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2012届高考数学知识梳理复习题4
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2010届高三数学全程复习方略
函数与基本初等函数Ⅰ
函数及其表示
1. 与函数f(x)=|x|是相同函数的有
（写出一个你认为正确的即可）.答案
y=2.设M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤3}，给出下列四个图形（如图所示），其中能表示从集合M到集合N的函数
　关系的是
.(填序号).
　　3.若对应关系f:A→B是从集合A到集合B的一个映射，则下面说法正确的是
（填序号）.
　　①A中的每一个元素在集合B中都有对应元素
②A中两个元素在B中的对应元素必定不同
　　③B中两个元素若在A中有对应元素，则它们必定不同
④B中的元素在A中可能没有对应元素
　　答案　　①③④
　　4.如图所示，①②③三个图象各表示两个变量x,y的对应关系，则能表示y是x的函数的图象是
（填序号）.
　　5.已知f（）=x2+5x,则f(x)=
　　　答案
例1给出下列两个条件：（1）f(+1)=x+2;
　 (2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式.
解 （1）令t=+1,∴t≥1，x=（t-1）2.则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即f(x)=x2-1,x∈［1，+∞).
（2）设f(x)=ax2+bx+c (a≠0),∴f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.
∴，∴，又f(0)=3c=3,∴f(x)=x2-x+3.
例2（1）求函数f(x)=的定义域；
　　（2）已知函数f(2x）的定义域是［-1，1］，求f(log2x)的定义域.
（1）要使函数有意义，则只需要：
　解得-3＜x＜0或2＜x＜3.
故函数的定义域是(-3,0）∪(2,3).
(2)∵y=f(2x)的定义域是［-1，1］，即-1≤x≤1,∴≤2x≤2.
∴函数y=f(log2x)中≤log2x≤2.即log2≤log2x≤log24,∴≤x≤4.
故函数f(log2x)的定义域为［，4］
例3（14分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x, 同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.
　（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
　（2）为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解 （1）依题意，本年度每辆摩托车的成本为1+x(万元)，而出厂价为1.2×(1+0.75x) (万元)，
销售量为1 000×(1+0.6x)(辆).
故利润y=［1.2×(1+0.75x)-(1+x)］×1 000×(1+0.6x),
整理得y=-60x2+20x+200 (0＜x＜1).
　（2）要保证本年度利润比上一年有所增加，
则y-(1.2-1)×1 000＞0,
即-60x2+20x+200-200＞0,
即3x2-x＜0.
解得0＜x＜，适合0＜x＜1.
故为保证本年度利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x的取值范围是0＜x＜.
答 （1）函数关系式为y=-60x2+20x+200 (0＜x＜1).
（2）投入成本增加的比例x的范围是(0,).
已知函数f(x)=
　　（1）画出函数的图象；
　　（2）求f(1),f(-1),f［f(-1)］的值.
（1）分别作出f(x)在x＞0,x=0, x＜0段上
的图象，如图所示，作法略.
　　（2）f(1)=12=1,f(-1)=- =1,f［f（-1）］=f（1）=1.　　1.（1）已知f（）=lgx，求f（x）；
（2）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）；
（3）已知f（x）满足2f（x）+f（）=3x，求f（x）.
(1)令+1=t，则x=，
∴f（t）=lg，∴f（x）=lg,x∈(1,+∞).
（2）设f（x）=ax+b，则
3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17，
∴a=2，b=7，故f（x）=2x+7.
（3）2f（x）+f（）=3x，
把①中的x换成，得2f（）+f（x）=
①×2-②得3f（x）=6x-，∴f（x）=2x-.
　　　2. 求下列函数的定义域：
　　　　（1）y=+(2x-3)0;
　　　　(2)y=log(2x+1)(32-4x).
　　　　解 （1）由
　　　　∴定义域为（-2，log23）∪(log23,3).
　　　　(2)∴定义域为（-,0）∪（0,）.
3.等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2a，BC=a，∠BAD=45°，作直线MN⊥AD交AD于M，交折线ABCD于N，记AM=x,试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域.
作BH⊥AD，H为垂足，CG⊥AD，G为垂足，
依题意，则有AH=，AG=a.
（1） 当M位于点H的左侧时,N∈AB，由于AM=x，∠BAD=45°.∴MN=x.∴y=S△AMN=x2（0≤x≤）.
（2）当M位于HG之间时，
由于AM=x，
∴MN=，BN=x-.
∴y=S直角梯形AMNB=［x+（x-）］=ax-
（3）当M位于点G的右侧时，
由于AM=x，MN=MD=2a-x.
∴y=S梯形ABCD-S△MDN=综上：y=
4.如右图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB是边长为2的等边三角形，设直线x=t(0≤t≤2)截这个三角形可得位于此直线左方的图形的面积为f(t),则函数y=f(t)的图象（如下图所示）大致是
(填序号).答案④一、填空题
　1.设函数f1(x)=x,f2(x)=x-1,f3(x)=x2,则=
.答案　2.（2008?安徽文，13）函数f(x)=的定义域为
　　3.若f(x)=,则f(-1)的值为
　　4.已知f(，则f(x)的解析式为
　　5.函数f(x)= +lg(3x+1)的定义域是
　　　　6.(2008?陕西理，11)定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,则f(-3)=
　　　　　答案
　　　　　7.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出x　　1　　2　　3　f(x)　　1　　31　　x　　12　　3g(x)　　32　　1
则f［g(1)］的值为
，满足f［g(x)］＞g［f(x)］的x的值是
8.已知函数 (x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x的正比例函数,g(x)是x的反比例函数，且（）=16,
　二、解答题
　9.求函数f(x)=的定义域.
　∴-1＜x＜0.
　∴函数f(x)= 的定义域为（-1,0）.
　10．（1）设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足f(0)=1,且对任意实数a、b,有f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求f(x);
　　（2）函数f(x) (x∈(-1,1))满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求f(x).
解 （1）依题意令a=b=x,则
　　　f(x-x)=f(x)-x(2x-x+1),
　　　即f(0)=f(x)-x2-x,
　　　而f(0)=1,∴f(x)=x2+x+1.
　　　（2）以-x代x,依题意有
　　　2f(-x)-f(x)=lg(1-x)
　　　又2f(x)-f(-x)=lg(1+x)
　　　两式联立消去f(-x)得
　　　3f(x)=lg(1-x)+2lg(1+x),
　　　∴f(x)=lg(1+x-x2-x3)(-1＜x＜1).
11.如图所示，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径,且上底
CD的端点在圆周上，写出梯形周长y关于腰长x的函数关系式，并求出它的定义域.
AB=2R，C、D在⊙o的半圆周上，
设腰长AD=BC=x，作DE⊥AB，
垂足为E，连接BD，
那么∠ADB是直角，
由此Rt△ADE∽Rt△ABD.
∴AD2=AE×AB，即AE=，∴CD=AB-2AE=2R-，
所以y=2R+2x+（2R-）,即y=-+2x+4R.
再由,解得0＜x＜R.所以y=-+2x+4R,定义域为（0，R）.
12.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解 （1）当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为=12，所以这时租出了88辆车.
（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为f(x)=（100-×50.
整理得f(x)=- +162x-21 000=-(x-4 050)2+307 050.
所以，当x=4 050时，f(x)最大，最大值为f(4 050)=307 050.
即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元.
§2.2函数的单调性与最大（小）值
1.已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数，则下列对f(x)=0的根说法不正确的是
（填序号）.
①有且只有一个
③至多有一个
　④没有根
2. 已知f(x)是R上的增函数，若令F（x）=f（1-x）-f（1+x），则F（x）是R上的
函数（用&增&、&减&填空）.
3.若函数f(x)=x2+(a2-4a+1)x+2在区间（-∞，1］上是减函数，则a的取值范围是
答案 ［1，3］
4.（2009?徐州六县一区联考）若函数f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x＞0，y＞0满足f(xy)=f(x)+f(y)，则不等式f(x+6)+f(x)＜2f(4)的解集为
5.已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间［0,m］上最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为
答案 ［1，2］
例1已知函数f(x)=ax+ (a＞1).
　证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
任取x1,x2∈(-1,+∞),
　不妨设x1＜x2,则x2-x1＞0,＞1且a＞0,
　∴a又∵x1+1＞0,x2+1＞0,
　于是f(x2)-f(x1)=a+＞0,
　故函数f(x)在（-1,+∞）上为增函数.
f(x)=ax+1-(a＞1),
求导数得f′(x)=axlna+,∵a＞1,∴当x＞-1时，axlna＞0,＞0,
f′(x)＞0在（-1，+∞）上恒成立，则f(x)在（-1,+∞）上为增函数.
∵a＞1,∴y=ax为增函数，
又y=，在（-1，+∞）上也是增函数.
∴y=ax+在（-1，+∞）上为增函数.
例2判断函数f(x)=在定义域上的单调性.
函数的定义域为{x|x≤-1或x≥1},
　　则f(x)= ,
　　可分解成两个简单函数.
　　f(x)= =x2-1的形式.当x≥1时，u(x)为增函数，为增函数.
　　∴f（x）=在［1，+∞)上为增函数.当x≤-1时，u（x)为减函数，为减函数，
　　∴f(x)=在（-∞,-1］上为减函数.
求下列函数的最值与值域：
　（1）y=4-;(2)y=2x-;
　(3)y=x+;(4)y=.
　解 （1）由3+2x-x2≥0得函数定义域为［-1，3］，又t=3+2x-x2=4-(x-1)2.
　∴t∈［0，4］，∈［0，2］，从而，当x=1时，ymin=2，当x=-1或x=3时，ymax=4.故值域为［2，4］.
（2） 方法一
令=t(t≥0),则x=.∴y=1-t2-t=-（t+2+.
　∵二次函数对称轴为t=-,∴在［0，+∞）上y=-(t+2+是减函数，
故ymax=-(0+2+=1.故函数有最大值1，无最小值，其值域为（-∞，1］.
∵y=2x与y=-均为定义域上的增函数，∴y=2x-是定义域为{x|x≤}上的增函数，
故ymax=2×=1,无最小值.故函数的值域为(-∞,1］.
函数y=x+是定义域为{x|x≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论x＞0时,即可知x＜0时的最值.
∴当x＞0时,y=x+≥2=4，等号当且仅当x=2时取得.
当x＜0时，y≤-4,等号当且仅当x=-2时取得.
综上函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最值.
任取x1,x2,且x1＜x2,
　因为f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)=
　所以当x≤-2或x≥2时，f(x)递增,当-2＜x＜0或0＜x＜2时，f(x)递减.
　故x=-2时，f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2时，f(x)最小值=f(2)=4,
　所以所求函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最大（小）值.
（4）将函数式变形为　y=,可视为动点M（x,0）与定点A（0，1）、B（2，-2）距离之和，连结AB，则直线AB与x轴的交点（横坐标）即为所求的最小值点.
ymin=|AB|=，可求得x=时，ymin=.
显然无最大值.故值域为［，+∞）.
例4 (14分)函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1.
（1）求证：f(x)是R上的增函数；
（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.
（1）设x1,x2∈R，且x1＜x2,
　则x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1.
　f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)
　=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0.
　∴f（x2）＞f(x1).
即f(x)是R上的增函数.
　（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，
∴f（2）=3，
∴原不等式可化为f(3m2-m-2)＜f(2),
∵f(x)是R上的增函数，∴3m2-m-2＜2,
解得-1＜m＜,故解集为（-1, ）.
　　　　　　　　　　　　　　　
1.讨论函数f（x）=x+（a＞0）的单调性.
显然f（x）为奇函数，所以先讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，设x1＞x2＞0,则
　f(x1)-f(x2) =（x1+）-（x2+）=(x1-x2)?（1-）.
　∴当0＜x2＜x1≤时，＞1,
　则f（x1）-f（x2）＜0，即f(x1)＜f(x2),故f（x）在（0，］上是减函数.
当x1＞x2≥时，0＜＜1，则f（x1）-f（x2）＞0,即f(x1)＞f(x2),
故f（x）在［，+∞）上是增函数.∵f（x）是奇函数，
∴f（x）分别在（-∞，-］、［，+∞）上为增函数；
　　f（x）分别在［-，0）、（0，］上为减函数.
　　方法二
由f ′（x）=1-=0可得x=±
　　当x＞时或x＜-时，f ′(x)＞0，∴f（x）分别在（，+∞）、（-∞，-］上是增函数.
　　同理0＜x＜或-＜x＜0时，f′（x）＜0
　　即f（x）分别在（0，］、［-，0）上是减函数.
　2.求函数y=（4x-x2）的单调区间.
由4x-x2＞0，得函数的定义域是（0，4）.令t=4x-x2，则y= t.
　　∵t=4x-x2=-（x-2）2+4，∴t=4x-x2的单调减区间是［2，4），增区间是（0，2］.
又y=t在（0，+∞）上是减函数，
∴函数y=（4x-x2）的单调减区间是（0，2］，单调增区间是［2，4).
3.在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x（x＞0）台的收入函数为R（x）=3 000x-20x2 (单位：元)，其成本函数为C（x）=500x+4 000（单位：元），利润是收入与成本之差.（1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；
（2）利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）是否具有相同的最大值？
解 （1）P（x）=R（x）-C（x）=（3 000x-20x2）-（500x+4 000）
　　=-20x2+2 500x-4 000（x∈［1，100］且x∈N）.
　　MP（x）=P（x+1）-P（x）=-20（x+1）2+2 500（x+1）-4 000-（-20x2+2 500x-4 000）
　　=2 480-40x （x∈［1，100］且x∈N）.
　（2）P（x）=-20(x-2+74 125，当x=62或63时，P(x)max=74 120（元）.
因为MP（x）=2 480-40x是减函数，所以当x=1时，MP(x)max=2 440(元）.
因此，利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）不具有相同的最大值.
4.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f(=f(x1)-f(x2)，且当x＞1时，f(x)＜0.
　（1）求f(1)的值；
　（2）判断f(x）的单调性；
　（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.
解 （1）令x1=x2＞0,
代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.
　（2）任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1＞x2,则＞1,
　　由于当x＞1时，f(x)＜0,
　　所以f＜0,即f(x1)-f(x2)＜0,
　　因此f(x1)＜f(x2),
　　所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.
（3）由f()=f(x1)-f(x2)得
　　f(=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.
　　由于函数f(x)在区间（0,+∞）上是单调递减函数，
由f(|x|)＜f(9),得|x|＞9,∴x＞9或x＜-9.因此不等式的解集为{x|x＞9或x＜-9}.
一、填空题
1.函数f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是
　答案 ［，4）
2.已知函数f（x）在区间［a，b］上单调，且f（a）?f（b）＜0，则下列对方程f（x）=0在区间［a，b］上根的分布情况的判断有误的是
（填序号）.
①至少有一实根
②至多有一实根
③没有实根
④必有惟一的实根
3.函数y=lg(x2+2x+m)的值域是R,则m的取值范围是
4.函数f(x)(x∈R)的图象如下图所示，则函数g(x)=f(logax) (0＜a＜1)的单调减区间是
　答案 ［,1］
5.已知f(x)=是（-∞,+∞）上的减函数，那么a的取值范围是
　答案 ［，）
6.若函数f(x)=(m-1)x2+mx+3 (x∈R)是偶函数，则f(x)的单调减区间是
［0，+∞）
7.已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)＜f(1-2m)，则m的取值范围是
8.已知下列四个命题：①若f(x)为减函数，则-f(x)为增函数；②若f(x)为增函数，则函数g(x)=在其定义域内为减函数；③若f(x)与g(x)均为(a,b)上的增函数，则f(x)?g(x)也是区间（a,b）上的增函数；④若f(x)与g(x)在(a,b)上分别是递增与递减函数，且g(x)≠0，则在（a,b)上是递增函数.其中命题正确的是
（填序号）
二、解答题
9.已知f(x)在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,试解不等式f(x)+f(x-8)≤2.
根据题意，由f(3)=1,得f(9)=f(3)+f(3)=2.
　又f(x)+f(x-8)=f［x(x-8)］,故f［x(x-8)］≤f(9).
　∵f（x）在定义域（0,+∞）上为增函数，∴解得8＜x≤9.
10.函数f(x)对任意的实数m、n有f(m+n)=f(m)+f(n),且当x＞0时有f(x)＞0.
　（1）求证：f(x)在（-∞,+∞)上为增函数；
　（2）若f(1)=1,解不等式f［log2(x2-x-2)］＜2.
　（1）证明
设x2＞x1,则x2-x1＞0.
∵f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)＞0,
∴f(x2)＞f(x1),f(x)在（-∞,+∞)上为增函数.
∵f(1)=1,∴2=1+1=f(1)+f(1)=f(2).
又f［log2(x2-x-2)］＜2,∴f［log2(x2-x-2)］＜f(2).
∴log2(x2-x-2)＜2,于是∴
　　即-2＜x＜-1或2＜x＜3.∴原不等式的解集为{x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}.
11.已知f(x)=(x≠a).
　（1）若a=-2,试证f(x)在（-∞,-2）内单调递增；
　（2）若a＞0且f(x)在（1,+∞）内单调递减，求a的取值范围.
　（1）证明
任设x1＜x2＜-2,则f(x1)-f(x2)=
∵(x1+2）(x2+2)＞0,x1-x2＜0,∴f(x1)＜f(x2),∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增.
任设1＜x1＜x2,则f(x1)-f(x2)=
∵a＞0,x2-x1＞0,∴要使f(x1)-f(x2)＞0,只需(x1-a)(x2-a)＞0恒成立，
∴a≤1.综上所述知0＜a≤1.
12.已知函数y=f(x)对任意x,y∈R均有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x＞0时，f(x)＜0,f(1)=- .
(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；
　（2）求f(x)在［-3，3］上的最值.
解 （1）f(x)在R上是单调递减函数
证明如下：
令x=y=0,f(0)=0,令x=-y可得：f(-x)=-f(x),在R上任取x1＜x2,则x2-x1＞0,
∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1).又∵x＞0时，f(x)＜0,
∴f(x2-x1)＜0,即f(x2)＜f(x1).由定义可知f(x)在R上为单调递减函数.
　（2）∵f(x)在R上是减函数，
∴f（x）在［-3，3］上也是减函数.
∴f（-3）最大，f(3)最小.f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3×（-=-2.
∴f(-3)=-f(3)=2.即f(x)在［-3，3］上最大值为2，最小值为-2.　　　　　　　　　　　　§ 2.3 函数的奇偶性　　基础自测
1.（2008?福建理，4）函数f（x）=x3+sinx+1（x∈R），若f（a）=2，则f（-a）的值为
.答案02.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为
.答案03.设偶函数f(x)=loga|x-b|在（-∞,0）上单调递增，则f(a+1)
f(b+2)(用&≤&，&≥&，&＜&，&＞&填空).答案＞4.已知f（x）=是奇函数，则实数a的值为
.答案15.函数f(x),g(x)在区间［-a，a］ (a＞0）上都是奇函数，则下列结论：①f(x)-g(x)在［-a,a］上是奇函数；②f(x)+g(x)在［-a,a］上是奇函数；③f(x)?g(x)在［-a,a］上是偶函数；④f(0)+ g(0)=0,则其中正确结论的个数是
例1判断下列函数的奇偶性.
（1）f(x)=;
(2)f(x)=log2(x+) (x∈R);
(3)f(x)=lg|x-2|.
解 （1）∵x2-1≥0且1-x2≥0,∴x=±1,即f(x)的定义域是{-1，1}.
∵f（1）=0，f(-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),
　故f(x)既是奇函数又是偶函数.
（2）方法一
易知f(x)的定义域为R，
　又∵f(-x)=log2［-x+］=log2=-log2(x+)=-f(x),
　∴f(x)是奇函数.
易知f(x)的定义域为R，
又∵f（-x）+f（x）=log2［-x+］+log2(x+)=log21=0,即f(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
　（3）由|x-2|＞0，得x≠2.
∴f（x）的定义域{x|x≠2}关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数.
例2已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).
　(1)求证：f(x)是奇函数；
（2）如果x∈R+，f（x）＜0,并且f(1)=-,试求f(x)在区间［-2，6］上的最值.
（1）证明∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称.
　∵f（x+y）-f（x）+f（y），令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,
　∴f(0)-f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),
　∴f(x)为奇函数.
设x,y∈R+，∵f（x+y）=f（x）+f（y），
　∴f（x+y）-f（x）=f（y）.∵x∈R+，f（x）＜0,
　∴f(x+y)-f(x)＜0,∴f(x+y)＜f(x).
　∵x+y＞x,∴f(x)在（0，+∞）上是减函数.又∵f（x）为奇函数，f（0）=0，
　∴f（x）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f（-2）为最大值，f(6)为最小值.
　∵f(1)=-,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,
　f(6)=2f(3)=2［f（1）+f（2）］=-3.
　∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.
设x1＜x2,且x1,x2∈R.
　则f(x2-x1)=f［x2+(-x1)］=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).
　∵x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＜0.∴f(x2)-f(x1)＜0.即f(x)在R上单调递减.
　∴f（-2）为最大值，f（6）为最小值.∵f（1）=-，
∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2［f（1）+f（2）］=-3.
∴所求f(x）在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.
例3（16分）已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x).
　（1）求证：f(x)是周期函数；
（2）若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=x,求使f(x)=-在［0，2 009］上的所有x的个数.
（1）证明 ∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=-［-f（x）］=f（x），
∴f（x）是以4为周期的周期函数，
当0≤x≤1时，f(x)=x,
设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,∴f（-x）=（-x）=-x.
∵f(x)是奇函数，∴f（-x）=-f（x）,
∴-f（x）=-x，即f(x)=x.
故f(x)= x(-1≤x≤1)
又设1＜x＜3,则-1＜x-2＜1,
∴f(x-2)= (x-2),
又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f（（-x）+2）=-［-f（-x）］=-f（x），
∴-f（x）=（x-2），
∴f（x）=-（x-2）（1＜x＜3）.
　　由f(x)=- ,解得x=-1.
　　∵f（x）是以4为周期的周期函数.
　　∴f(x)=- 的所有x=4n-1 (n∈Z).
　　令0≤4n-1≤2 009,则≤n≤,
　　又∵n∈Z，∴1≤n≤502 （n∈Z）,
　　∴在［0，2 009］上共有502个x使f(x)=- .
16分　　1.判断下列各函数的奇偶性：
　（1）f（x）=（x-2）；
　（2）f（x）=；
（3）f（x）=
解 （1）由≥0，得定义域为［-2，2），关于原点不对称，故f（x）为非奇非偶函数.
（2）由得定义域为（-1，0）∪（0，1）.
这时f（x）=.
∵f（-x）=-∴f（x）为偶函数.
（3）x＜-1时，f（x）=x+2，-x＞1,
　∴f（-x）=-（-x）+2=x+2=f（x）.
　x＞1时，f（x）=-x+2，
　-x＜-1，f(-x)=x+2=f(x).
　-1≤x≤1时，f（x）=0，-1≤-x≤1，
　f（-x）=0=f（x）.
　∴对定义域内的每个x都有f（-x）=f（x）.
　因此f（x）是偶函数.
2.已知函数y=f(x)的定义域为R，且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且当x＞0时，f(x)＜0恒成立，f(3)=-3.
　(1)证明：函数y=f(x)是R上的减函数；
（2）证明：函数y=f(x)是奇函数；
（3）试求函数y=f(x)在［m,n］（m,n∈Z）上的值域.
设x1，x2∈R，且x1＜x2,f(x2)=f［x1+(x2-x1)］=f(x1)+f(x2-x1).
　∵x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＜0.∴f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)＜f(x1).
　故f(x)是R上的减函数.
∵f（a+b）=f（a）+f（b）恒成立，∴可令a=-b=x,则有f（x）+f（-x）=f（0），
　又令a=b=0,则有f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.从而x∈R，f（x）+f（-x）=0，
　∴f（-x）=-f（x）.故y=f(x)是奇函数.
由于y=f(x)是R上的单调递减函数，
　∴y=f（x）在［m，n］上也是减函数，故f(x)在［m，n］上的最大值f(x)max=f(m),最小值f(x)min=f(n).
　由于f(n)=f(1+(n-1))=f(1)+f(n-1)=...=nf(1),同理f(m)=mf(1).
　又f(3)=3f(1)=-3,∴f(1)=-1,∴f(m)=-m, f(n)=-n.
　∴函数y=f(x)在［m,n］上的值域为［-n,-m］.
3.设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1、x2∈［0，］都有f（x1+x2）
=f（x1）?f（x2），且f(1)=a＞0.
　（1）求f()及f()
　（2）证明：f（x）是周期函数；
　（3）记an=f(2n+，求an.
∵对x1、x2∈，
都有f（x1+x2）=f（x1）?f（x2），
∴f（x）=f(≥0，x∈［0，1］.
∴f（1）=f(　　 f(.　 ∵f(1)=a＞0, ∴f(
　　（2）证明
∵y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴f（x）=f（1+1-x），即f（x）=f（2-x），x∈R.
又由f（x）是偶函数知，f（-x）=f（x），x∈R，
∴f（-x）=f（2-x），x∈R.
将上式中-x用x代换，得f（x）=f（x+2），x∈R.
这表明f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期.
　　（3）解
由（1）知f（x）≥0，x∈［0，1］.
∵f(=f(...
=f(...?f(又f(
　∵f（x）的一个周期是2，∴an=f(2n+)=f(),∴an=a.
一、填空题
1.f(x),g(x)是定义在R上的函数，h(x)=f(x)+g(x)，则&f(x)，g(x)均为偶函数&是&h(x)为偶函数&的
充分不必要
2.设函数f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数，则a=
3.已知函数f（x）是R上的偶函数，g（x）是R上的奇函数，且g（x）=f（x-1），若f（0）=2，则f（2 008）的值为
24.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是
（填序号）.
　①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=x?f(x);④y=f(x)+x.
5.(2009? 徐州六县一区联考)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)=2x-3，则f(-2)=
-16.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x，则在R上f(x)的表达式为
f(x)=x(|x|-2)
7.已知函数f(x)=g(x)+2,x∈［-3，3］，且g(x)满足g(-x)=-g(x),若f(x)的最大值、最小值分别为M、N，则M+N=
8.f(x)、g(x)都是定义在R上的奇函数，且F(x)=3f(x)+5g(x)+2,若F(a)=b,则F(-a)=
二、解答题
　9.已知f(x)是实数集R上的函数，且对任意xR,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立.
(1)求证：f(x)是周期函数.
(2)已知f(3)=2，求f(2 004).
∵f(x)=f(x+1)+f(x-1),∴f(x+1)=f(x)-f(x-1),
　　则f(x+2)=f
　　∴f(x+3)=f
　　∴f(x+6)=f
　　∴f(x)是周期函数且6是它的一个周期.
f(2 004)=f(334×6)=f(0)=-f(3)=-2.
10.已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(-∞,0)时，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式.
∵f（x）是奇函数，可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0.
当x＞0时，-x＜0,由已知f(-x)=xlg(2+x),∴-f（x）=xlg（2+x），
即f（x）=-xlg（2+x） （x＞0）.∴f(x)=
即f(x)=-xlg(2+|x|) (x∈R).
11.已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R.
　　(1)试判断f(x)的奇偶性；
（2）若-≤a≤，求f(x)的最小值.
(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),
　此时,f(x)为偶函数.当a≠0时，f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,
　f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时，f(x) 为非奇非偶函数.
（2）当x≤a时,f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+,
　∵a≤,故函数f(x)在（-∞，a］上单调递减，
　从而函数f(x)在（-∞，a］上的最小值为f(a)=a2+1.
　当x≥a时，函数f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+,
　∵a≥-，故函数f(x)在［a，+∞）上单调递增，从而函数f(x)在［a，+∞)上的最小值为f(a)=a2+1.
　　综上得，当-≤a≤时，函数f(x)的最小值为a2+1.
12.设函数f(x)在（-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间［0，7］上，只有f(1)=f(3)=0.
　（1）试判断函数y=f（x)的奇偶性；
　（2）试求方程f(x)=0在闭区间［-2 005，2 005］上的根的个数，并证明你的结论.
　解 （1）由
从而知函数y=f(x)的周期为T=10.又f(3)=f(1)=0,而f(7)≠0,故f(-3)≠0.
　故函数y=f（x)是非奇非偶函数.
（2）由（1）知y=f(x)的周期为10.
　又f（3）=f(1)=0,f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0,
故f(x)在［0，10］和［-10，0］上均有两个解，从而可知函数y=f(x)在［0，2 005］上有402个解，在［-2 005，0］上有400个解，所以函数y=f(x)在［-2 005，2 005］上有802个解.
§2.4指数与指数函数
1. 已知a＜，则化简的结果是
.　答案2.设指数函数f(x)=ax(a＞0且a≠1)，则下列等式正确的有
（填序号）.
①f(x+y)=f(x)?f(y)
②f(xy)n=f n(x)?f n(y)
　③f(x-y)=
④f(nx)=f n(x)
3.函数f(x)=ax-b的图象如图所示，其中a、b为常数，则下列结论不正确的有
（填序号）.
　 ①a＞1,b＜0
②a＞1,b＞0
③0＜a＜1,b＞0
④0＜a＜1,b＜0
答案 ①②③
4.关于函数f(x)=2x-2-x(x∈R)，有下列三个结论：
　①f(x)的值域为R；
　②f(x)是R上的增函数；
　③对任意x∈R,有f(-x)+f(x)=0成立.
　其中正确结论的序号是
5.已知集合M=，则MN=
.　答案例1已知a=,b=9.求：
　　（2）.
（1）原式=.÷［a?］
　　　= =a.
∵a=，∴原式=3.
　　（2）方法一
化去负指数后解.
∵a=∴a+b=
　　　方法二
利用运算性质解.
∵a=∴a+b=
例2函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,则f(bx)
f(cx).(用&≤&，&≥&，&＜&，&＞&填空)
　　答案≤
例3求下列函数的定义域、值域及其单调区间：
（1）f(x)=3;
　　(2)g(x)=-(.
　　解 （1）依题意x2-5x+4≥0,
　　解得x≥4或x≤1,
　　∴f（x）的定义域是（-∞，1］∪［4，+∞）.
令u=∵x∈（-∞，1］∪［4，+∞），
∴u≥0，即≥0，而f(x)=3≥30=1,
∴函数f(x)的值域是［1，+∞）.
∵u=,∴当x∈（-∞，1］时，u是减函数，
当x∈［4，+∞）时，u是增函数.而3＞1,∴由复合函数的单调性可知，
f（x）=3在（-∞，1］上是减函数，在［4，+∞）上是增函数.
故f（x）的增区间是［4，+∞），减区间是（-∞，1］.
　　（2）由g(x)=-(
∴函数的定义域为R，令t=(x (t＞0),∴g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9,
∵t＞0,∴g(t)=-(t-2)2+9≤9,等号成立条件是t=2,
即g(x)≤9,等号成立条件是(=2，即x=-1，∴g（x）的值域是（-∞，9］.
由g(t)=-(t-2)2+9 (t＞0),而t=(是减函数，∴要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间，
求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间.
∵g（t）在（0，2］上递增，在［2，+∞）上递减，
由0＜t=(≤2,可得x≥-1,由t=(≥2,可得x≤-1.
∴g（x）在［-1，+∞）上递减，在（-∞，-1］上递增，
故g(x)的单调递增区间是（-∞，-1］，单调递减区间是［-1，+∞）.
　例4（14分）设a＞0,f(x)=是R上的偶函数.
　（1）求a的值；
　（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数.
∵f（x）是R上的偶函数，∴f（-x）=f（x），
2分∴∴（a-=0对一切x均成立，
　∴a-=0，而a＞0,∴a=1.
　（2）证明
在（0，+∞)上任取x1、x2，且x1＜x2,
则f(x1)-f(x2)= +--
∵x1＜x2,∴有
∵x1＞0,x2＞0,∴x1+x2＞0,∴＞1,
-1＜0.∴f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2),
　故f(x)在（0,+∞）上是增函数.
1.化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1）（2）
（1）原式=
（2）原式=-
2.已知实数a、b满足等式，下列五个关系式：
①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0＜a＜b;④b＜a＜0;⑤a=b.
其中不可能成立的有
（填序号）.
3.求下列函数的单调递增区间：
（1）y=(;(2)y=2.
（1）函数的定义域为R.
　令u=6+x-2x2,则y=(.
　∵二次函数u=6+x-2x2的对称轴为x=,
　在区间［，+∞）上，u=6+x-2x2是减函数，
　又函数y=(u是减函数，
　∴函数y=(在［，+∞）上是增函数.
　故y=(的单调递增区间为［，+∞）.
　（2）令u=x2-x-6,则y=2u,
∵二次函数u=x2-x-6的对称轴是x=,
在区间［，+∞）上u=x2-x-6是增函数.
又函数y=2u为增函数，
∴函数y=2在区间［，+∞）上是增函数.
故函数y=2的单调递增区间是［，+∞）.
4.已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)=.
　（1）求f（x)在［-1，1］上的解析式；
　（2）证明：f(x)在（0，1）上是减函数.
当x∈(-1,0)时，-x∈(0,1).
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-.由f(0)=f(-0)=-f(0)，且f(1)=-f(-1)=-f(-1+2) =-f(1),
　得f(0)=f(1)=f(-1)=0.∴在区间［-1，1］上，有f（x）=
当x∈(0,1)时，f(x)=
设0＜x1＜x2＜1,
则f(x1)-f(x2)=
∵0＜x1＜x2＜1,∴2-＞0， -1＞0,∴f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2),
故f(x)在（0，1）上单调递减.
一、填空题
1.2的大小顺序为
2.若a＜0,则2a,(0.2)a的大小顺序为
(0.2)a＞＞2a
3.若函数y=4x-3?2x+3的定义域为集合A，值域为［1，7］，集合B=（-∞，0］∪［1，2］，则集合A与集合B的关系为
4.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=(a+1)1-x在区间［1，2］上都是减函数，则a的取值范围是
5.(2009?常州二中期中)当函数f(x)=2-|x-1|-m的图象与x轴有公共点时，实数m的取值范围是
6.当x＞0时，函数f(x)=(a2-1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是
7.若函数f(x)=ax-1 (a＞0,a≠1)的定义域和值域都是［0，2］，则实数a等于
.　答案8.函数y=ax（a＞0,且a≠1）在［1，2］上的最大值比最小值大，则a的值是
二、解答题
9.要使函数y=1+2x+4xa在x∈（-∞，1］上y＞0恒成立，求a的取值范围.
由题意得1+2x+4xa＞0在x∈（-∞,1］上恒成立，即a＞-在x∈（-∞，1］上恒成立.
　又∵-=-(
　∵x∴(.令t=(
则f(t)在［,+∞）上为减函数，
f(t)≤f(=-(
　∵a＞f(t),∴a∈（-，+∞）.
10.已知函数f(x)=(
　（1）求f(x)的定义域；
　（2）讨论f(x)的奇偶性；
　（3）证明：f(x)＞0.
由2x-1≠0x≠0,∴定义域为（-∞,0）∪(0,+∞).
可化为f(x)=则f(-x)=∴f(x)=（x3是偶函数.
　（3）证明
当x＞0时，2x＞1,x3＞0.
∴（x3＞0.
∵f(x)为偶函数，∴当x＜0时，f(x)=f(-x)＞0.
综上可得f(x)＞0.
11.已知函数f(x)=（ax-a-x） (a＞0，且a≠1).
(1)判断f(x)的单调性；
　（2）验证性质f(-x)=-f(x),当x∈(-1,1)时，并应用该性质求满足f(1-m)+f(1-m2)＜0的实数m的范围.
解 （1）设x1＜x2,x1-x2＜0,1+＞0.
若a＞1,则, ＞0,
所以f(x1)-f(x2)=＜0，
即f(x1)＜f(x2),f(x)在（-∞,+∞）上为增函数；
同理，若0＜a＜1，则,＜0,
f(x1)-f(x2)=(1+)＜0,
即f(x1)＜f(x2),f(x)在（-∞,+∞）上为增函数.
综上，f(x)在R上为增函数.
　（2）f(x)=则f(-x)=,
显然f(-x)=-f(x).f(1-m)+f(1-m2)＜0,
即f(1-m)＜-f(1-m2)f(1-m)＜f(m2-1),
函数为增函数，且x∈(-1,1)，故解-1＜1-m＜m2-1＜1,可得1＜m＜.
12.已知f（x）=.
　（1）判断函数的奇偶性；
　（2）证明：f（x）是定义域内的增函数；
　（3）求f（x）的值域.
∵f（x）的定义域为R，
且f（-x）==-f（x），
∴f（x）是奇函数.
令x2＞x1，则f（x2）-f（x1）=(1-　当x2＞x1时，10-10＞0.又∵10+1＞0,10+1＞0，
　故当x2＞x1时，f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）.所以f（x）是增函数.
考虑复合函数的增减性.
　由f（x）=∵y1=10x为增函数，
　∴y2=102x+1为增函数，y3=为减函数，
　y4=-为增函数，f(x)=1-为增函数.
　∴f（x）=在定义域内是增函数.
令y=f（x），由y=解得102x=.
∵102x＞0，∴-1＜y＜1.
即f（x）的值域为（-1，1）.
∵f（x）=1-,∵102x＞0,∴102x+1＞1.
∴0＜＜2,∴-1＜1-＜1,即值域为(-1,1).
对数与对数函数
1.（2008?全国Ⅱ理）若x∈(e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则a,b,c的大小关系为
2.已知3a=5b=A,且=2，则A的值是
.答案3.已知log7［log3(log2x)］=0，那么x=
.答案4.若f(x)=logax在［2，+∞）上恒有f(x)＞1,则实数a的取值范围是
答案 （1，2）
5.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y (m2)与时间t(月）的关系：y=at,有以下叙述：
①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2;③浮萍从4 m2
蔓延到12 m2需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到2 m2、
3 m2、6 m2所经过的时间分别为t1、t2、t3,则t1+t2=t3.
其中正确的是
（填序号）.
答案①②⑤　　例1
计算：（1）
（2)2(lg)2+lg?lg5+;
　(3)lg-lg+lg.
　解 （1）方法一
利用对数定义求值
　设（2-)=x,则(2+)x=2-==（2+）-1,∴x=-1.
利用对数的运算性质求解
(2-)==(2+)-1=-1.
　(2)原式=lg（2lg+lg5）+=lg(lg2+lg5)+|lg-1|
=lg+(1-lg)=1.
（3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245
= (5lg2-2lg7)-×lg2+ (2lg7+lg5)
=lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5
=lg(2×5)= lg10=.
例2比较下列各组数的大小.
（1）log3与log5;
　(2)log1.10.7与log1.20.7;
　(3)已知logb＜loga＜logc,比较2b,2a,2c的大小关系.
（1）∵log3＜log31=0,
　而log5＞log51=0,∴log3＜log5.
　(2)方法一
∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2,
∴0＞log＞ log,∴即由换底公式可得log1.10.7＜log1.20.7.
作出y=log1.1x与y=log1.2x的图象.
　如图所示两图象与x=0.7相交可知log1.10.7＜log1.20.7.
　(3)∵y=log为减函数，且logb＜loga＜logc,
　∴b＞a＞c,而y=2x是增函数，∴2b＞2a＞2c.
例3（14分）已知函数f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围.
当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0.
　所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在［3，+∞）上为增函数，
　∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥loga3.
　因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立.
　只要loga3≥1=logaa即可，∴1＜a≤3.
　当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0,
　∴|f(x)|=-f(x).
　∵f（x）=logax在［3，+∞）上为减函数，
　∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数.
　∴对于任意x∈［3，+∞）都有
　|f(x)|=-f(x)≥-loga3.
　因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立，
　只要-loga3≥1成立即可，
　∴loga3≤-1=loga,即≤3,∴≤a＜1.
　　综上，使|f(x)|≥1对任意x∈［3，+∞）都成立的a的取值范围是：(1，3］∪［，1）.
例4 已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.
　（1）证明点C、D和原点O在同一直线上；
　（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.
设点A、B的横坐标分别为x1、x2,
　由题设知x1＞1,x2＞1,则点A、B的纵坐标分别为log8x1、log8x2.
　因为A、B在过点O的直线上，所以
　点C、D的坐标分别为(x1,log2x1)、(x2,log2x2),
　由于log2x1==3log8x1,log2x2=3log8x2,
　OC的斜率为k1=,
　OD的斜率为k2=由此可知k1=k2,即O、C、D在同一直线上.
由于BC平行于x轴，知log2x1=log8x2，即得log2x1=log2x2,x2=x31,
　代入x2log8x1=x1log8x2，得x31log8x1=3x1log8x1,由于x1＞1,知log8x1≠0,故x31=3x1,
　又因x1＞1,解得x1=,于是点A的坐标为（，log8).
1.化简求值.
（1）log2+log212-log242-1;
　(2)(lg2)2+lg2?lg50+lg25;
　(3)(log32+log92)?(log43+log83).
解 (1)原式=log2+log212-log2-log22=log2(2)原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.
2.已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则loga的大小关系是
.答案3.已知函数f（x）=log2(x2-ax-a)在区间（-∞,1-］上是单调递减函数.求实数a的取值范围.
令g(x)=x2-ax-a,则g(x)=（x-）2-a-,
　由以上知g(x）的图象关于直线x=对称且此抛物线开口向上.
　因为函数f(x)=log2g(x)的底数2＞1,
　在区间（-∞,1-］上是减函数，
　所以g(x)=x2-ax-a在区间（-∞,1-］上也是单调减函数，且g(x)＞0.　∴　解得2-2≤a＜2.
　故a的取值范围是{a|2-2≤a＜2}.
4.已知函数f(x)=log2+log2(x-1)+log2(p-x).
（1）求f(x)的定义域；
（2）求f(x)的值域.
　解 （1）f(x)有意义时，有
　由①、②得x＞1,由③得x＜p,因为函数的定义域为非空数集，故p＞1,f(x)的定义域是(1,p).
　（2）f(x)=log2［(x+1)(p-x)］
=log2［-（x-）2+］ (1＜x＜p),
①当1＜＜p，即p＞3时，0＜-(x-,∴log2≤2log2(p+1)-2.
②当≤1，即1＜p≤3时，
∴log2＜1+log2(p-1).
综合①②可知：
当p＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log2(p+1)-2］;
当1＜p≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log2(p-1)).
一、填空题
1.若函数y=loga(x+b) (a＞0,且a≠1)的图象过两点（-1，0）和（0，1），则a=
2.设a＞1,函数f(x)=logax在区间［a,2a］上的最大值与最小值之差为，则a=
43.已知点（m,n)在函数f(x)=ax的图象上，则点
一定在函数g(x)=-logax (a＞0,a≠1)的图象上（写出一个即可）.
4.函数y=log(x2-3x+2)的递增区间是
答案（-∞,1）
5.方程log3(x2-10)=1+log3x的解是
6.函数f（x）=ax+loga（x+1）在［0，1］上的最大值和最小值之和为a，则a的值为
.　答案7.计算(log3)2-3+log
+9log -log
.答案8.若a2＞b＞a＞1，则logb,logab,logba从小到大的依次排列为
　答案logb＜logba＜logab
二、解答题
9.已知函数f(x)=loga(x+1)(a＞1),若函数y=g(x)图象上任意一点P关于原点对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象.
（1）写出函数g(x)的解析式；
（2）当x∈［0，1）时总有f(x)+g(x)≥m成立，求m的取值范围.
（1）设P（x，y）为g(x)图象上任意一点，
　则Q（-x，-y）是点P关于原点的对称点，
　∵Q（-x，-y）在f(x)的图象上，
　∴-y=loga（-x+1），即y=g(x)=-loga(1-x).
（2）f(x)+g(x)≥m,即loga≥m.
　设F（x）=loga,x∈［0，1），
　由题意知，只要F（x）min≥m即可.
　∵F（x）在［0，1）上是增函数，
　∴F（x）min=F（0）=0.故m≤0即为所求.
10.已知函数y=log(x2-2ax-3)在(-∞,-2)上是增函数，求a的取值范围.
因为(x)=x2-2ax-3在(-∞,a］上是减函数，
在［a,+∞)上是增函数，
要使y= log(x2-2ax-3)在(-∞,-2)上是增函数，
首先必有0＜a2＜1,
即0＜a＜1或-1＜a＜0,且有
得a≥-.综上，得-≤a＜0或0＜a＜1.
11.已知定义域为R的函数f（x）为奇函数，且满足f(x+2)=-f(x)，当x∈［0，1］时，f(x)=2x-1.
　（1）求f(x)在［-1，0）上的解析式；
　（2）求f(log24).
(1)令x∈［-1，0），则-x∈（0，1］，∴f（-x）=2-x-1.
又∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），∴-f（x）=f（-x）=2-x-1，
∴f（x）=-(x+1.
（2）∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴f(x)是以4为周期的周期函数,
∵log24=-log224∈(-5,-4),∴log24+4∈(-1,0),
∴f(log24)=f(log24+4)=-(+1=-24×+1=-.
12.已知函数f(x)=loga (a＞0,且a≠1，b＞0).
　（1）求f(x)的定义域；
　（2）讨论f(x)的奇偶性；
　（3）讨论f(x）的单调性.
解 （1）由＞0(x+b)(x-b)＞0.
解得f(x)的定义域为（-∞,-b）∪(b,+∞).
　（2）∵f（-x）=loga(
∴f（x）为奇函数.
（3）令u（x）=，则u(x)=1+
　　它在（-∞,-b）和(b,+∞)上是减函数.
　　∴当0＜a＜1时，f(x)分别在（-∞,-b)和(b,+∞)上是增函数；
当a＞1时，f(x)分别在(-∞,-b)和（b,+∞)上是减函数.
　　基础自测
1.下列函数中：①y=②y=3x-2;③y=x4+x2;④y=是幂函数的个数为
22.（2008?山东文，4）给出命题：若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是
13.下列说法不正确的命题的序号是
①幂函数一定是奇函数或偶函数
②任意两个幂函数图象都有两个以上交点
③如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个幂函数相同
④图象不经过（-1，1）的幂函数一定不是偶函数
　4.若幂函数f(x)的图象经过点(3,)，则其定义域为
{x|x∈R,且x≠0}
　5.若(a+1)＜(3-2a)，则a的取值范围是
(　例1已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3，m为何值时，f(x)是:（1）幂函数；（2）幂函数，且是(0,+∞)上的增函数；
（3）正比例函数；（4）反比例函数；（5）二次函数.
解 （1）因f（x）是幂函数，故m2-m-1=1，即m2-m-2=0,
　解得m=2或m=-1.
（2）若f（x）是幂函数且又是（0，+∞）上的增函数，
　则∴m=-1.
　（3）若f(x)是正比例函数，则-5m-3=1,解得m=-,
此时m2-m-1≠0,故m=-.
　（4）若f(x)是反比例函数，则-5m-3=-1,
则m=-,此时m2-m-1≠0,故m=-.
　（5）若f(x)是二次函数，则-5m-3=2,即m=-1,此时m2-m-1≠0，故m=-1.
综上所述，当m=2或m=-1时，f(x)是幂函数;当m=-1时，f(x)既是幂函数，又是(0,+∞)上的增函数;
当m=-时，f(x)是正比例函数;当m=-时，f（x）是反比例函数;
当m=-1时，f（x）是二次函数.
例2点（，2）在幂函数f（x）的图象上，点（-2，在幂函数g（x）的图象上，问当x为何值时，有f（x）＞g（x），f（x）=g（x），f（x）＜g（x）.
设f（x）=xα，则由题意得2=（）α，
　∴α=2，即f（x）=x2，再设g（x）=xβ，
　则由题意得=（-2）β，
　∴β=-2，即g（x）=x-2，在同一坐标系中作出f（x）与g（x）的图象，如图所示.
　由图象可知：
　①当x＞1或x＜-1时，
　f（x）＞g（x）；
　②当x=±1时，f（x）=g（x）；
　③当-1＜x＜1且x≠0时，
　f（x）＜g（x）.
(14分) 已知幂函数f(x)=x（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数.
（1）求函数f(x);
（2）讨论F（x）=a的奇偶性.
解 （1）∵f（x）是偶函数，∴m2-2m-3应为偶数.
又∵f（x）在(0，+∞)上是单调减函数，
∴m2-2m-3＜0,∴-1＜m＜3.
又m∈Z，∴m=0，1，2.
当m=0或2时，m2-2m-3=-3不是偶数，舍去；
当m=1时，m2-2m-3=-4;
∴m=1,即f(x)=x-4.
　（2）F（x）=，
∴F（-x）=+bx3.
　　①当a≠0，且b≠0时，F（x）为非奇非偶函数；
　　②当a=0,b≠0时，F（x）为奇函数；
　　③当a≠0,b=0时，F（x）为偶函数；
　　④当a=0,b=0时，F（x）既是奇函数，又是偶函数.
1.已知函数f(x)=(m2+2m)?x,m为何值时，f(x)是
　(1)幂函数；
（2）正比例函数；
（3）反比例函数；
（4）二次函数.
　解 （1）若f(x)为幂函数，则m2+2m=1,∴m=-1±.
（2）若f(x)为正比例函数，则　（3）若f(x)为反比例函数，则　　（4）若f(x)为二次函数，则.2.已知幂函数y=x的图象与x、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求整数n的值并画出该函数的草图.
∵函数图象与x、y轴都无公共点，
　∴n2-2n-3≤0，∴-1≤n≤3.
　又∵n为整数，∴n∈{-1，0，1，2，3}.
　又图象关于y轴对称，∴n2-2n-3为偶数.
　∴n=-1，1，3.
　当n=-1和3时，n2-2n-3=0，
　y=x0图象如图（1）所示；
　当n=1时，y=x-4，图象如图（2）所示.
3.幂函数y=x-1及直线y=x,y=1,x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个&卦限&：①、②、③、④、⑤、
⑥、⑦、⑧（如图所示），那么幂函数y=x的图象经过的&卦限&是
幂函数y=x在第一象限内的图象（如图所示）有如下特点：
　（1）图象必过（1，1）点；
（2）当＞1时，函数的图象过（0，0）点，且在第一象限是增函数，图象过②⑥&卦限&并向y轴方向延伸；
（3）当=1时，函数的图象是直线y=x;
（4）当0＜＜1时，函数在第一象限是增函数，图象过①⑤&卦限&并向x轴方向延伸；
（5）当＜0时，函数在第一象限是减函数，图象过③⑦或④⑧&卦限&与x轴、y轴无限接近，但永不相交.
由于0＜＜1,故图象过①⑤&卦限&.　　　　
一、填空题
1.设∈{-1,1, ,3}，则使函数y=x的定义域为R且为奇函数的所有的值为
2.幂函数f(x)=x(是有理数）的图象过点（2，），则f(x)的一个单调递减区间是
（0，+∞）
3.如果幂函数y=（m2-3m+3）x的图象不过原点，则m的取值是
4.如图所示，曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n取±2、±四个值，则相应的曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为
2，，-，-2
5.（2008?山东文）设函数f(x)=则f(的值为
.　答案6.设f(x)=x3+x,则对任意实数a，b，&a+b≥0&是&f(a)+f(b)≥0&的
7.当0＜x＜1时，f(x)=x2,g(x)=x,h(x)=x-2,则f(x),g(x)，h(x）的大小关系是
h(x)＞g(x)＞f(x)
8.给出封闭函数的定义：若对于定义域D内的任意一个自变量x0,都有函数值f(x0)∈D,则称函数y=f(x)在D上封闭.若定义域D=（0，1），则函数①f1(x)=3x-1;②f2(x)=- -x+1;③f3(x)=1-x;④ f4(x)=x,其中在D上封闭的是
.（填序号即可）
二、解答题
9.求函数y=(m∈N)的定义域、值域，并判断其单调性.
　解 ∵m2+m+1=m(m+1)+1必为奇数，
　且m2+m+1=（m+）2+＞0,
　∴函数的定义域为R，
　类比y=x3的图象可知，所求函数的值域为R，
　在(-∞,+∞）上所求函数是单调递增函数.
10.已知f(x)=（n=2k,k∈Z）的图象在［0，+∞）上单调递增，解不等式f(x2-x)＞f(x+3).
由条件知＞0,
-n2+2n+3＞0,解得-1＜n＜3.
　又n=2k,k∈Z,∴n=0,2.
　当n=0,2时，f(x)=x.∴f(x)在R上单调递增.
　∴f（x2-x）＞f(x+3)转化为x2-x＞x+3.
　解得x＜-1或x＞3.
　∴原不等式的解集为（-∞，-1）∪（3，+∞）.
11.指出函数f（x）=的单调区间，并比较f（-π）与f(-的大小.
解 ∵f（x）==1+=1+（x+2）-2，其图象可由幂函数y=x-2向左平移2个单位，再向上平移1个单位,该函数在（-2，+∞）上是减函数，在（-∞,-2）上是增函数，且其图象关于直线x=-2对称（如图）.
又∵-2-（-π）=π-2＜--（-2）=2-，
　∴f（-π）＞f(-).
12.已知函数f(x)=，g(x)=.
　（1）证明f(x)满足f(-x)=-f(x),并求f(x）的单调区间；
（2）分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有
不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明.
　（1）证明
f（-x）==-f(x),
设x1＞x2＞0,由于y=x在R上递增，∴x＞x.又(x1x2)-＞0，
∴f（x1）-f（x2）=（x-x1-x2+ ）=＞0.
即f(x)在（0，+∞）上递增.
同理f(x)在（-∞,0)上也递增.
故f(x)在（-∞,0)和（0，+∞）上单调递增.
f(4)-5f(2)g(2)=0,f(9)-5f(3)g(3)=0,
且f(x2)-5f(x)g(x)=0.
证明如下：
f(x2)-5f(x)g(x)=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　§2.7 函数与方程
1.函数f(x)=3ax-2a+1在［-1，1］上存在一个零点，则a的取值范围是
　答案a≥或a≤-1
2.已知函数f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为
.　答案03.函数f(x)=ex-的零点个数为
4.如果二次函数y=x2+mx+（m+3）有两个不同的零点，则m的取值范围是
　答案（-∞，-2）∪（6,+∞）
5.若函数f(x)=2x2-ax+3有一个零点为，则f(1)=
　　　答案
判断下列函数在给定区间上是否存在零点.
　　（1）f(x)=x2-3x-18,x∈［1，8］；
　　（2）f(x)=x3-x-1,x∈［-1，2］；
　　（3）f(x)=log2(x+2)-x,x∈［1，3］.
　　解（1）方法一
因为f(1)=-20＜0,f(8)=22＞0，
　　所以f(1)?f(8)＜0，故f(x)=x2-3x-18，x∈［1，8］存在零点.
令x2-3x-18=0,解得x=-3或6,
所以函数f(x)=x2-3x-18,x∈［1，8］存在零点.
　（2）∵f（-1）=-1＜0,f(2)=5＞0,
∴f（x）=x3-x-1，x∈［-1，2］存在零点.
　（3）∵f（1）=log2（1+2）-1＞log22-1=0.
f(3)=log2(3+2)-3＜log28-3=0.∴f（1）?f（3）＜0
故f(x)=log2(x+2)-x在x∈［1，3］上存在零点.
求函数y=lnx+2x-6的零点个数.
在同一坐标系画出y=lnx与y=6-2x的图象，由图可知两图象只有一个交点，
故函数y=lnx+2x-6只有一个零点.
例3 （14分）（1）若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点，求实数a的值；
　（2）若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点，求实数a的取值范围.
　解（1）若a=0，则f(x)=-x-1,
　令f(x)=0,即-x-1=0,得x=-1,故符合题意；
　若a≠0，则f(x)=ax2-x-1是二次函数，
　故有且仅有一个零点等价于Δ=1+4a=0，
　解得a=-，
　综上所述a=0或a=-.
（2）若f(x)=|4x-x2|+a有4个零点，
即|4x-x2|+a=0有四个根，即|4x-x2|=-a有四个根.
　令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.
　作出g(x)的图象，由图象可知如果要使|4x-x2|=-a有四个根，
　那么g(x)与h（x)的图象应有4个交点.
　故需满足0＜-a＜4,即-4＜a＜0.
　∴a的取值范围是（-4,0）.
例4 用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间［1，1.5］内的一个零点（精确度0.1）.
由于f(1)=1-1-1=-1＜0,f(1.5)=3.375-1.5-1=0.875＞0,
　∴f(x)在区间［1，1.5］上存在零点，取区间［1，1.5］作为计算的初始区间，
　用二分法逐次计算列表如下：　端（中）点坐标中点函数值符号
零点所在区间|an-bn|0.51.25f(1.25)＜00.251.375
f(1.375)＞0
[1.312 5，1.37]0.
f(1.312 5)＜00．062 5　∵|1.375-1.312 5|=0.062 5＜0.1，
　∴函数的零点落在区间长度小于0.1的区间［1.312 5，1.375］内，故函数零点的近似值为1.312 5.
1.求下列函数的零点：
　(1)y=x3-7x+6;(2)y=x+-3.
　解（1）∵x3-7x+6=(x3-x)-(6x-6)
=x(x2-1)-6(x-1)=x(x+1)(x-1)-6(x-1)
=(x-1)(x2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3)
解x3-7x+6=0,即(x-1)(x-2)(x+3)=0
可得x1=-3,x2=1,x3=2.
　∴函数y=x3-7x+6的零点为-3,1,2.
　解x+即=0,可得x=1或x=2.
　∴函数y=x+-3的零点为1，2.
2.已知函数f(x)=ax+ (a＞1),判断f(x)=0的根的个数.
设f1(x)=ax (a＞1),f2(x)=-,则f(x)=0的解即为f1(x)=f2(x)的解，即为函数f1(x)与f2(x)图象交点的横坐标.
　在同一坐标系中，作出函数f1(x)=ax(a＞1)与f2(x)=--1的图象（如图所示）.
　两函数图象有且只有一个交点，即方程f(x)=0有且只有一个根.
3.已知函数f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围.
方法一 设方程x2+(a2-1)x+(a-2)=0的两根分别为x1,x2 (x1＜x2),
　则(x1-1)(x2-1)＜0,∴x1?x2-(x1+x2)+1＜0,
　由韦达定理得(a-2)+(a2-1)+1＜0,
　即a2+a-2＜0,∴-2＜a＜1.
函数的大致图象如图所示,
　则有f(1)＜0,即1+(a2-1)+a-2＜0,
　a2+a-2＜0,∴-2＜a＜1.
4.利用计算器，求方程lgx=3-x的近似解.（精确到0.1）
如图，由函数y=lgx与y=3-x的图象可以发现，方程lgx=3-x有唯一解，记为x1，
　并且这个解在区间（2，3）内.
　设f（x）=lgx+x-3，用计算器计算，得：
　f（2）＜0，f(3)＞0x1∈(2,3)
　f(2.5)＜0,f(3)＞0x1∈(2.5,3)
　f(2.5)＜0,f(2.75)＞0x1∈(2.5,2.75)，
　f(2.5)＜0,f(2.625)＞0x1∈(2.5,2.625)，
　f(2.562 5)＜0,f(2.625)＞0x1∈(2.562 5,2.625).
　因为2.625与2.562 5精确到0.1的近似值都为2.6,所以原方程的近似解为:x1≈2.6.　　一、填空题
1.下列函数中在区间［1，2］上存在零点的函数的序号是
　①f（x）=3x2-4x+5
②f（x）=x3-5x-5
③f（x）=mx-3x+6
④f（x）=ex+3x-6
2.如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是 　　　　　（填序号）.
　答案①③
3.设函数y=x3与y=(x-2的图象交点为（x0,y0），则x0所在的区间是
(写出一个精确到整数的端点的区间即可)
　答案（1，2）
4.f(x)=的零点个数为
.　答案15.若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是
答案（-2，2）
6.已知f(x)=1-(x-a)(x-b) (a＜b),m,n是f(x)的零点，且m＜n,则实数a,b,m,n的大小关系是
答案m＜a＜b＜n
7.若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是
8.关于x的实系数方程x2-ax+2b=0的一根在区间［0，1］上，另一根在区间［1，2］上，则2a+3b的最大
二、解答题
9.已知二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间［-1，1］内至少存在一个实数c,使f(c)＞0，求实数p的取值范围.
二次函数f(x)在区间［-1，1］内至少存在一个实数c,使f(c)＞0的否定是对于区间［-1，1］内的任意一个x都有f(x)≤0,　∴即
整理得：解得：p或p.
∴二次函数在区间［-1，1］内至少存在一个实数c，使f(c)＞0的实数p的取值范围是(-3,
10.若关于x的方程3x2-5x+a=0的一个根在（-2，0）内，另一个根在（1，3）内，求a的取值范围.
设f(x)=3x2-5x+a,则f(x)为开口向上的抛物线（如图所示）.
∵f（x）=0的两根分别在区间（-2，0），（1，3）内，∴即
解得-12＜a＜0.所求a的取值范围是（-12，0）.
11.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间［0，2］上有解，求实数m的取值范围.
设f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈［0，2］，
①若f(x)=0在区间［0，2］上有一解，
∵f（0）=1＞0,则应有f(2)≤0,
又∵f（2）=22+（m-1）×2+1,∴m≤-.
②若f(x)=0在区间［0,2］上有两解,则
由①②可知m≤-1.
12.已知a、b是不全为0的实数，求证：方程3ax2+2bx-（a+b）=0在（0，1）内一定有实根.
若a=0时，则b≠0，
此时方程的根为x=，满足题意.
当a≠0时，令f（x）=3ax2+2bx-（a+b）.
　（1）若a(a+b)＜0,
则f（0）?f（）=-（a+b）?(-a)=a（a+b）＜0，
所以f（x）在区间(0,内有一实根.
　（2）若a（a+b）≥0，
则f(f（1）=(-)（2a+b）
=-a2-a（a+b）＜0，
所以f（x）在区间(，1）内有一实根.
综上所述，方程3ax2+2bx-(a+b)=0在（0，1）内一定有实根.
§2.8函数模型及其应用
1.一等腰三角形的周长是20，底边y是关于腰长x的函数，它的解析式为
　答案y=20-2x (5＜x＜10)
2.我国为了加强对烟酒生产的宏观调控，除了应征税外还要征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元，不
收附加税时，每年大约销售100万瓶，若每销售100元国家要征附加税为x元（税率x%），则每年销售量减少10x万瓶，为了要使每年在此项经营中收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为
.　答案23.已知光线每通过一块玻璃板，光线的强度要损失10%，要使通过玻璃板的光线的强度减弱到原来强度的以下，则至少需要重叠
4.某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K（Q）=40Q-Q2，则总利润L（Q）的最大值是
2 500　例1如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（b＜a）,在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积.
设四边形EFGH的面积为S，
　则S△AEH=S△CFG=x2,
　S△BEF=S△DGH=（a-x）（b-x），
　∴S=ab-2［2+（a-x）（b-x）］
=-2x2+（a+b）x=-2（x-2+
　由图形知函数的定义域为{x|0＜x≤b}.
　又0＜b＜a,∴0＜b＜,若≤b,即a≤3b时，
　则当x=时，S有最大值;
　若＞b,即a＞3b时，
　S（x）在（0,b］上是增函数，
　此时当x=b时，S有最大值为
　-2(b-)2+=ab-b2,
　综上可知，当a≤3b，x=时，
　四边形面积Smax=,
　当a＞3b，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2.
例2据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度
v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴
的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过
的路程s（km）.
　（1）当t=4时，求s的值；
　（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由.
解 （1）由图象可知：
当t=4时，v=3×4=12,
　∴s=×4×12=24.
　（2）当0≤t≤10时，s=?t?3t=t2，
当10＜t≤20时，s=×10×30+30（t-10）=30t-150；
当20＜t≤35时，s=×10×30+10×30+(t-20)×30-×(t-20)×2(t-20)=-t2+70t-550.
　　综上可知s=
(3)∵t∈［0，10］时，smax=×102=150＜650.
t∈（10，20］时，smax=30×20-150=450＜650.
∴当t∈（20，35］时，令-t2+70t-550=650.
　解得t1=30,t2=40,∵20＜t≤35,
　∴t=30，所以沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城.
例3（14分）日&世界60亿人口日&，提出了&人类对生育的选择将决定世界未来&的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.
（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？
（2）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？
　以下数据供计算时使用：数N1.71.对数lgN0.004 30.006 50.007 30.117 30.301 0数N3..对数lgN0.477 10.699 01.096 21.117 61.139 2
　解 （1）设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y，
　则y?（1+x）n=60，则当n=40时，y=30，
　即30（1+x）40=60，∴（1+x）40=2，
　两边取对数，则40lg（1+x）=lg2，
　则lg（1+x）==0.007 525，
∴1+x≈1.017，得x=1.7%.
（2）依题意，y≤12.48（1+1%）10，
得lgy≤lg12.48+10×lg1.01=1.139 2,
∴y≤13.78，故人口至多有13.78亿.
每年人口平均增长率为1.7%，2008年人口至多有13.78亿.
1.某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值.
设每个提价为x元（x≥0），利润为y元，每天销售总额为（10+x）（100-10x）元，
　进货总额为8（100-10x）元，
　显然100-10x＞0,即x＜10,
　则y=（10+x）（100-10x）-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360 (0≤x＜10).
　当x=4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元.
2.某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R（x）=5x-（万元）(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量（单位：百台）.
（1）把利润表示为年产量的函数；
（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？
（3）年产量是多少时，工厂才不亏本？
　解 （1）当x≤5时，产品能售出x百台；
　当x＞5时，只能售出5百台，
　故利润函数为L（x）=R（x）-C（x）=(2)当0≤x≤5时，L（x）=4.75x--0.5，
当x=4.75时，L(x)max=10.781 25万元.
当x＞5时，L（x）=12-0.25x为减函数，
此时L（x）＜10.75(万元）.∴生产475台时利润最大.（3）由　　得x≥4.75-=0.1(百台）或x＜48(百台).
　　∴产品年产量在10台至4 800台时，工厂不亏本.
3.某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件.为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模型来模拟该产品的月产量y与月份数x的关系.模拟函数可以选用二次函数f(x)或函数g(x)=abx+c(其中a、b、c为常数）.已知4月份该产品的产量为1.37万件.请问用以上哪个函数作为函数模型较好?并说明理由.
设f(x)=px2+qx+r(p≠0)，则有
　解得p=-0.05，q=0.35，r=0.7.
∴f（4）=-0.05×42+0.35×4+0.7=1.3.又解得a=-0.8，b=0.5，c=1.4.
∴g（4）=-0.8×0.54+1.4=1.35.
经比较可知，用g（x）=-0.8×（0.5）x+1.4作为模拟函数较好.
一、填空题
1.某机床在生产中所需垫片可以外购，也可自己生产，其中外购的单价是每个1.10元，若自己生产，则每月需投资固定成本800元，并且每生产一个垫片还需材料费和劳务费共0.60元.设该厂每月所需垫片x个，则自己生产垫片比外购垫片较合算的条件是x＞
2.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，
开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备用，
当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为分别为
3.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年）的函数关系如图所示，下列四种说法：
　①前三年中，产量增长的速度越来越快；
　②前三年中，产量增长的速度越来越慢；
　③第三年中，产品停止生产；
　④第三年中，这种产品产量保持不变.
　其中说法正确的是
（填序号）.
　答案②③
4.某产品的总成本y（万元）与产量x(台）之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x2,x∈(0,240),若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量为
5.某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时）之间的关系用如图所示曲线表示.据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗该疾病有效的时间为
小时.　答案46.某商店计划投入资金20万元经销甲、乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P（万元）和Q（万元），且它们与投入资金x（万元）的关系是：P=，Q=（a＞0）.若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中一种商品所获得的纯利润总和不少于5万元，则a的最小值应为
.　答案7.某种商品进货单价为40元，若按每个50元的价格出售，能卖出50个，若销售单价每上涨1元，则销售
量就减少1个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应定为
708.某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：
①如一次购物不超过200元，不予以折扣；
②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；
③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠；某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款
二、解答题
9.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x吨.
（1）求y关于x的函数；
（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.
　解 （1）当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，
　乙的用水量也不超过4吨，y=（5x+3x）×1.8=14.4x;
　当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，
　即3x≤4且5x＞4,
　y=4×1.8+3x×1.8+3×(5x-4)=20.4x-4.8.
　当乙的用水量超过4吨时，
　即3x＞4,y=8×1.8+3(8x-8)=24x-9.6，
　(2)由于y=f(x)在各段区间上均为单调递增，
　当x∈［0，］时,y≤f（）＜26.4;
　当x∈（，］时，y≤f（）＜26.4;
　当x∈（,+∞）时，令24x-9.6=26.4,解得x=1.5,
　所以甲户用水量为5x=7.5吨，
　付费S1=4×1.8+3.5×3=17.70（元);
　乙户用水量为3x=4.5吨，
　付费S2=4×1.8+0.5×3=8.70（元).
10.某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出 厂单价不能低于51元.
　（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
　（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；
（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本）
解 （1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0=100+=550，
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元.
　（2）当0＜x≤100时，P=60；
当100＜x＜550时，P=60-0.02(x-100)=62-;
当x≥550时，P=51，
　所以P=f（x）=
　（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则L=(P-40)x=当x=500时，L=6 000；当x=1 000时，L=11 000，
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；
如果订购1 000个，利润是11 000元.
11.一位牧民计划用篱笆为他的马群围一个面积为1 600 m2的矩形牧场，由于受自然环境的影响，矩形的一边不能超过a m，求用最少篱笆围成牧场后矩形的长与宽.
设一边的长为x m，0＜x≤a,则宽为 m，矩形的周长为W，
　那么W=2（x+，则W=2
　显然当=,即x=40时，
　若a≥40时，周长W最小，其最小值为160，
　此时，矩形的长与宽都是40 m.
若0＜a＜40时，由于函数W=2（x+在区间（0，a］上是减函数，则当x=a时，周长W最小，其最小值为2(a+，此时，矩形的长与宽分别是a m与 m.
　故当a≥40时，矩形的长与宽都是40 m；
　当0＜a＜40时，矩形的长与宽分别是a m与 m.
12.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x（t）与1 t产品的价格p（元/t）之间的关系为：
p=24 200-x2，且生产xt的成本为R（元），其中R=50 000+200x.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入-成本）
每月生产x t时的利润为
f（x）=（24 200-x2）x-（50 000+200x）=-x3+24 000x-50 000 （x≥0），
由=-x2+24 000=0,
解得x1=200,x2=-200(舍去).
因f（x）在［0，+∞）内只有一个极值点x=200且为极大值，故它就是最大值点，且最大值为
f(200)=-(200)3+24 000×200-50 000=3 150 000(元).
故该厂每月生产200吨产品才能使利润达到最大且最大利润为3 150 000元.
单元检测二
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1.函数y=的定义域是
2.函数f(x)同时满足下列条件：①是奇函数；②在［0，1］上是增函数；③在［0，1］上最小值为0,则f(x)=
（写出一个你认为正确的即可）.
3.已知偶函数f(x)满足条件：当xR时，恒有f(x+2)=f(x)，且0≤x≤1时，有 则f的大小关系是
.答案4.当x(1,2)时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是
5.已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=2x-1，则f(log212)的值为
.　答案6.函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=若f(1)=-5，则f(f(5))=
-7.若方程2ax2-x-1=0在（0，1）内恰有一解，则a的取值范围是
8.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是
49.已知函数f(x)=loga(+bx) (a＞0且a≠1)，则下列叙述不正确的是
（填序号）.
　①若a=,b=-1,则函数f(x)为R上的增函数
　②若a=,b=-1,则函数f（x)为R上的减函数
③若函数f(x)是定义在R上的偶函数，则b=±1
④若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则b=1
　答案②③④
10.设函数f（x）=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f（x）=x的解的个数为
311.设函数f(x)=则满足f(x)=的x值为
312.已知函数f(x)=则f(log23)的值为
.答案13.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间［2，3］内的实根，取区间中点x0=2.5,那么下一个有实根的区间是
答案 （2，2.5）
14.（2009?常州市武进区四校高三期中联考）若函数f(x)满足：对于任意x＞0,都有f(x)＞0,对任意x1＞0,x2＞0,都有f(x1)+f(x2)＜f(x1+x2)成立，则称函数f(x)具有性质M.给出下列四个函数：①y=x3,②y=log2(x+1),③y=2x-1,④y=sinx.其中具有性质M的函数是
.(注：把满足题意的所有函数的序号都填上)
二、解答题(本大题共6小题，共90分）
15.（14分）设直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴，对于任意x∈R，f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1时，f(x)=x3.
　（1）证明：f(x)是奇函数；
　（2）当x∈［3，7］时，求函数f(x)的解析式.
　（1）证明
∵x=1是f(x)的图象的一条对称轴，
∴f（x+2）=f(-x).又∵f(x+2)=-f(x),
∴f(x)=-f(x+2)=-f(-x),即f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.
∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=f［（x+2）+2］
=-f（x+2）=f（x），∴T=4.若x∈［3，5］，则(x-4)∈［-1，1］，
∴f（x-4）=(x-4.)3又∵f(x-4)=f(x),
∴f(x)=(x-4)3,x∈［3，5］.若x∈(5，7］，则(x-4)∈(1，3］，f(x-4)=f(x).
由x=1是f(x)的图象的一条对称轴可知f［2-(x-4)］=f(x-4)
且2-(x-4)=(6-x)∈［-1，1］，故f(x)=f(x-4)=f(6-x)=(6-x)3=-(x-6)3.
　　综上可知f(x)=
16.（14分）等腰梯形ABCD的两底分别为AB=10，CD=4，两腰AD=CB=5，动点P由B点沿折线BCDA向A运动，设P点所经过的路程为x，三角形ABP的面积为S.
　（1）求函数S=f(x)的解析式；
　（2）试确定点P的位置，使△ABP的面积S最大.
解 （1）过C点作CE⊥AB于E，
在△BEC中，CE==4，∴sinB=.
由题意，当x∈（0，5］时，过P点作PF⊥AB于F，
∴PF=xsinB=x，∴S=×10×x=4x,
　当x∈(5，9］时，∴S=×10×4=20.
　当x∈（9，14］时，AP=14-x，PF=AP?sinA=，
　∴S=×10×(14-x) ×=56-4x.综上可知,函数S=f(x)=
(2)由(1)知,当x∈(0,5］时,f(x)=4x为增函数,
所以,当x=5时,取得最大值20.
当x∈(5,9］时,f(x)=20,最大值为20.
当x∈(9,14］时,f(x)=56-4x为减函数,无最大值.
综上可知:当P点在CD上时,△ABP的面积S最大为20.
17. (14分)据调查，某地区100万从事传统农业的农民，人均收入3 000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x (x＞0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x%,而进入企业工作的农民的人均收入为3 000a元 (a＞0).
（1）在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大.
解（1）由题意得
　　（100-x）?3 000?（1+2x%）≥100×3 000,
即x2-50x≤0,解得0≤x≤50.
又∵x＞0,∴0＜x≤50.
(2)设这100万农民的人均年收入为y元,则y==-.若25（a+1）≤50,即0＜a≤1时，当x=25（a+1）时，ymax=若a＞1时，函数在上是增函数.当x=50时，
y max=×502+30(a+1) ×50+30 000=-1 500+1 500a+1 500+3 000=1 500a+3 000.
　　答 若0＜a≤1,当x=25(a+1)时,使100万农民人均年收入最大.
　　若a＞1,当x=50时,使100万农民的人均年收入最大.
18.（16分）设a,b∈R，且a≠2,定义在区间（-b,b）内的函数f(x)=是奇函数.
　（1）求b的取值范围；
　（2）讨论函数f(x)的单调性.
解 （1）f(x)=lg (-b＜x＜b)是奇函数等价于：
对任意x∈(-b,b)都有
①式即为=，由此可得
,也即a2x2=4x2,此式对任意x∈(-b,b)都成立相当于a2=4,因为a≠2,所以a=-2，代入②式，得＞0,即-＜x＜,此式对任意x∈(-b,b)都成立相当于-≤-b＜b≤,
所以b的取值范围是（0, ］.
（2）设任意的x1,x2∈(-b,b)，且x1＜x2,
　　由b∈（0，］，得-≤-b＜x1＜x2＜b≤,
　　所以0＜1-2x2＜1-2x1,0＜1+2x1＜1+2x2,
　　从而f(x2)-f(x1)=
　　因此f(x)在（-b,b)内是减函数，具有单调性.
19.(16分)已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.
　(1)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);
　(2)设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,求函数f(x)的解析表达式.
　解 (1)因为对任意x∈R,
　有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,
　所以f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2
　又由f(2)=3,得f(3-22+2)=3-22+2,即f(1)=1.
　若f(0)=a,则f(a-02+0)=a-02+0,即f(a)=a.
　(2)因为对任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)=x0.
　所以对任意x∈R,有f(x)-x2+x=x0.
　在上式中令x=x0,有f(x0)-x+x0=x0.
　又因为f(x0)=x0,所以x0-x=0,故x0=0或x0=1.
　若x0=0,则f(x)-x2+x=0,即f(x)=x2-x.
　但方程x2-x=x有两个不同实根，与题设条件矛盾，
　故x0≠0.
　若x0=1，则有f(x）-x2+x=1,即f(x)=x2-x+1.
　易验证该函数满足题设条件.
20.（2008?南京模拟）（16分）已知函数y=f(x)是定义在区间［-，］上的偶函数，且x∈［0，］时，f（x）=-x2-x+5.（1）求函数f(x)的解析式；
（2）若矩形ABCD的顶点A，B在函数y=f(x)的图象上，顶点C，D在x轴上，求矩形ABCD面积的最大值.
（1）当x∈［-，0］时，-x∈［0，］.
　∴f(-x)=-(-x)2-(-x)+5=-x2+x+5.
　又∵f(x)是偶函数，
　∴f（x）=f(-x)=-x2+x+5.
（2）由题意，不妨设A点在第一象限，坐标为（t,-t2-t+5）,其中t∈（0，］.
　由图象对称性可知B点坐标为（-t，-t2-t+5）.则S(t)=S矩形ABCD=2t（-t2-t+5）=-2t3-2t2+10t.
　=-6t2-4t+10.由=0，得t1=-（舍去），t2=1.当0＜t＜1时， ＞0;t＞1时, ＜0.
　∴S(t)在（0，1］上单调递增，在［1，］上单调递减.∴当t=1时，矩形ABCD的面积取得极大值6，
　且此极大值也是S（t）在t∈（0，］上的最大值，从而当t=1时，矩形ABCD的面积取得最大值6.
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