同时买入6月期，执行价相同的看涨期权的收益曲线，使用看跌期权同样可以得到相似曲线。在临近近月到期日前，如果标的价格明显小于或者明显大于执行价，策略都是负收益，如果标的价格接近执行价，作为近月期权的卖方，成本为零或者很小，而作为远月期权的买方，执行价与当前价接近会使得远月期权具有可观的时间价值，因此水平套利有正收益。
4.2.3 对角套利
对角套利，是垂直套利和水平套利的综合，对角套利是买入和卖出不同到期日的看涨和看跌期权。由于垂直套利的到期日相同，所以投资者不能获得时间价值升水，而水平套利由于执行价相同，所以减小了投资者获利的价格区间。如果投资者想构造一个牛市套
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利策略，但同时投资者注意到，相比于远月期权，近月期权的价格偏贵，这时，采用对角套利不但可以仍然保持看多的潜力，而且能得到近月期权时间价值衰减的利润。
-2.69到期日股票价格
4.2.4 跨式套利
跨式套利是同时买入或者卖出一手执行价相同的看涨期权和看跌期权。下图是同时买入执行价82.5的看涨期权和看跌期权时的收益曲线。如果到期日标的价格与执行价接近，则投资者损失期权费，如果标的价格明显小于执行价格，虽然投资者损失看涨期权费用，但在看跌期权上能获取更多收益，如果标的价格明显大于执行价格，则反之。因此，这样的套利策略赌的是未来价格会有大的波动。如果要构造因未来价格波动小而获利的策略，可将该策略反之。
从跨式套利可以看出，期权和期货虽都能做为对冲工具，但二者有本质上的不同。期货价格本质上是未来的现货价格，投资者对期货的投资同对现货的买卖具有相似性：单边性，即投资者若看对方向，则收益可能极大，若看错方向，损失也可能极大（当然，股价下跌最多到零）。由于期货投资的单边性，投资者不能做出类似于期权跨式套利的策略。期权则是赋予买方现货买卖的权利，期权价格本质上反映的是未来现货价格向上或向下的不确定性，它可以在未来现货价格满足一定条件时，转变为现货价格与执行价格的价差。另外，价格的不确定性反映在价格的波动率上，因此投资者进行期权套利时，不仅要关注标的资产价格，更要重视价格的波动程度。
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-1.79到期日股票价格
4.2.5 比率套利
之前介绍的期权组合套利策略都是一手期权对冲另一手期权，
没有裸头寸风险。比率套利持有的期权多头手数和空头手数不是1：
1。使用看涨期权构造比率套利，投资者买进1手执行价较低的看涨
期权，同时卖出x（x?1）手执行价较高的看涨期权。以x?2，
即买进1手执行价较低、同时卖出2手执行价较高的看涨期权为例
来介绍比率套利。
比率2：1的看涨套利实际上是1手牛市套利和卖出1手看涨期
权的组合。汇丰控股当前价格是82港元，买入1手执行价为80的
看涨期权，期权费是2.71，同时卖出2手执行价是82.5的看涨期权，
期权费是1.31。若未来价格低于80（较低执行价），这三手期权都作
废，亏损0.1港元；如果未来价格在80到82.5之间，比率套利的收
益与股票价格线性正相关；如果未来价格大于82.5（较高执行价），
比率套利收益与股票价格线性负相关。下图显示了到期日股票价格
和到期日比率套利的收益曲线。可以看出，比率看涨套利限制了下
行风险，同时在未来价格不大幅上涨时有正收益，最大的风险是上
行风险（理论上风险无限）。适用这种套利策略应该满足两个条件：
1.预计未来价格上行幅度不大；2.当前价格在较低执行价附近，且买
入的看涨期权最好处于很少或者没有时间价值的实值状态。（在第三
节对Delta的介绍中，我们知道，很少或者没有时间价值的实值看涨
期权与股票价格几乎线性相关，因此买入这样地期权等于买入股票，
且成本更低。）
选用2:1这个比率完全是为了方便，实际上，还有一种比较精确
的确定比率的方式是Delta中性，这种比率套利叫做Delta套利。比
如表5中的数据：执行价80的看涨期权Delta为0.6，执行价82.5
的看涨期权Delta为0.5，比率为6：5，因此构造Delta中性套利：
买入5手执行价80的看涨期权，同时卖出6手执行价82.5的看涨期
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亏到期日股票价格
看跌期权的比率套利是指投资者买入1手执行价较高的看跌期
权，同时卖出大于1手的执行价较低的看跌期权。看跌期权控制了
股票价格的上行风险，在价格波动不大时有正收益，而股价向下波
动时风险敞口大。
4.3 跨品种套利
以上介绍的套利都是针对相同标的物的策略。针对不同标的物
的套利，把它叫做跨品种套利。与期货套利一样，假设有两个标的
物A和B，在一个长期的历史统计数据上A与B呈现稳定关系，短
期则可能随机波动。当A相对B被低估时，投资者可以做多A期货
同时做空B期货，等待均值回复了结套利活动，这是期货市场上一
种常用的统计套利方法。使用期权套利也可以设计类似策略：买进
一手A的实值看涨期权（当前被相对低估，未来看多A）和买进一手
B的实值看跌期权（当前被相对高估，未来看空B）。在该策略中，
由于投资者只做买方，所以风险可控制，而用期货套利策略，理论
上，若A与B没有均值回复，则风险不可控。
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投资评级的说明：
——报告发布后的6个月内上市公司股票涨跌幅相对同期上证指数/深证成指的涨跌幅为基准
——股票投资评级标准：
相对强于市场表现20%以上
相对强于市场表现5～20%
相对市场表现在-5%～+5%之间波动
相对弱于市场表现5%以下
——行业投资评级标准：
行业超越市场整体表现
行业与整体市场表现基本持平
行业弱于整体市场表现
特别申明：
山西证券股份有限公司(以下简称“本公司”)具备证券投资咨询业务资格。本报告是基于本公司认为可靠的已公开信息，但本公司不保证该等信息的准确性或完整性。入市有风险，投资需谨慎。在任何情况下，本报告中的信息或所表述的意见并不构成对任何人的投资建议。在任何情况下，本公司不对任何人因使用本报告中的任何内容所引致的任何损失负任何责任。本报告所载的资料、意见及推测仅反映本所于发布本报告当日的判断。在不同时期，本所可发出与本报告所载资料、意见及推测不一致的报告。本公司或其关联机构在法律许可的情况下可能持有或交易本报告中提到的上市公司所发行的证券或投资标的，还可能为或争取为这些公司提供投资银行或财务顾问服务。客户应当考虑到本公司可能存在可能影响本报告客观性的利益冲突。本公司在知晓范围内履行披露义务。本报告的版权归本公司所有。本公司对本报告保留一切权利。未经本公司事先书面授权，本报告的任何部分均不得以任何方式制作任何形式的拷贝、复印件或复制品，或再次分发给任何其他人，或以任何侵犯本公司版权的其他方式使用。否则，本公司将保留随时追究其法律责任的权利。
请务必阅读正文之后的特别申明部分
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